Politechnika Wrocławska Wrocław, 15.01.2012

Wydział Budownictwa Lądowego i Wodnego

Katedra Dróg i Lotnisk

Arian Kompani Zare
176719

Kurs: Metody Obliczeniowe

Zadanie zaliczeniowe

Metodą różnic skończonych wyznaczyć przybliżoną linię ugięcia belki przedstawionej na schemacie:

Przekrój prostokątny o wymairach b x h = 0,2 x 0,4m

$$\text{EI} = E*\frac{bh^{3}}{12} = 29*10^{6}\text{kN}/m^{2}*\frac{0,2*{0,4}^{3}}{12}m^{4} = 30933\text{kN}m^{2}$$

Reakcje (policzone w programie ROBOT):

Podpora lewa- V_A = 1, 8kN

(ręcznie $\sum_{}^{}{M_{A} = 0}$)

Podpora prawa- V_B = 4, 2kN

(ręcznie $\sum_{}^{}{Y = 0}$)

Wykresy sił wewnętrznych (utworzone za pomocą programu ROBOT):

Momenty:

Siły Tnące:

Podzielono belkę na 20 równych odcinków
długość odcinków równa Δx = 0, 5m

Tak więc Δx² = 0, 25m

Tabela zestawiająca momenty w wybranych punktach:

Lp.	M
0	-10,00
1	-9,10
2	-8,20
3	-7,30
4	-6,40
5	-5,50
6	-4,60
7	-3,70
8	-2,80
9	-1,90
10	-1,00
11	0,03
12	1,30
13	2,83
14	4,60
15	6,63
16	8,90
17	6,43
18	4,20
19	2,10
20	0,00

Ugięcie w(x) z równania różniczkowego II rzędu:

$$\frac{\delta^{2}w}{\delta x^{2}} = - \frac{M}{\text{EI}}$$

$$\frac{w_{i - 1} - 2w_{i} + w_{i + 1}}{\Delta x^{2}} = - \frac{M}{\text{EI}}$$

Np. $i = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w_{- 1} - 2w_{0} + w_{1} = 10\text{kNm}*\frac{{0,5}^{2}m^{2}}{30933\text{kN}m^{2}} = 8,082*10^{- 5}m$

Tak więc powstaje 21 równań i 21 niewiadomych, które wyliczam za pomocą programu Excel i otrzymuję przemieszczenia. Owe ugięcia porównuję z tymi, które wyznaczył mi program Robot:

Lp.	Ugięcie w Excelu	Ugięcie w Robocie	Procentowa różnica wyników
0	0	0	0
1	-0,00026	-0,00026	0,0%
2	-0,00045	-0,00045	0,0%
3	-0,00057	-0,00058	1,7%
4	-0,00064	-0,00064	0,0%
5	-0,00065	-0,00066	1,5%
6	-0,00062	-0,00062	0,0%
7	-0,00055	-0,00056	1,8%
8	-0,00045	-0,00046	2,2%
9	-0,00033	-0,00034	2,9%
10	-0,00019	-0,00019	0,0%
11	-0,00004	-0,00005	20,00%
12	0,00010	0,00009	10,00%
13	0,00024	0,00022	8,33%
14	0,00035	0,00033	5,71%
15	0,00042	0,00041	2,38%
16	0,00044	0,00043	2,27%
17	0,00039	0,00038	2,56%
18	0,00029	0,00028	3,45%
19	0,00015	0,00015	0,0%
20	0	0	0,0%

Widać, że obliczenie jest dosyć dokładne. W niektórych przypadkach wyniki różnią się w większym stopniu (>8%). Wynika to pewnie z błędów zaokrągleniowych w dość małych wartościach.

Linia ugięcia: