Prof. Mariola Piłatowska

Prognozowanie gospodarcze

Egzamin: trzeba mieć zaliczone ćwiczenia (przy komputerze – będzie losowane zadanie), egzamin testowo-opisowy, testowy tzn., że będzie trzeba coś np. wyliczyć i wtedy zaznaczyć odpowiedź z podanych. Egzamin jest punktowany i na usosie będą podane punkty a na maila dostaniemy rozkład punktów na daną ocenę.

Dyżury: wtorek 16.10-17.10

Literatura: Maria Cieślak „Prognozowanie gospodarcze. Projekty i zadania”, PWN

Aleksander Zajasiak „Prognozowanie ekonomiczne” PWE
Magdalena Osińska „Współczesna ekonometria”, TNOiK

Tadeusz Kufel „Ekonometria. Rozwiązywanie problemów z wykorzystaniem programu Grelt.

1. Przedmiot

Przewidywanie przyszłości to wnioskowanie o przyszłych procesach. Może być racjonalne (zdroworozsądkowe i naukowe) i nieracjonalne.
Racjonalne przewidywanie jest wtedy kiedy cały proces wnioskowania ma charakter logiczny, czyli przebiega od przesłanek poprzez dane, diagnozowanie do wniosków. Proces przewidywania, gdy bazuje na doświadczeniu mamy do czynienia z przewidywaniem zdroworozsądkowym, przykładem jest wyznaczanie prognoz pogody przez górala mieszkającego od lat w górach, wynika z doświadczenia w danej dziedzinie.
Przewidywanie naukowe bazuje na dorobku nauki, tzn. że wykorzystuje całą metodologie nauk, teorię dotyczącą badanego zjawiska i wykorzystuje metody rozwiązywania danego problemu np. KMNK.

Przewidywanie nieracjonalne, gdy w procesie wnioskowania o przyszłości nie ma związku między przesłankami a wnioskami albo nie ma w ogóle znanych przesłanek, nie ma bazy do wyciąganych tych wniosków, np. różnego rodzaju jasnowidztwo.

Prognozowanie jest to racjonalne i naukowe wnioskowanie o przyszłości (przewidywanie przyszłości racjonalne naukowe).

Prognoza jest to rezultat prognozowania. To pewien sąd/ informacja dotyczący/a stanu w przyszłości.

Właściwości musi mieć ten sąd by była to prognoza. Te właściwości są następujące:

• sąd oparty jest na dorobku nauki,

• odnosi się do konkretnej przyszłości – czas może być oznaczony explicite, czyli jawnie, wprost albo implicite, czyli w domyśle. Czas wyrażony explicite tzn., że podany konkretnie okres, np. w 2013r. bezrobocie będzie wynosić 9%, musi być określony jak robimy prognozy na podstawie zmiennych ilościowych. Jeżeli zmienny mają charakter jakościowy to czas/przyszłość wyrażone jest implicite, np. Jan Kowalski będzie dobrym studentem.

• jest weryfikowalny empirycznie wynika z tego, że prognoza jest precyzyjnie sformułowana oraz odniesienia do konkretnego momentu w przyszłości.

• jest niepewny, ale akceptowany – jeżeli prognoza bazuje na dorobku nauki, odnosi się do konkretnej przyszłości jest weryfikowalna empirycznie to możemy myśleć, że tak będzie na pewno. Ale prognozując my zakładany możliwość pewnego błędu. Proces prognozowania dopuszcza błąd, jest niepewny sąd, ale akceptowalny, nie przekracza pewnej granicy. Jest to naturalna strona prognozowania.

Model ekonometryczny jest tylko i wyłącznie przybliżeniem rzeczywistości a nie rzeczywistością. Nie odkrywa żadnej i jedynej prawdy, jest uproszczonym przybliżeniem rzeczywistości, może zawierać błędy, jest niepewny.

Obiekt – kraj,
- obiad,
- województwo,
- firma

proste Zjawiska – ekonomiczne
złożone - gospodarcze
- socjologiczne

Zmienne

Ilościowe jakościowe

Funkcje prognoz:

• preparacyjna – związana jest z tym, że prognoza przygotowuje na ogół inne działania, ma służyć do podjęcia decyzji

• aktywizująca – wzrost zjawisk będzie powodował korzyści dla społeczeństwa a inny wzrost będzie powodował niekorzyści dla społeczeństwa. W związku z tym ta funkcja polega na tym, aby skłaniać do podejmowania działań, które będą sprzyjały do realizacji prognozy, jeżeli jest ona zjawiskiem korzystnym, np. wzrost PKB, lub słaniać do działań hamujących realizujących prognozy, jeżeli jest to niekorzystne dla gospodarki, społeczeństwa, np. jeżeli prognozujemy stopę bezrobocia by zapobiegać dalszemu wzrostowi. Mamy tu do czynienia z prognozami ostrzegawczymi.

• Informacyjna – prognoza ma przygotować na zmiany, które zajdą w przyszłości (przygotować tak by społeczeństwo miało czas do przygotowania się do tej zmiany)

Rodzaje prognoz:

• Wg horyzontu czasowego – jest zależna od tego dla czego jest ta prognoza

• Długookresowe – dla przedsiębiorstwa do 3lat/ dla gospodarki powyżej 5lat

• Średniookresowe – dla przedsiębiorstwa do roku/ dla gospodarki do 5lat

• Krótkookresowe – dla przedsiębiorstwa kilka miesięcy / dla gospodarki 2lata

• Wg stanu zmiennej

• Ilościowa

- punktowa – określona na ogół w formie liczby, np. stopa bezrobocia wynosi 9%

- przedziałowa – podane w formie przedziału, czyli np. (8,2%; 9,8%) przedział o określonych krańcach z pewnym wysokim prawdopodobieństwem pokrywa/obejmuje nieznaną wartość zmiennej prognozowanej w przyszłości, np. stopy bezrobocia.

• Jakościowa

• Wg celu lub funkcji

• Badawcze, w tym ostrzegawcze

• Realistyczne

• Normatywne – coś co jest pożądane, do czegoś do czego pożądany. Szuka się wielkości, która by była wyznacznikiem wielkości do której zmierzamy

• Wg zakresu ujęcia

• Częściowe – na podstawie np. modelu rynku pracy

• Globalne – na podstawie np. modelu rynku światowego

• Wg zasięgu terytorialnego

• Światowe

• Krajowe

• Regionalne

1. Metody prognozowania

• Metody niema tematyczne

• Analogowe – tego samego typu, np. popyt na coś w różnych krajach

• Heurystyczne – wykorzystuje się, gdy chodzi o prognozowanie o zjawiskach nowych

- delficka

- burza mózgów

- ekspertów

• Intuicyjne – obarczone są większym błędem

• Ankietowe – można w nich uczestniczyć albo jako ankieter albo jako ankietowany. Wszystko zależy od tego na ile uczciwie odpowiedzą ankietowani. Obarczone są większym błędem

• Metody matematyczno-statystyczne

• Modele deterministyczne – zależność ma charakter funkcyjny

• Modele ekonometryczne – zależność ma charakter stochastyczny (występuje zmienna losowa)

- jednorównaniowy – (3 pierwsze) modele opisowe, szeregów czasowych, struktury zjawisk ekonometrycznych

* model trendu
* modele sezonowości
* Autoregresyjny AR, średniej ruchomej MA, ARMA – model autoregresyjny+ model średniej ruchomej, modele ARIMA, ARCH, GARH
* przyczynowo-skutkowe – wystąpią zmienne opisowe

- wielorównaniowe

* proste
* rekurencyjne
* współzależne

1. Podstawowe pojęcie teorii procesów stochastycznych/ z ekonometrii dynamicznej, które są zasadnicze dla prognozowania

• Proces stochastyczny – określa się Y_t… Y_-2, Y_-1, Y₀, Y₁, Y₂,… – jest to ciąg zmiennych losowych wziętych z kolejnych momentów czasu. Realizacją jest szereg czasowy, czyli zbiór par {t; y_t} takich, że kolejnym wartościom czasu zostały przyporządkowane określone wartości badanego zjawiska. Szereg czasowy jest skończony, np. produkcja w latach 2000-2011.

