Grzegorz Czechowski gr.10 AiR

Akademia Górniczo-Hutnicza

Im. Stanisława Staszica w Krakowie

Wydział Inżynierii Mechanicznej I Robotyki

Teoria maszyn i mechanizmów

Analiza mechanizmu dźwigniowego

Projekt 6A

1. Synteza strukturalna i geometryczna mechanizmu.

1.1. Budowa łańcucha kinematycznego – schemat ideowy.

1.2. Ruchliwość i klasa mechanizmu :

• Ruchliwość:

w= 3n – 2p₅ – p₄

n=3

p₄=0

p₅=4 ; (0,1), (1,2), (2,3), (3,0)

w=3*3 – 2*4= 1

• Klasa mechanizmu :

Po odłączeniu członu napędzającego 1 pozostałe człony 2 i 3 tworzą grupę strukturalną.

n=2
p₅=3

w=3*2 -2 *3=0

Grupa strukturalna jest klasy 2.
Mechanizm składa się z członu napędzającego i grupy strukturalnej klasy 2, jest więc to mechanizm klasy 2.

1.3. Ograniczenia geometryczne

Aby mechanizm mógł działać musimy przyjąć następujące założenia:
a) l₃ ≠ h, by człon napędzający 1 mógł wykonać obrót
b) $l_{1} \geq \sqrt{a^{2} + \left( h - l_{3} \right)^{2}}$ , by człon napędzający 1 mógł dosięgać punktu B

1.4 Model mechanizmu w programie SAM:

Wymiary mechanizmu:

l_AB = l₁= 500 mm = 0,5 m

l_BD = l₂= 150 mm = 0,15 m

l_BC = l₃= 200 mm = 0,2 m

l_ce = S_max= 800 mm = 0,8 m

Do obliczeń kinematycznych przyjąłem dane:

φ₁₀= 143^o = 2,5 rad

ω₁ = -1,5 rad/s

φ₁(t)= φ₁₀ + ω₁t = (2,5 – 1,5* t)rad

Przyjmiemy czas ruchu członu 1, t₁ = 0,1 s
φ₁(t₁) = (2,5 – 0,15) rad = 2,35 rad

2. Analiza kinematyczna mechanizmu.

2.1. Analiza kinematyczna mechanizmu metodą grafoanalityczną.

Położenie mechanizmu po czasie 0,1 [s].

Analiza prędkości:

v_B1 = ϖ₁ * AB= 1,5 *420 $\left\lbrack \frac{\text{mm}}{s} \right\rbrack =$0,630$\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$

= = +

v_B2B1=0,630$\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$

v_B2=0,884$\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$

ϖ₂ = ϖ₁

v_DB2 = ϖ₂ * BD=1,5 * 0,15$\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$=0,225$\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$

$$\overrightarrow{v_{D}} = +$$

v_D=0,743$\left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$

$$\overrightarrow{v_{B}} = \overrightarrow{v_{C}}$$

Analiza przyspieszeń:

$$\overrightarrow{a_{B1}} = \overrightarrow{} + \overrightarrow{}$$

a_B1^τ = 0

$\overrightarrow{a_{B1}} = a_{B1}^{n} = {\varpi_{1}}^{2}*AB = \ $2,25 * 420 $\left\lbrack \frac{\text{mm}}{s^{2}} \right\rbrack$=0,945$\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

$$= + \overrightarrow{a_{B2B1}}$$

$$\overrightarrow{a_{B2B1}} = \overrightarrow{} + \overrightarrow{}$$

a_B2B1^cor = 2 * ϖ₂ * v_B2B1= 2 * 1,5* 0,630$\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack\ $=1,89 $\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$

$$= = + \overrightarrow{} + \overrightarrow{}$$

$$a_{B2B1}^{\tau} = 2,835\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

$$a_{B} = a_{B2} = 2,662\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

$$a_{DB2} = \varpi_{2}^{2}*BD = 2,25*0,15 = 0,3375\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

$$\overrightarrow{a_{D}} = +$$

$$a_{D} = 2,435\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

a_B = a_C

2.2. Analiza kinematyczna mechanizmu metoda analityczną

Dane:

Obliczenia przeprowadzamy dla czasu t₁=0,1 s

φ₁(t) = φ₁₀ +  ω₁t = (2,5−1,5*t)[rad]

φ₁(t₁) = (2,5 – 0,15) rad = 2,35 rad

l₂ = 0, 15 [m],    l₃ = 0, 2 [m],    l₀₂ = 0, 64 [m]

$$\ \varphi_{3} = \frac{\pi}{2},\text{\ φ}_{01} = 0,\ \ \ \varphi_{02} = 231,\ \text{\ \ φ}_{2} = \varphi_{1} + \frac{\pi}{2}$$

Obliczyć: l₁, l₀₁, v_C, v_D, a_C, a_D

Rozwiązanie:

$$\overrightarrow{l_{1}} + \overrightarrow{l_{3}} + \overrightarrow{l_{01}} + \overrightarrow{l_{02}} = 0$$

$$\overrightarrow{l_{1}} + \overrightarrow{l_{2}} = \overrightarrow{r_{D}}$$

Przyjmujemy 2n – 2 = 6 parametrów dla wieloboku pierwszego.

