Temat: Granica funkcji w punkcie.

g nazywamy liczbą funkcji f w Puncie x₀ wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu x_n zbieżnego do x₀ ciąg f(x_n) ciąg wartości jest zbieżny do liczby g.

f(xn)− > g 

f(xn)=f(x0)

Przykład 1.

Wyznacz granicę funkcji w punkcie.

(3x²−5x+2) = 3x2² − 5 * 2 + 2 = 4

Przykład 2

$\operatorname{}{\frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8} = \frac{3^{2} + 3 + 2}{3^{2} + 2*3 + 8} = \frac{14}{23}}$

Przykład 3

$\operatorname{}{\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 2x} = \frac{2^{2} - 4}{2^{2} - 2^{2}} = \frac{4 - 4}{4 - 4} = \frac{0}{0} = \ \operatorname{}{\frac{\left( x - 2 \right)*(x + 2)}{x(x - 2)} = \ \frac{x + 2}{x}}*\frac{4}{2} = 2}$

Przykład 4

$\operatorname{}{\frac{\sqrt{x - 1} - 2}{x - 5} = \ \frac{\sqrt{5 - 1} - 2}{5 - 5} = \frac{\sqrt{4} - 2}{0} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0} = \ \frac{\left( \sqrt{x - 1} - 2 \right)*(\sqrt{x - 1} + 2)}{\left( x - 5 \right)*(\sqrt{x - 1} + 2)}} = \ \frac{({\sqrt{x - 1})}^{2} - 2^{2}}{\left( x - 5 \right)*(\sqrt{x - 1} + 2)} = \ \frac{x - 1 - 4}{\left( x - 5 \right)*(\sqrt{x - 1} + 2)} = \ \frac{x - 5}{\left( x - 5 \right)*(\sqrt{x - 1} + 2)} = \ \frac{1}{\sqrt{x - 4} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$

$\operatorname{}{\frac{\sqrt{x^{2} + 1} - 1}{\sqrt{2^{2} + 16} - 4} = \frac{0}{0}} = \frac{\left( \sqrt{x^{2} + 1} - 1 \right)*\left( \sqrt{x^{2} - 1} + 1 \right)*(\sqrt{x^{2} + 16} + 4)}{\left( \sqrt{x^{2} + 16} - 4 \right)*\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 \right)*(\sqrt{x^{2} + 16} + 4)} = \frac{(\left( {\sqrt{x^{2} - 1})}^{2} - 1^{2} \right)*(\sqrt{x^{2} + 16} + 4)}{(\left( {\sqrt{x^{2} + 16})}^{2} - 4^{2} \right)*\left( \sqrt{x^{2} + 1} + 1 \right)} = \frac{\left( x^{2} + 1 - 1 \right)*(\sqrt{x^{2} - 16} + 4)}{\left( x^{2} + 16 - 16 \right)*(\sqrt{x^{2} + 1} + 1)} = \frac{\sqrt{0 + 16} + 4}{\sqrt{0 + 1} + 1} = \frac{8}{2} = 4$