• Stacjonarny – muszą być spełnione warunki by był stacjonarny;

- biały szum

• Niestacjonarny

• Szereg czasowy

• Biały szum – czysty proces losowy; takie proces, który nie wykazuje żadnej prawidłowości, dlatego jest czysto losowy. Jest nieprognozowany. Ma średnią zero, ma stałą i skończoną wariancję oraz jest nie zautoskolerowany, tzn. nie ma autokorelacji.

• Charakterystyki procesu stochastycznego

• Wartość oczekiwana E(Y_t) = m_t

• Wariancja D²(Y_t)= E(Y_t – m_t)² = σ²_t

• Funkcja kowariancyjna – K(t-s)= E[(Y_t – m_t) (Y_s-m_s)] = K(τ) ; jest funkcją odstępu, nie zależy od czasu

• Funkcja autokorelacji R(τ) = R(t-s) = K(τ) / D²(Y_t)

• Funkcja gęstości spektralnej

E(Y_t) = m – stała średnia

D²(Y_t) = σ² < nieskończoność – stała wariancja

K(τ) = K(t-s)
Jak są spełnione te trzy to proces jest stacjonarny a jak chociaż jeden z nich jest niespełniony to proces niestacjonarny.

Mówi się o stacjonarności i niestacjonarności średniej i wariancji.

Ogólna struktura procesu ekonomicznego

Y_t =  P_t + S_t + C_t + μ_t + γ_t + ξ_t + η_t

P_t - składnik trendu (deterministyczny)

S_t – składnik sezonowy (wahania sezonowe) o rocznym cyklu powtarzalności
C_t – wahania sezonowe inne niż roczne

P_t, S_t, C_t niestacjonarność średniej jak co najmniej jeden niespełniony

(modele trendu, sezonowości, autoregresji)

μ_t –

ɣ_t – sezonowość stochastyczna
ξ_t - cykliczność inna niż stochastyczna sezonowa

μ_t, γ_t, ξ_t niestacjonarność wariancji

(modele ARIMA, ARCH, GARCH)

η_t – stacjonarny proces stochastyczny

Biały szum E(ε_t) = 0 średnia procesu = 0

K(τ) = 0; τ ≠ 0

σ²; τ = 0

niezautoskalowany ε_t ε_t-1; ε_{t-2; …;} ε_t-0

1. Proces predykcji – wyznaczania prognoz

• Założenia:
  (1) znany jest oszacowany i zweryfikowany(model ma walory prognostyczne) model ekonometryczny;
  (2)zakłada się, że struktura modelu jest stabilna w czasie, tzn.
  - parametry strukturalne są stałe w czasie – nie zmieniają się;
  - postać analityczna modelu jest stała w dłuższym czasie – nie zmienia się;
  - struktura przyczynowa modelu jest stała – nie zmienia się w czasie.
  (3) znane są wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym
  (4) rozkład składnika losowego (resztowego) jest stały w czasie, czyli nie zmienia się
  (5) dopuszcza się możliwość ekstrapolacji modelu poza obszar zmienności zmiennych objaśniających

$(\overset{\overline{}}{X} - \ S\left( x \right);\ \overset{\overline{}}{X} + \ S(x))$ - obszar zmienności

$(\overset{\overline{}}{t} - \ S\left( t \right);\overset{\overline{}}{t} + \ S\left( t \right))\ $

• Predyktor – predyktor jest to pewien funkcjonał o postaci φ_T (t(x), mający taką własność, że wartość tego funkcjonału, dla konkretnej próby, można traktować jako prognozę zmiennej Y. To jaką postać ma ta operacja (φ_T) zależy od przyjętej zasady predykcji. Predyktor też jest zmienną losową – zmienia się od próby do próby.
  φ_T – operacja, którą trzeba wykonać aby obliczyć prognozę
  t(x) – model ekonometryczny

• Zasady predykcji – zasada predykcji jest to pewna reguła postępowania umożliwiająca otrzymanie najlepszego w danych warunkach przybliżenia nieznanej wartości zmiennej prognozowanej Y w okresie prognozowanym - T.
  * zasada predykcji nieobciążonej – polega na wyznaczeniu prognozy na poziomie wartości oczekiwanej zmiennej prognozowanej. Ta zasada jest stosowana wtedy, gdy proces predykcji jest powtarzalny. Wtedy stosownie tej zasady predykcji nieobciążonej powoduje, że ani się nie zawyża ani nie zaniża tych przybliżeń, wartości prognoz, tzn. średnie błędów będą się równoważyć.

	estymacja	Predykcja
Poziom populacji generalnej	αj- parametr strukturalny (nieznane)	Yt - zmienna prognozowana (nieznana)
Poziom próby	- wzór = estymator a = (X^TX)X^Ty - oceny parametrów aj $$a = \ \begin{bmatrix} 1,2 \\ - 0,7 \\ 2,1 \\ \end{bmatrix}$$	- wzór = predyktor $$y_{T_{P}} = \ \sum_{j = 1}^{}{a_{j}X_{j_{T}}}$$ - prognoza, czyli konkretna wartość (liczba) yTP = 13%

Predyktor φ + (t(x))

model ekonometryczny

operacja, którą należy wykonać, by obliczyć prognozę

Zasada predykcji

$$Y_{t} = \ \sum_{j = 1}^{K}{\alpha_{j}X_{j_{T}} + \eta_{t*}}$$

$y_{T_{P}} = E\left( Y_{t} \right) = \ E(\sum_{j = 1}^{K}{\alpha_{j}X_{j_{T}} + \eta_{t})}t = 1,2,\ldots,n$ model dla okresu próby

$Y_{t} = \ \sum_{j = 1}^{K}{\alpha_{j}X_{j_{T}} + \eta_{T},\ T = n + 1,\ldots,n + k}$

$y_{T_{P}} = E\left( Y_{t} \right) = \ E(\sum_{j = 1}^{K}{\alpha_{j}X_{j_{T}} + \eta_{t})} = \ \sum_{j = 1}^{K}{\alpha_{j}E}\left( X_{j_{T}} \right) + \ E\left( \eta_{T} \right) = \sum_{j = 1}^{K}{\alpha_{j}E}\left( X_{j_{T}} \right) = \ \sim\sum_{j = 1}^{K}{a_{j}x_{j_{T}} = \ y_{T_{P}}}\ $

predyktor nieobciążony

α_j= a_j; E(X_jT) ≈x_jT predyktor punktowy

liczba

Predyktor też jest zmienną losową – zmienia się od próby do próby.

• Predykcja (obliczanie prognozy) -
  - prognoza punktowa – jak jest predyktor punktowy to istnieje też przedziałowy
  - prognoza przedziałowa

Predyktor przedziałowy

P =  {y_TP− u_αV_T<Y_t<y_TP+u_kV_T} = 1 −  α

y_TP - predyktor punktowy

u_α – wartość krytyczna z układu normalnego

V_T- średni błąd predykcji

Y_t - średnia prognozowana

1 −  α - współczynnik ufności

Proces stochastyczny to funkcja losowa zmiennych losowych oraz nielosowego argumentu t, który oznacza czas.

• Miary dokładności
  - ex ante – mierniki wylicza się przed otrzymaniem realizacji zmiennej prognozowanej; informują o spodziewanej wielkości odchyleń wartości zmiennej prognozowanej od prognoz
  - ex post – informują o rzeczywistej wielkości odchyleń wartości prognozowanej od prognoz (czyli takiej jaka już wystąpiła)

BŁĄD EX ANTE

Wariancja predykcji zależy od 3 wartości: wartości kowariancji i wariancji, wielkości resztowej

Interpretuje się pierwiastek z wariancji a nie wariancje.

