Podstawy teorii plastyczności

Referat nr 3 temat nr 23

Teoria sprężystości jest działem mechaniki, zajmującym się bryłami sztywnymi i ciałami plastycznymi. Sprężystość zajmuje się odkształceniami i ruchem ciał sprężystych.

Ciało sprężyste – jeżeli doznaje oddziaływań czynników zewnętrznych (siły, momenty, temperatura, itp.), to efektem tego działania jest deformacja ciała (przemieszczenia, odkształcenia). Po zdjęciu obciążeń ciało wraca do stanu pierwotnego.

Oddziaływania, przy których ciało zachowuje się sprężyście mają pewne granice. Przekroczenie tych granic powoduje nieodwracalne zmiany. Po odjęciu przyczyny (czynnik zewnętrzny) pozostają trwałe odkształcenia - takie ciało nazywamy ciałem plastycznym.

Po przekroczeniu granicy oddziaływań sprężystych mogą wystąpić tak duże deformacje, że struktura ciała zostaje zniszczona (np.: pękanie) - takie ciała nazywamy kruchymi.

2. Definicje

1. Ciała traktujemy jako ciągłe – continuum materialne (brak pęcherzy, pustek, pęknięć, itp.). Możemy określić gęstość ρ w każdym punkcie ciała.

M

p = lim

V ∞ V

Masa całej bryły wynosi:

M =∫ p dV

V

Stan naturalny – jest to stan do którego wraca ciało po zdjęciu obciążeń. Ciała jednorodne – w każdym punkcie posiada takie same cechy.

Ciała izotropowe – zmiana własności ciała nie zależy od kierunku.

2) Siły masowe - związane z masą (objętością)

- siła masowa jednostkowa p

- całkowita siła masowa

3)Siły powierzchniowe – działają na powierzchnię (także wzajemne oddziaływania
międzycząsteczkowe)
- siła powierzchniowa jednostkowa	f
- całkowita siła powierzchniowa

1.3. Elementy rachunku wektorowego i tensorowego.

Skalar – jest to wielkość, która zależy od miejsca, nie zależy natomiast od przyjętego układu współrzędnych; do jego opisu wystarczy tylko jedna wartość. Zjawiska opisywane skalarowo to np.:temperatura, masa, objętość, długość, itp.

Wektor – układ trzech wielkości skalarnych, które są zmiennicze w zależności od układu współrzędnych; określamy przez wartość, kierunek i zwrot. Przykładem wektora jest prędkość.

Tensor – wielkość, którą w przestrzeni opisujemy za pomocą 9 składowych (identyfikacja punktu w przestrzeni – potrzeba 3 przecinających się płaszczyzn = 3 wektory – 9 składowych).

3⁰=1 – tensor o walencji (rząd) 0 – skalar (temperatura) 3¹=3 – tensor o walencji 1 – wektor

3²=9 – tensor o walencji 2 – tensor (naprężenie) 3³=27 – tensor o walencji 3

3⁴=81 – tensor o walencji 4

przemieszczenie – jest wektorem naprężenie – jest tensorem odkształcenie – jest tensorem

wersor e₁ – wektor jednostkowy o kierunku i zwrocie pokrywającym się z kierunkiem i zwrotem

osi.

Każdy wektor można zapisać za pomocą tensorów:

A=A1

e1

A2

e2

A3

e3

(1.6)

Umowa sumacyjna (Einsteina).

Jeżeli w jednomianie (postać iloczynowa) ten sam indeks powtarza się dwa razy to sumujemy po tym wskaźniku, np.:

									3
	ai bi=a1 b1	a2 b2 a3 b3=∑ ai bi					(1.7)
									i=1
				A=A e									(1.8)
						i i
			1.4. Iloczyn skalarny
								A
						α
										B
				Rys. 1.1. Iloczyn skalarny
														(1.9)
				A⋅B=c
													(1.10)
			A⋅B=∣A∣∣B∣cos
Iloczyn skalarny	wersorów	e	,	e	dla		i =	j	wynosi	1,	gdyż cosinus	kąta	α=0˚	zawartego
		i		j
pomiędzy nimi wynosi 1, a ich długość jest jednostkowa:
	e ⋅e =e ⋅e =e ⋅e =e ⋅e =1					(1.11)
	i j	1 1	2	2	3	3
Iloczyn skalarny wersorów	e		e	dla	i	≠	j	wynosi	0, gdyż cosinus	kąta	α=90˚	zawartego
pomiędzy nimi wynosi 0:	i		j
	e ⋅e =e ⋅e =e ⋅e =e ⋅e =e ⋅e =e ⋅e =e ⋅e =0				(1.12)
	i j1 2	2	1	2	3	3	2	1	33 1
				e ⋅e =									(1.13)
				i	j		ij

Symbol δij nosi nazwę delty Kroneckera i jest tensorem o walencji 2:

	1	dla i= j
=	{0
ij		dla i≠ j
A⋅B= Ai ei ⋅ B j e j =Ai⋅B j ei⋅e j =Ai B j ij=Ai Bi	(1.16)
1.5. Iloczyn wektorowy

C

B

			Rys. 1.2. Iloczyn wektorowy
						A
			A×B=C
			∣C∣=∣A∣∣B∣sin
	Powyższy wzór opisuje nam również pole powierzchni równoległoboku rozpiętego na wektorach
			.
A	i	B
	Pomiędzy iloczynami wersorów zachodzą następujące zależności:
	1) Wynikające z prawoskrętnego układu współrzędnych:
			e ×e =e				(1.19)
			1	2	3
			e ×e =−e				(1.20)
			2	1	3
	2) Wynikające z tego, że sinus kąta α=0˚,	zawartego pomiędzy wersorami	e	e	dla i = j,
wynosi 0:					i	j
			e ×e =0				(1.21)
			1	1

Iloczyn wektorowy nie podlega prawu przemienności:

	(1.22)
A×B≠B×A

Iloczyn wektorowy nie podlega prawu łączności, co zapisujemy

Korzystając z powyższych zależności możemy zapisać wzór na współrzędne iloczynu wektorowego:

C=A×B= A₁ e₁ A₂ e₂ A₃ e₃ × B₁ e₁ B₂ e₂ B₃ e₃ =

= A₂ B₃−A₃ B₂ e₁ A₃ B₁−A₁ B₃ e₂ A₁ B₂−A₂ B₁ e₃

W tym miejscu możemy dokonać podziału na rodzaje zapisów:

1. Zapis absolutny Przykład:

A⋅B=c (iloczyn skalarny) A×B=C (iloczyn wektorowy)

2. Zapis wskaźnikowy Przykład:

A⋅B=A_i B_i (iloczyn skalarny)

Dla iloczyny wektorowego mamy:

Korzystamy z symbolu permutacyjnego Ricciego (Levi-Civity) eijk (tensor o walencji 3 – 27 kombinacji):

0	gdy 2 indeksy się powtarzają
eijk = 1	gdy permutacja jest parzysta
{−1 gdy permutacja jest nieparzysta

1

2

3

Rys. 1.3. Permutacja parzysta

1

3

2

Rys. 1.4. Permutacja nieparzysta

Dzięki czemu uzyskujemy:

C_i=e_ijk A _j⋅B_k

Opracował:

Mateusz Siegert

Kierunek: Budownictwo

Studia stacjonarne

Semestr VI, grupa 4

Literatura:

- Piechnik S. Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, PAN, Warszawa-Kraków, 1978

- Gabryszewski Z. Teoria sprężystości i plastyczności, Wrocław, 1987