Błąd predyktora D = Y_T −  y_TP

predyktor

wartość oczekiwana E(D) = E(Y_T −  y_TP)=0 predykcja jest nieobciążona, czyli trwale ani nie zaniża ani nie zawyża prognozy

wariancja predykcji – war (D)

V_T² = war (D) = E(Y_T −  y_TP)²

Wzór Hottelinga

$$V_{T}^{2} = \ \sum_{i = 1}^{K}{x_{\text{iT}^{2}}D^{2}(a_{i})} + \ 2\sum_{i = 1}^{K - 1}{\sum_{j = i + 1}^{K}{x_{\text{iT}}x_{\text{jT}}cov(a_{i},\ a_{j})} + S^{2}(u)}$$

a – oceny parametrów

x_iT, x_jT - wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym

D²(a_i) - wariancja estymatorów parametrów strukturalnych

S(u) – wariancja resztowa modelu na podstawie, której prognoza

D(a) = $S^{2}\left( u \right)(X^{T}{X)}^{- 1} = \ \begin{bmatrix} D^{2}(a_{11}) & cov\ (a_{1}a_{2}) & cov\ (a_{\ldots)} \\ cov\ (a_{2}a_{1}) & D^{2}(a_{21}) & \vdots \\ cov(a_{k}a_{1}) & \vdots & D^{2}\left( a_{31} \right) \\ \end{bmatrix}$ - macierz wariancji i kowariancji

k – liczba zmiennych w modelu

Średni błąd predykcji $V_{T} = \ \pm \sqrt{V_{T}^{2}}$

INTERPRETCJA – jeżeli wykonujemy cały ciąg prognoz to wartość zmiennej prognozowanej będą się różnić od prognoz przeciętnie o +/- V_T w jednostkach y.

V_T² =  S²(u)[1 + X_T(X^TX)⁻¹(X_T^T)

^T – transpozycja

_T – okres (?)

X_T - wektor wierszowy wartości zmiennych objaśniających w okresie T

X_T^T - wektor prognozy (k_x1) tylko transponowany

$$V_{T}^{2} = \ S^{2}\left( u \right)\lbrack 1 + \lbrack\begin{matrix} x_{1T} & x_{2T} & \ldots & x_{3T}\rbrack\ \lbrack\ \\ \end{matrix}(X^{T}{X)}^{- 1}\rbrack_{\text{KxK}}\begin{bmatrix} x_{1T} \\ x_{2T} \\ \vdots \\ x_{\text{KT}} \\ \end{bmatrix}$$

T_j – błąd bezwzględny

Błąd względny ex ante V_T - pierwiastek

$V_{T}^{*} = \ \frac{V_{T}}{y_{T_{p}}} \times 100$

Średni błąd predykcji stanowi określony procent prognozy. Na podstawie tego błędu określamy czy prognozy są

dopuszczalne czy nie dopuszczalne.

V_g^* - błąd graniczny przyjmowany przez badacza

V_T^* ≤  V_g^* nasze prognozy są dopuszczalne, możemy spodziewać się niewielkich odchyleń wartości zmiennej prognozowanej od prognoz.

V_T^* >  V_g^* prognozy niedopuszczalne, możemy spodziewać się, że odchylenia wartości zmiennej prognozowanej od prognoz będą duże – nie do zaakceptowania

Błędy EX POST

Błąd prognozy

1) δ_T =  y_T −  y_TP

y_T - realizacja zmiennej

y_TP - prognoza (liczba)

δ_T > 0 y_T >  y_TP prognoza była niedoszacowana, czyli za mała w stosunku do realizacji

δ_T < 0 y_T <  y_TP prognozy przeszacowane, czyli za duże w stosunku do realizacji

Względny błąd prognozy

2) $\delta_{T}^{*} = \ \frac{\delta_{T}}{y_{T}}\ \times 100$ błąd prognozy stanowi średni błąd zmiennej prognozowanej

Ocenia się trafność prognoz

δ_g^* = 5%, 10%, 15%

δ_T^* ≤  δ_g^* prognozy były trafne, tzn. że różnice między realizacją zmiennej prognozowanej a prognozą były niewielkie

δ_T^* > δ_g^* prognoza nietrafna, błąd za duży, różnice między realizacją zmiennej prognozowanej a prognozą były za duże

3) MSE (mean square error) – bezwzględny

$$MSE = \ \frac{1}{h}\sum_{T = n + 1}^{n + h}{({y_{T} - \ y_{T_{P}})}^{2}}$$

RMSE = $\pm \sqrt{\text{MSE}}$

INTERPRETACJA: Wartości zmiennej prognozowanej różniły się od prognoz przeciętnie o +/- RMSE (w jednostkach zmiennej y) w całym okresie prognozowania.

4) Średni błąd % - względny (dla całego okresu)

MAPE (mean absolut percentage error)

$$MAPE = \ \frac{1}{h}\sum_{T = n + 1}^{n + h}{\left| \frac{y_{T} - \ y_{T_{P}}}{y_{T}} \right| \times 100}$$

INTERPRETACJA: Prognozując zmienną y mylimy się przeciętnie o MAPE %.

1. Podsumowanie: etapy prognozowania

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE MODELI OPISOWYCH (STRUKTURY WEWNĘTRZNEJ): modele trendu, sezonowości, autoregresji.

• Modele trendu

Y_t =  P_t + η_t

P_t - składnik modelu trendu

Trend – gładka i spokojna w przebiegu krzywa wyznaczająca zasadniczy kierunek rozwoju zjawiska w długim okresie.

P_t - to wielomian zmiennej czasowej t

$$P_{t} = \ \sum_{j = 0}^{r}{\alpha_{j}t^{j}}$$

r –stopień wielomianu trendu

t – zmienna czasowa t (1,2,…n)

r=0 Y_t =  α₀ +  η_t trend stały (zerowy)

r = 1 Y_t =  α₀ + α₁t +  η_t

r = 2 Y_t =  α₀ + α₁t +  α₂t² + η_t trend kwadratowy

Y_t =  α₀ + α₁t +  α₂t² + … +  α_rt^r + η_t

Model trendu wielomianowego stopnia r

Szacowanie modelu trendu wielomianowego za pomocą KMNK

- macierz obserwacji na zmiennych objaśnianych

const t t² t^r

$$X = \ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1^{2} & \cdots & 1^{r} \\ 1 & 2 & 2^{2} & \cdots & 2^{r} \\ 1 & 3 & 3^{2} & \cdots & 3^{r} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & n & n^{2} & \cdots & n^{r} \\ \end{bmatrix}$$

(estymator) $a = \ \begin{bmatrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{r} \\ \end{bmatrix} = \ \left( X^{T}{X)}^{- 1}X^{T}y \right.\ $

EGZAMIN!!! Podany model i należy zapisać macierz obserwacji dla danego modelu

- ustalenie stopnia r – stosujemy test F w odniesieniu do modeli kolejnych stopni trendu z istotnymi parametrami

Stosujemy, gdy dwa porównywane modele mają istotne parametry.

Formuła testu F

H₀ :  δ_r − 1² =  δ_r²

niższy wyższy

H₁ :  δ_r − 1² >  δ_r² – lepszy model stopnia r

Jeżeli dwie wariancje resztowe są nieistotnie różne (jednakowe) przyjmuje się ten stopnia niższego.

Jeżeli nastąpił istotny spadek wariancji przy przejściu z modelu trendu stopnia r-1 do modelu trendu stopnia r to przyjmujemy model trendu co najmniej r.

Jeżeli nie nastąpił istotny spadek wariancji przy przejściu z modelu trendu stopnia r-1 do modelu trendu stopnia r, to przyjmuje się model trendu prostszego, czyli r-1.

$$F = \ \frac{S_{r - 1}^{2}\left( u \right)}{S_{r}^{2}\left( u \right)}\ > 1$$

[w liczniku zawsze ta większa wariancja i na ogół to ta niższego stopnia)

(n₁−k₁−1) liczba zmiennych bez stałej

V₁ = n₁ − k₁ a tu ze stałą

V₂ = n₂ − k₂

Reguła: Jeżeli F ≥ F_{α,  V1,  V2} odrzucamy H₀ przy poziomie istotności α i możemy sądzić, że δ_r − 1² jest istotnie większe niż δ_r², czyli nastąpił istotny spadek wariancji reszt przy przejściu z modelu trendu stopnia r-1 do modelu trendu stopnia r, czyli stopień trendu jest równy co najmniej r (ale może być wyższy, czyli wtedy porównujemy wariancje z modeli trendu kolejnych stopni i kontynuujemy to testowanie, aż po raz pierwszy nie odrzucimy H₀).

Jeżeli F < F_{α,  V1,  V2} to wtedy nie ma podstaw do odrzucenia H₀ , o tym, że δ_r − 1² ……………………………………., czyli nie nastąpił istotny spadek wariancji przy przejściu z modelu trendu stopnia r-1 do modelu trendu stopnia r, WNIOSEK: Stopień trendu jest równy r-1 (model prostszy).

- weryfikacja modelu (brak występowania autokorelacji składnika resztowego, rozkład składnika reszt normalny, jednorodność składnika resztowego)

EGZAMIN!!! Prognoza na podstawie modelu trendu wielomianowego

Hipoteza modelowa:

Y_t =  α₀ + α₁t +  α₂t² + … +  α_rt^r + η_t t= 1,2,…,n

Model ekonometryczny:

y_t =  a₀ + a₁t +  a₂t² + … +  a_rt^r + μ_t (model oszacowany)

Zakładamy, że ma walory prognostyczne – nadaje się do prognozowania

Predyktor: y_TP=a₀ +  a₁T +  a₂T² +  …+ a_rT^r T = n+1, n+2,…,n+h

_T – okres prognozowany

_P – prognoza

Prognozy na h- okresów naprzód:

y_{T = n + 1,  P=}a₀ +  a₁(n + 1)+ a₂(n + 1)² +  …+ a_r(n + 1)^r

EGZAMIN!!!

Wektor wartości zmiennych w okresie prognozowanym:

$$X_{T = n + 1} = \ \begin{bmatrix} 1 & n + 1 & (n + 1)^{2} & \ldots & (n + 1)^{r} \\ \end{bmatrix}$$

Prognoza na 2 okresy naprzód:

y_{T = n + 2,  P=}a₀ +  a₁(n+2) +  a₂(n+2)² +  …+ a_r(n+2)^r

$$X_{T = n + 2} = \ \begin{bmatrix} 1 & n + 2 & (n + 2)^{2} & \ldots & (n + 2)^{r} \\ \end{bmatrix}$$

Itd.

y_{T = n + h,  P=}a₀ +  a₁(n+h) +  a_n(n+h)² +  …+ a_r(n+h)^r

$$X_{T = n + h} = \ \begin{bmatrix} 1 & n + h & (n + h)^{2} & \ldots & (n + h)^{r} \\ \end{bmatrix}$$

Zapisać wg tego sposobu na 3 okresy naprzód w przypadku modelu trendu liniowego, kwadratowego i 3-stopnia. Przyjąć, że n=40

(zeszyt)

MODELE SEZONOWOŚCI

Y_t= P_t+S_t+η_t

S_t – składnik sezonowy – wahania sezonowe

Wahania sezonowe są to pewne regularnie powtarzające się wahania poziomu zjawiska badanego wokół pewnej stałej lub wokół trendu o cyklu rocznym.

Trzeba mieć dane o okresie więcej niż rok żeby analizować sezonowość – kwartalne, miesięczne, dekadowe. Trzeba mieć cykle minimum - 3 lata.

stała amplituda wahań/stałe wahania sezonowe

Zmienna amplituda wahań

$$Y_{t} = \alpha_{0} + \alpha_{1}t + \sum_{i = 1}^{m}{d_{i}Q_{\text{it}}} + \eta_{t}$$

$$\sum_{i = 1}^{m}{d_{i}Q_{\text{it}}} = \ S_{t}$$

$$\sum_{i = 1}^{m}d_{i} = 0$$

Q_it - zmienna zero-jedynkowa, które przyjmują wartość 1 w i-tym podokresie cyklu a 0 w pozostałych podokresach.

d_i - wskaźnik sezonowości – mierzy wielkość efektu sezonowego w danym podokresie cyklu.

INTERPRETACJA

Parametr informuje o wielkości efektu sezonowego (odchylenia w górę lub dół w stosunku od średniego poziomu) w danym okresie cyklu rocznego.

Inaczej mówiąc (upraszczając) parametr d_i to średnia arytmetyczna odchyleń od trendu badanego zjawiska liczona dla jednoimiennych podokresów (2 kwartał 1 roku, 2 kwartał 2 roku itd.)

m – liczba podokresów w cyklu wahań

m=12 – dane miesięczne

m=4 – dane kwartalne

Definicja zmiennych zero-jedynkowych

m=4 (suma Q) (1-4) (2-4) (3-4) (4-4)

Stała 1^0 1 1 1 1 1 1 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮	t 1 2 3 4 5 6 7 8 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮	Q1t 1 0 0 0 1 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮	Q2t 0 1 0 0 0 1 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮	Q3t 0 0 1 0 0 0 1 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮	Q4t 0 0 0 1 0 0 0 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮	1 1 1 1 1 1 1 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮	Q1t* 1 0 0 -1 1 0 0 -1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮	Q2t* 0 1 0 -1 0 1 0 -1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮	Q3t* 0 0 1 -1 0 0 1 -1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮	Q4t* 0 0 0 0 0 0 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮	1 1 1 -3 1 1 1 -3 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

Wykreślamy, bo same zera

Została usunięta współliniowość

Zmiennych 0-1, mogę zastoso-

wać KMNK do nowego modelu

Zmienne 0-1 są współliniowe z wyrazem wolnym.

a = (X^TX)⁻¹X^Ty (jak występuje współliniowość)

|X^TX| = 0 macierz osobliwa, nie istnieje do niej macierz odwrotna więc nie można zastosować estymatora, trzeba przekształcić zmienne 0-1, by usunąć zmienne 0-1 (współliniowość).

Q_it^*= Q_it −  Q_mt

$$Y_{t} = \alpha_{0} + \alpha_{1}t + \sum_{i = 1}^{m - 1}{d_{i}Q_{\text{it}}^{*}} + \eta_{t}$$

$\sum_{i = 1}^{m - 1}{d_{i}Q_{\text{it}}^{*}}$ = d₁Q_1t^*+ d₂Q_2t^*+ d₃Q_3t^*

Wzór na wyznaczenie efektu sezonowego w m-tym podokresie

$$\mathbf{d}_{\mathbf{m}}\mathbf{= \ -}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{m - 1}}\mathbf{d}_{\mathbf{i}}$$

EGZAMIN!!! Przykład z miesiącami, trzeba będzie wyznaczyć dla grudnia

Badanie występowania wahań sezonowych

Wahania sezonowe występują wtedy, gdy przynajmniej jeden ze wskaźników sezonowości di jest istotny statystycznie.

Nie występują badania sezonowe gdy wszystkie wskaźniki sezonowe di są nieistotne statystycznie. Wtedy z modeli usuwa się cały wskaźnik sezonowy.

Walory prognostyczne - bada się własności rozkładu składnika resztowego: autokorelacja a raczej jej brak, homoscedastyczność, normalność rozkładu składnika resztowego.

Należy też zbadać stopień dopasowania do danych empirycznych.

Schemat prognozowania z trendu i sezonowości (???)

Hipoteza modelowa $Y_{t} = \alpha_{0} + \alpha_{1}t + \sum_{i = 1}^{m - 1}{d_{i}Q_{\text{it}}^{*}} + \eta_{t}$

Model ekonom.: $y_{t} = a_{0} + a_{1}t + \sum_{i = 1}^{m - 1}{d_{i}^{\hat{}}Q_{\text{it}}^{*}} + e_{t}$ ten model ma mieć walory prognostyczne

Predyktor: $y_{T_{P}} = \ a_{0} + a_{1}T + \sum_{i = 1}^{m - 1}{d_{i}^{\hat{}}Q_{\text{iT}}^{*}}$

Prognozy na 4 okresy:

$y_{{T = n + 1,}_{P}} = \ a_{0} + a_{1}(n + 1) + \sum_{i = 1}^{m - 1}{d_{i}^{\hat{}}Q_{iT = n + 1}^{*}}$

X_{T = n + 1} =  [1    n+1   1   0   0] 

(z tabelki)

$y_{{T = n + 2,}_{P}} = \ a_{0} + a_{1}(n + 2) + \sum_{i = 1}^{m - 1}{d_{i}^{\hat{}}Q_{iT = n + 2}^{*}}$

X_{T = n + 2} =  [1    n+2   0   1   0] 

$y_{{T = n + 3,}_{P}} = \ a_{0} + a_{1}(n + 3) + \sum_{i = 1}^{m - 1}{d_{i}^{\hat{}}Q_{iT = n + 3}^{*}}$

X_{T = n + 3} =  [1    n+3   0   0   1] 

$y_{{T = n + 4,}_{P}} = \ a_{0} + a_{1}(n + 4) + \sum_{i = 1}^{m - 1}{d_{i}^{\hat{}}Q_{iT = n + 4}^{*}}$

X_{T = n + 4} =  [1    n+4  −1  −1  −1] 

Modele autoregresyjne

Model autoregresji rzędu q:

Y_t = α₁Y_t − 1 + α₂Y_t − 2 + … + α_qY_t − q + ε_t

3 warunki:

α_q ≠ 0

ε_t musi być białym szumem (jeżeli jest dobrze ustalony poziom autoregresji to jest biały szum)

Y_t − s (s =1,2…q) – nie są skorelowane ze składnikiem losowym E(Y_t − s, ε_t) = 0

Zjawisko procesu autoregresyjnego występuje kiedy efekty działania pewnych czynników nie zanikają (nie kończą się) w okresie za który obserwujemy dane zjawisko tylko przenoszą się na okresy następne, np. popyt, inwestycje.

Y_t − α₁Y_t − 1 − α₂Y_t − 2 − … − α_qY_t − q = α₀ + ε_t

(1−α₁u¹−α₂u²−…−α_qu^q)Y_t = α₀ + ε_t

u⁰

A(u)Y_t = α₀ + ε_t nowoczesny zapis modelu (operator cofnięcia)

u^sY_t = Y_t − s 

u²Y_t = Y_t − 2

Postać modelu:

- zapis tradycyjny

- operator cofnięcia

Estymacja parametru

Do szacowania wykorzystuje się metodę najmniejszych kwadratów (KMNK).

$$a = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \\ a_{0} \\ \end{bmatrix} = (X^{T}X)^{- 1}X^{T}y$$

y_t − 1 y_t − 2 ⋯ y_t − q 1

$y_{t} = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ \vdots \\ y_{n} \\ \end{bmatrix}$ $y = \begin{bmatrix} y_{q + 1} \\ y_{q + 2} \\ \vdots \\ y_{n} \\ \end{bmatrix}$ $X = \begin{bmatrix} y_{q} & y_{q - 1} & \cdots & q_{1} & 1 \\ y_{q + 1} & y_{q} & \cdots & q_{2} & 1 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ q_{n - 1} & q_{n - 2} & \cdots & q_{n - q} & 1 \\ \end{bmatrix}$

Y_t = α₁Y_t − 1 + α₀ + ε_t

q=1

$y_{t} = \ \begin{bmatrix} 53 \\ 55 \\ 60 \\ 62 \\ 68 \\ 70 \\ 72 \\ 69 \\ 70 \\ 75 \\ \end{bmatrix}\ $ $y = \begin{bmatrix} 55 \\ 60 \\ 62 \\ \vdots \\ 75 \\ \end{bmatrix}$ $X = \begin{bmatrix} 53 & 1 \\ 55 & 1 \\ 60 & 1 \\ \vdots & \vdots \\ 70 & 1 \\ \end{bmatrix}$

q=2

Y_t = α₁Y_t − 1 + α₂Y_t − 2 + α₀ + ε_t

$y = \begin{bmatrix} 60 \\ 62 \\ 68 \\ \vdots \\ 75 \\ \end{bmatrix}$ $X = \begin{bmatrix} 55 & 53 & 1 \\ 60 & 55 & 1 \\ 62 & 60 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 70 & 69 & 1 \\ \end{bmatrix}$

EGZAMIN – podany szereg czasowy Y_t i będzie trzeba zapisać macierz obserwacji y i X, jeśli chodzi o model autoregresji i trendu rzędu np. 2, 3…

Ustalanie rzędu autoregresji:

- badanie istotność współczynników autokorelacji cząstkowej (PACF)

- istotność współczynników autoregresji + badanie biało szumowości procesu resztowego: wersja „od dołu do góry” (od najmniejszego τ) i od „góry do dołu” (od największego τ)

Współczynnik autokorelacji całkowitej

$y_{t}\text{\ \ \ \ \ }y_{t - 1}\ \ \ \leftarrow \hat{\rho_{1}}$

$y_{t}\text{\ \ \ \ \ }{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }y}_{t - 2}\ \ \ \leftarrow \hat{\rho_{2}}\ $

$y_{t}\text{\ \ \ \ \ }{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }y}_{t - 3}\ \ \ \leftarrow \hat{\rho_{3}}\ $ ACF – Auto Correlation Function

$y_{t}\text{\ \ \ \ \ }{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }y}_{t - q}\ \ \ \leftarrow \hat{\rho_{q}}\ $

$r_{\text{xy}} = \frac{\text{cov}(x,y)}{S\left( x \right)S(y)}$

y = y_t

x = y_t − 1

Badanie istotność współczynników autokorelacji cząstkowej (PACF)

$y_{t}\text{\ \ \ \ \ }y_{t - 1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \leftarrow \hat{\rho_{11}} = \hat{\rho_{1}}$

$y_{t}\text{\ \ \ \ \ }y_{t - 1}\text{\ \ \ \ \ \ }y_{t - 2}\ \ \ \leftarrow \hat{\rho_{22}}$

$y_{t}\text{\ \ \ \ \ }y_{t - 1},\ y_{t - 2}\text{\ \ \ }y_{t - 3}\ \ \ \ \leftarrow \hat{\rho_{33}}$ f. autokorelacji cząstkowej PACF

Itd. Partial Auto Correlation Function

$y_{t}\text{\ \ \ \ \ }y_{t - 1},\ y_{t - q - 1}\text{\ \ \ }y_{t - q}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \leftarrow \hat{\rho_{\text{qq}}}$

Czysta autokorelacja – przy wyłączeniu wpływu z pośrednimi opóźnieniami.

Jak obliczyć? Układ równań Yale’a - Walkera

Metoda uproszczona

y_t = a₁₁y_t − 1 + a₀₁ + u_1t

y_t = a₁₂y_t − 1 + a₂₂y_t − 2 + a₀₂ + u_2t

y_t = a₁₃y_t − 1 + a₂₃y_t − 2 + a₃₃y_t − 3 + a₀₃ + u_3t

Itd.

Szacunki współczynników autokorelacji cząstkowej

$a_{11} \approx \hat{\rho_{11}}$

$a_{22} \approx \hat{\rho_{22}}\ $

$a_{33} \approx \hat{\rho_{33}}$

Itd.

Test Quenouille’a

H₀ : ρ_ττ = 0 współczynnik autokorelacji cząstkowej rzędu τ=0 , nieistotny statystycznie τ=1,2,…,q

H₁ : ρ_ττ ≠ 0 istotny statystycznie

Weryfikacja hipotezy

$$t_{\tau} = \ \frac{\left| \hat{\rho_{\text{ττ}}} \right|}{\frac{1}{\sqrt{n}}}$$

Błąd standardowy S(${\hat{\rho}}_{\text{ττ}}$) współczynnika autokorelacji cząstkowej(mianownik)

Stosuje się wersję uproszczoną

$$t_{\tau} = \ \frac{\left| \hat{\rho_{\text{ττ}}} \right|}{\frac{1}{\sqrt{n}}}\ > 2$$

Reguła decyzyjna

$\left| \hat{\rho_{\text{ττ}}} \right| \geq \frac{2}{\sqrt{n}}$ odrzucamy hipotezę zerową i możemy sądzić, że współczynnik autokorelacji cząstkowej rzędu τ jest istotny statystycznie, w związku z tym rząd autoregresji jest równy τ

$\left| \hat{\rho_{\text{ττ}}} \right| < \frac{2}{\sqrt{n}}$ nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, współczynnik autokorelacji cząstkowej rzędu τ jest nieistotny statystycznie. Rząd autoregresji jest mniejszy niż τ

$\frac{2}{\sqrt{n}} = \rho_{\text{kryt}}$

Przykład

τ	$${\hat{\rho}}_{\text{ττ}}$$	„od góry do dołu”
1 2 3 4 5 6	0,72 -0,38 -0,20 0,34 0,12 -0,05	$\left| \hat{\rho_{44}} \right| > 0,3 \Rightarrow q = 4$ rząd autoregresji równy 4, odrzucamy H0, współ. istotny $\left| \hat{\rho_{55}} \right| < 0,3 \Rightarrow q < 5$ brak podstaw do odrzucenia H0, $\left| \hat{\rho_{66}} \right| < 0,3 \Rightarrow q < 6$ wsp. nieistotny

$\frac{2}{\sqrt{n}} = \rho_{\text{kryt}}$ = 0,3

${\hat{\rho}}_{\text{ττ}}$

1

0,5

0,3

τ

1 2 3 4 5 6 -0,3

-0,5

-1

Sprawdzam od dołu, który jest istotny i kończę, gdy po raz pierwszy natknę się na istotny.

„Od góry do dołu” – metoda bardziej efektywna

Y_t = α₁Y_t − 1 + α₂Y_t − 2 + α₃Y_t − 3 + α₄Y_t − 4 + α₀ + ε_t

${\hat{\rho}}_{\text{ττ}}$

Będzie białym szumem jak

$\left| \hat{\rho_{\text{ττ}}} \right| < \frac{2}{\sqrt{n}}$

Proces predykcji

Hipoteza modelowa: Y_t = α₁Y_t − 1 + α₂Y_t − 2 + … + α_qY_t − q + α₀ + ε_t

Model ekonometryczny: y_t = a₁y_t − 1 + a₂y_t − 2 + … + a_qy_t − q + a₀ + u_t

Model ekonometryczny musi spełniać pewne kryteria:

- istotność parametru,

- u_t musi mieć własności biało szumowe,

-musi być wysoki stopień dopasowania do danych empirycznych

Predyktor: y_Tp = a₁y_T − 1 + a₂y_T − 2 + … + a_qy_T − q + a₀

EGZAMIN: Będzie oszacowany model i będzie trzeba oszacować prognozy. Do konkretnego przykładu.

Prognozy na h - okresów: y_{T = n + 1} = a₁y_n + a₂y_n − 1 + … + a_qy_n − q + a₀

$$X_{n + 1} = \begin{bmatrix} y_{n} & y_{n - 1} & \ldots & y_{n - q + 1} & 1 \\ \end{bmatrix}$$

y_{T = n + 2, p} = a₁y_{n + 1, p} + a₂y_n + … + a_qy_{n + 2 − q} + a₀

$$X_{n + 2} = \begin{bmatrix} y_{n + 1,p} & y_{n} & y_{n - 1} & \ldots & y_{n + 2 - q} & 1 \\ \end{bmatrix}$$

y_{T = n + 3, p} = a₁y_{n + 2, p} + a₂y_{n + 1, p} + a₃y_n + … + a_qy_{n + 3 − q} + a₀

$$X_{n + 3} = \begin{bmatrix} y_{n + 2,p} & y_{n + 1,p} & y_{n} & \ldots & y_{n + 3 - q} & 1 \\ \end{bmatrix}$$

Itd.

y_{T = n + h, p} = a₁y_{n + h − 1, p} + a₂y_{n + h − 2, p} + … + a_qy_{n + h − q,   p} + a₀

$$X_{n + h} = \begin{bmatrix} y_{n + n - 1,p} & y_{n + h - 2,p} & \ldots & y_{n + h - q,p} & 1 \\ \end{bmatrix}$$

Potem uzupełnić błędy predykcji i prognoz.

Warunki stacjonarności modelu autoregresji

Y_t = α₁Y_t − 1 + ε_t

Stacjonarny, gdy: |α₁| <1

Y_t = α₁Y_t − 1 + α₂Y_t − 2 + ε_t

Stacjonarny, gdy: |α₂| <1

α₂ − α₁ < 1

α₂ + α₁ < 1

A(u)Y_t = α₀ + ε_t

|A(z)| = 0

1 − α₁z − α₂z² − … − α_qz^q = 0 „z” to pierwiastki tego równania

z₁ = ?

z₂ = ?

⋮

Model autoregresji jest stacjonarny, jeśli wszystkie pierwiastki równania A(z) = 0 (wart. Bezwzględna) są co do modułu większe od jedności.

Jeśli nie są spełnione warunki stacjonarności to prognozy z tego okresu są wybuchowe.

Ćwiczenie do domu

y_n = 75

y_t = 1, 05y_t − 1 + 0, 5 + u_t

Modele przyczynowo-skutkowe

EGZAMIN!!

Na czym polega badanie wewnętrznej struktury procesu ekonomicznego (zjawiska ekonomicznego)?

1. Ustaleniu stopnia trendu (test F, t- studenta – pomocniczo)

2. Zbadaniu występowania wahań sezonowych (czy istotne czy nie) – dotyczy tylko danych miesięcznych, kwartalnych – nie bada się dla rocznych (na zaliczeniu będą roczne dane więc nie ma badania sezonowości!!)

3. Ustaleniu rzędu autoregresji

1. Jeśli występuje trend (i/lub sezonowość) to badanie rzędu autoregresji robimy na podstawie reszt z modelu trendu i/lub sezonowości. Wykorzystujemy badanie istotności autokorelacji cząstkowej (PACF) – test Quenouille’a

y_t = a₀ + a₁t + u_t

PACF

(dodajemy 2rząd opóźnienia – tyle ile wyszedł)

$y_{t} = a_{0} + a_{1}t + y_{1}^{\hat{}}y_{t - 1} + y_{2}^{\hat{}}y_{t - 2} + e_{t}$ PACF, biały szum

Pełny model struktury (trendu i autoregresji)

1. Jeśli trend i sezonowość nie występują to badanie rzędu autoregresji przeprowadzamy bezpośrednio dla tej zmiennej nas interesującej (y, X). Wykorzystujemy badanie istotności autokorelacji cząstkowej (PACF) – test Quenouille’a

y_t = a₀ + u_t

PACF q=2

y_t = a₀ + a₁y_t − 1 + a₂y_t − 2 + e_t PACF

Badanie wewnętrznej struktury poszczególnych procesów EGZAMIN!!!

	r	q	St
Yt	1	2	-
X1t	2	0	-
X2t	0	1	-

(q - opóźnienia)

Y_t = α₀ + α₁t + β₁Y_t − 1 + β₂Y_t − 2 + ε_yt

X_1t = δ₀ + δ₁t + δt² + ε_X1t

X_2t = g₀ + g₁X_{2, t − 1} + ε_X2t

Żeby poprawić model trzeba włączyć składnik trendu (i ewentualnie sezonowości) i opóźnienia dla wszystkich zmiennych X, Y, j i t jeśli to jest uzasadnione.

$Y_{t} = \alpha_{0} + \alpha_{1}X_{1t} + \alpha_{2}X_{2t} + \ \ldots + \alpha_{K}X_{\text{Kt}} + \eta_{t} = \alpha_{0}\sum_{j = 1}^{K}{\alpha_{j}X_{\text{jt}} + \eta_{t}}$ (dynamiczny, bo zjawiska w czasie, przyczynowo-skutkowy)

P_yt + AR_y PX_yt + AR_Xjt

Czy poprawnie zbudowany? Czy zawiera wszystkie zmienne, które powinien zawierać? (czy dobrze wyspecyfikowany?)

To czego nie uwzględniliśmy wpada do składnika stochastycznego - η_t

	r	q
Yt X1t X2t ⋮ XKt	0 0 0 ⋮ 0	0 0 0 ⋮ 0

Wszystkie procesy są białymi szumami i wtedy model jest zapisany poprawnie

Budowa dynamicznego modelu zgodnego – opracowana przez prof. Zygmunta Zielińskiego – podobną wersję opracował David Hendry, przy czym jego koncepcja nazywana jest od ogółu do szczegółu (congruent model – model zgodny).

Przez zgodność modelu rozumie się identyczność wewnętrznej struktury procesu objaśnianego Yt i łącznej wewnętrznej struktury procesów objaśniających Xjt, przy zachowaniu biało szumowych własności procesu resztowego.

W praktyce oznacza to budowę dynamicznego modelu przyczynowo-skutkowego w taki sposób, aby uwzględnić informacje o wewnętrznej strukturze badanych procesów (sezonowości, trendu, autoregresji), a proces resztowy był białym szumem.

Etapy budowy zgodnego modelu ekonometrycznego:

1. Budowa modeli struktury (modeli szeregów czasowych)

	r	q
Yt	1	2
X1t	2	0
X2t	0	1

Y_t = α₀ + α₁t + β₁Y_t − 1 + β₂Y_t − 2 + ε_yt

X_1t = δ₀ + δ₁t + δt² + ε_X1t

X_2t = g₀ + g₁X_{2, t − 1} + ε_X2t

1. Budowa dynamicznego modelu zgodnego dla biało szumowych składowych odpowiednich procesów

ε_Yt = ρ₁εx_1t + ρ₂εx_2t + ε_t

(r=0,q=0) (0,0) (0,0)

Wewnętrzna struktura ε_Yt jest identyczna z łączną strukturą εx_1t i εx_2t a proces resztowy jest białym szumem.

Nie możemy obserwować ε_t

Nie możemy poprzestać na tym modelu, bo ε nie są bezpośrednio obserwowalne.

1. Budowa dynamicznego modelu zgodnego dla rzeczywistych procesów, dla których możemy dysponować realizacjami, Xji, Yt.

(Za epsilony wstawiamy wyrażenia wyliczone z modeli struktury)

Y_t − α₀ − α₁t − β₁Y_t − 1 − β₂Y_t − 2 =   ρ₁(X_1t−δ₀−δ₁t−δt²) + ρ₂(X_2t−g₀−g₁X_2t − 1) + ε_t

Jest dalej białym szumem

Y_t = β₁Y_t − 1 + β₂Y_t − 2 + δ₁X_1t + δ₂X_2t − δ₂γ₁X_{2, t − 1} + (α₀−δ₁−δ₂) + (−δ₁)t −  + 

Jest to model dynamiczny zgodny uwzględniający informacje o wewnętrznej strukturze wszystkich badanych procesów a jednocześnie proces resztowy jest białym szumem.

Y_t = α₀ + α₁X_1t + α₂X_2t + η_t

Nie będzie białym szumem

a nawet będzie procesem niestacjonarnym

Zadanie

Przedstaw poszczególne etapy budowy dynamicznego modelu zgodnego wiedząc, że wewnętrzna struktura badanych procesów jest taka jak w podanej tabelce.

(zrobić jak to wyżej!!!! Nazwać etapy, modele struktury napisać, zrobić rozpiskę każdego etapu (dokładnie jak wyżej)

procesy	r	q
Yt	2	1
X1t	1	2
X2t	3	1

Stopień wynikowy trendu będzie równy najwyższemu spośród tych trendów

Wersja skrócona

Budowa modeli struktury:

(zeszyt)

Ten model jest tzw. pełną wersją modelu zgodnego, tzn. wersją uwzględniającą wszystkie informacje o wewnętrznej strukturze badanych procesów.

Jest to najbardziej rozbudowana postać modelu. Niektóre parametry będą nieistotne, zatem jeśli tak będzie to trzeba przejść do wersji zredukowanej modelu zgodnego (od pełnej do zredukowanej) tzn. zredukowanej tylko do istotnych czynników.

Korzysta się z a posteriori polegającej na tym, że w każdym kroku wyrzuca się tylko jeden czynnik – ten, dla którego statystyka t- studenta była najmniejsza, co do bezwzględnej wartości. Ten model zredukowany podlega weryfikacji.

Trzeba sprawdzić czy został spełniony warunek zgodności, czyli czy proces resztowy jest białym szumem!!!!!

Robimy to dla wersji pełnej i zredukowanej modelu.

Ogólna postać dynamicznego modelu zgodnego

(zeszyt)

Opóźnienia Y pełnią rolę zastępczą tzn. pojawiają się wtedy m.in. gdy w modelu nie uwzględniono wszystkich przyczyn Y.

X bieżące i opóźnione pełnią rolę czynników przyczynowych i mają interpretację.

Składnik trendowo -sezonowy – jego pojawienie w modelu oznacza, że ze wszystkich procesów została wyeliminowana niestacjonarność i w związku z tym parametry modelu β_s i α_js są miarą zależności na poziomie procesów stacjonarnych.

Składnik losowy – biało szumowy występuje dlatego, że zależności między zależnościami ekonomicznymi mają charakter stochastyczny.

Zadanie

Oszacowano model sprzedaży napojów gazowanych Yt (w tys litrów) w zależności od opadów Xt (mm) na podstawie danych miesięcznych okresu 2000-2004 (5lat; dane oczyszczone z sezonowości) dla pewnej firmy. Na podstawie poniższych informacji dokonaj oceny jakości modelu oraz jego przydatności w prognozowaniu.

Model: estymacja KMNK z wykorzystaniem 60 obserwacji 2000:01 do 2004:12
Zmienna zależna: Yt

Zmienna współczynnik statystka t-studenta wartość p

Const -485,6 -2,62 0,013

Xt -4,7 -2,04 0,050

Xt-1 -3,8 -1,53 0,136

t 23,7 2,82 0,008

Yt-1 0,5 3,47 0,001

R2 = 0,81, Vu=12,2%

ρ11 =- 0,076

JB=1,61 (p=0,14)

LMhetero= 0,53 (p=0,26)

LM liniowość=3,53 (p=0,03)

Fchowa= 0,71 (p=0,62)

Wartośći krytyczne: t_α,s =1,98

Ocena jakości:

1. parametry:test t-studenta (stwierdzenie istotności parametrów), Fchowa (stabilność), interpretacja a_j

2. składnik resztowy: test JB (normalność), LMhetero (homoscedastyczność wariancji), autokorelacja

3. liniowość zależności: LMliniowość (zależności Yt względem Xt wraz z opóźnieniami)

4. dopasowanie modelu danych empirycznych: R2, Ve(Vu)

Podsumowanie jakości

1. Istotność

H₀ : α_j = 0

H₁ : α_j ≠ 0

t₁= |−2,04| > t_α, s = 1, 98 odrzucamy hipotezę zerową i mogę sądzić, że parametry stojące przy Xt, t, Yt-1 są istotne statystycznie

t₂ = |−1,53| < t_α, s nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że parametr stojący przy Xt-1 jest nieistotny statystycznie

t₃=2,82 > t_α, s

t₄= 3,47 > t_α, s

lub

p₁= 0,050 = α=0,05 (poziom istotności) jak poprzednio

p₂=0,136 > α=0,05 nie ma podstaw do odrzucenia

p₃=0,008 < α=0,05

p₄=0,001 < α=0,05

Stabilność parametrów

H₀ : β_I = β_II (stabilne)

H₁ : β_I ≠ β_II (niestabilne)

F_Chowa = 0,71 (p=0,62)

P=0,62 > α=0,05 (poziom istotności)

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że parametry są stabilne, czyli są w obu próbach nieistotne statystycznie.

Interpretacja a_j (nie interpretuje się parametrów przy t i Y_t-1, tylko te co przy X)

Jak jest tylko jedna zmienna Xt

Wzrost wielkości opadów o 1mm spowoduje przeciętnie spadek napojów gazowanych o 4,7tys. litrów, ceteris Paribas.

Jak jest Xt-1 -4,7+(-3,8)= -8,5

Wzrost wielkości opadów o 1mm spowoduje przeciętnie łącznie spadek sprzedaży napojów gazowanych (rząd wielkości). Można spodziewać się, że będzie to wiarygodne, ale potrzeba dodatkowych informacji,

1. Normalność składnika resztowego

H₀: rozkład składnika resztowego jest normalny

H₁: rozkład składnika resztowego nie jest normalny

JB = 1,61 (p=0,14)

p=0,14 > α=0,05 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkład składnika resztowego jest normalny

Homoskedastyczność wariancji

H₀ : σ_I² = σ_II² homoskedastyczność

H₁ : σ_I² ≠ σ_II² heteroskedastyczność

(H₁ : σ_I² > σ_II² )

LM_hetero= 0,53 (p=0,26)

p=0,26 > α=0,05 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że wariancja resztowa jest homoskedastyczna

Autokorelacja

1. Liniowość

H₀: zależność Y_t względem X_t jest liniowa

H₁: zależność Y_t względem X_t nie jest liniowa

LM=3,53 (p=0,03)

p=0,03 < α=0,05 odrzucamy hipotezę zerową i możemy sądzić, że zależność zmiennej Yt względem Xt jest nieliniowa.

1. Dopasowanie modeli do danych empirycznych

R²=0,81 >R²_g=0,75 (regułą na podstawie, której formułujemy wniosek, musi być)

Stopień dopasowanie modelu do danych empirycznych jest wysoki

V_u=12,2% > V_u^*= 10% oznacza, że wielkość odchyleń empirycznych wielkości sprzedaży od wartości teoretycznych jest nie do zaakceptowania.

Na korzyść jakości modelu przemawia:

- istotność parametrów stojących przy Xt, t, Yt-1;

- stabilność parametrów

- sensowna pod względem ekonomicznym interpretacja parametrów

- normalność rozkładu składnika resztowego

- homoscedastyczność wariancji resztowej

- autokorelacja składnika resztowego

- oraz wysoki stopień dopasowania modelu do danych empirycznych

Na niekorzyść modelu świadczy:

- nieliniowość zależności Yt względem Xt

- zbyt duże odchylenia wartości empirycznych sprzedaży od wartości teoretycznych

- nieistotność parametru stojącego przy Xt-1

Model jest umiarkowanej jakości ze względu na te 3 powyższe elementy, a ostatecznie wartość tego modelu przy prognozowaniu będziemy mogli ocenić po eliminacji nieistotnego czynnika (zmiennej Xt-1).

Jeżeli występuje tylko nieliniowość w minusach: Możemy taki model uznać warunkowo za nadający się do prognozowania, bowiem ta liniowa zależność, którą przyjęłam w modelu może być tylko przybliżeniem wartości.

Kryterium ważne z punktu widzenia prognozowania: jeśli parametry są niestabilne to model nie nadaje się do prognozowania (niewiarygodność w prognozowaniu) oraz interpretacja aj

Gdyby wystąpiła autokorelacja: należy przebudować model przez włączenie opóźnienia , ponownie oszacować i dokonać oceny jakości. Dopiero wtedy można wysunąć ostateczny wniosek czy model nadaje się do prognozowania.

Wady i zalety prognozowania na podstawie modelu trendu

Wady

Zalety

Nieograniczoność funkcji trendu w miarę jak t rośnie do nieskończoności, tzn. wartości prognoz będą rosły (malały) nieograniczenie, tzn. że prognozy staną się w konsekwencji niewiarygodne Modele trendu wykorzystuje się tylko do prognoz na krótkie okresy Modele trendu są modelami opisowymi a nie przyczynowo-skutkowymi, w związku z tym mają niższą wartość poznawczą (i prognozy z nich) niż modele przyczynowo-skutkowe.

Znajomość wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym, bo zmienna t jest zmienną nielosową i jej wartości są z góry ustalone Prostota (łatwość) i szybkość wyznaczenia prognoz z modelu trendu, ponieważ prognozy wyznacza się na zasadzie prostej ekstrapolacji modelu

Wady i zalety na podstawie modelu sezonowości

Wady	Zalety
Jeżeli schemat wahań sezonowych nie będzie stały (stabilny) to prognozy powinny być robione tylko na krótki okres	Znajomość wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym, bo zmienne zero-jedynkowe są z góry ustalone Łatwość wyznaczanie prognoz, ponieważ prognozy wyznacza się na zasadzie prostej ekstrapolacji modelu

Wady i zalety na podstawie modelu przyczynowo-skutkowego

Wady

Zalety

Nieznajomość wartości zmiennych objaśniających w okresie prognozowanym Pośredni charakter prognozowania, czyli konieczność wyznaczenia wcześniejszego prognoz zmiennych objaśniających na podstawie modeli struktury Pracochłonność wyznaczenie prognoz ze względu na pośredni charakter prognoz Niebezpieczeństwo kumulacji błędów prognoz w związku z wykorzystywaniem prognoz zmiennych objaśniających obarczonych już własnymi błędami

Wyższa wartość poznawcza modelu przyczynowo-skutkowego ze względu na mechanizm przyczynowo-sutkowy wbudowany w ten model, pod warunkiem, że zachodzi stabilność zależności w okresie próby i poza nią Przy tym spełnionym warunku model przyczynowo-skutkowy nadaje się do wyznaczania prognoz na dłuższe okresy

Wady i zalety na podstawie modelu autoregresji

Wady	Zalety
Sekwencyjność wyznaczania prognoz (w każdym następnym kroku wykorzystuje prognozy wyliczone wcześniej) Niebezpieczeństwo kumulacji błędów w związku z wykorzystaniem prognoz z wcześniejszych etapów	Prostota wyznaczania prognoz Znajomość wartości zmiennych objaśniających (tylko w pierwszym kroku) Przy założeniu stabilności zależności modele autoregresyjne można wykorzystać na krótkie, średnia a nawet dłuższe okresy

NA PEWNO BĘDĄ WADY I ZALETY

Nie będzie prognozowania na podstawie modelu wielorównaniowego!!!!