$$\left\{ \begin{matrix} l_{1}\cos\varphi_{1} + l_{3}\cos\varphi_{3} + l_{01}\cos\varphi_{01} + l_{02}\cos\varphi_{02} = 0 \\ l_{1}\sin\varphi_{1} + l_{3}\sin\varphi_{3} + l_{01}\sin\varphi_{01} + l_{02}\sin\varphi_{02} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$\left\{ \begin{matrix} l_{1}\cos\varphi_{1} + l_{01} + l_{02}\cos\varphi_{02} = 0 \\ l_{1}\sin\varphi_{1} + l_{3} + \ l_{02}\sin\varphi_{02} = 0 \\ \end{matrix} \right.\ $$

l₁sinφ₁ = 0, 78 * l₀₂ − l₃ = A = 0, 3 [m]

$$l_{1} = \frac{A}{\sin\varphi_{1}} = 0,42\ \lbrack m\rbrack$$

$$\frac{A}{\sin\varphi_{1}}\cos\varphi_{1} + l_{01} + l_{02}\cos\varphi_{02} = 0$$

Actgφ₁ + l₀₁ + l₀₂cosφ₀₂ = 0

l₀₁ = −l₀₂cosφ₀₂ − Actgφ₁

Przesunięcie punktu C :

s_C = s − l₀₁ = s + l₀₂cosφ₀₂ + Actgφ₁

$$v_{C} = \dot{s_{C}} = - \frac{A\varpi_{1}}{\sin^{2}\varphi_{1}} = 0,9\lbrack\ \frac{m}{s}\rbrack$$

$$a_{C} = \dot{v_{C}} = \frac{2A\varpi_{1}^{2}\cos\varphi_{1}}{\sin^{3}\varphi_{1}} = 2,69\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$$

Punkt D:

$$\overrightarrow{r_{D}} = \overrightarrow{l_{1}} + \overrightarrow{l_{2}}$$

$${r_{\text{Dx}} = l_{1}\cos\varphi_{1} + l_{2}\cos\varphi_{2} = l_{1}\cos\varphi_{1} + l_{2}\cos\left( \varphi_{1} + \frac{\pi}{2} \right) = l_{1}\cos\varphi_{1} - l_{2}\sin\varphi_{1}}{r_{\text{Dy}} = l_{1}\sin\varphi_{1} + l_{2}\sin\varphi_{2} = l_{1}\sin\varphi_{1} + l_{2}\cos\varphi_{1}}$$

$\left\{ \begin{matrix} r_{\text{Dx}} = Actg\varphi_{1} - l_{2}\sin\varphi_{1} \\ r_{\text{Dy}} = A + l_{2}\cos\varphi_{1} \\ \end{matrix} \right.\ $

$$r_{D} = \sqrt{{r_{\text{Dx}}}^{2} + {r_{\text{Dy}}}^{2}}$$

$$\left\{ \begin{matrix} v_{\text{Dx}} = \dot{r_{\text{Dx}}} = - \frac{A\varpi_{1}}{\sin^{2}\varphi_{1}} - \varpi_{1}l_{2}\cos\varphi_{1} = 0,66\ \lbrack\frac{m}{s}\rbrack \\ v_{\text{Dy}} = \dot{r_{\text{Dy}}} = - \varpi_{1}l_{2}\sin\varphi_{1} = 0,16\ \lbrack\frac{m}{s}\rbrack \\ \end{matrix} \right.\ $$

$$v_{D} = \sqrt{{v_{\text{Dx}}}^{2} + {v_{\text{Dy}}}^{2}} = 0,757\ \lbrack\frac{m}{s}\rbrack$$

$$\left\{ \begin{matrix} a_{\text{Dx}} = \frac{2A\varpi_{1}^{2}\cos\varphi_{1}}{\sin^{3}\varphi_{1}} + {\varpi_{1}^{2}l}_{2}\sin\varphi_{1} = 2,464\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack \\ a_{\text{Dy}} = - {\varpi_{1}^{2}l}_{2}\cos\varphi_{1} = 0,236\ \lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack \\ \end{matrix} \right.\ $$

$a_{D} = \sqrt{{a_{\text{Dx}}}^{2} + {a_{\text{Dy}}}^{2}} = 2,475\lbrack\frac{m}{s^{2}}\rbrack$

2.3. Wykresy kinematyczne w programie SAM.

• Prędkość i przyśpieszenie punktu B.

• Prędkość i przyśpieszenie punktu D.

2.4. Porównanie wyników w tabeli

	Parametr	SAM	Metoda grafoanalityczna	Metoda analityczna
1.	vC	0,882	0,884	0, 900
2.	vD	0,747	0,743	0, 757
3.	vB	0,882	0,884	0, 900
4.	aC	2,619	2, 662	2, 690
5.	aD	2,390	2, 435	2, 475
6.	aB	2,619	2, 662	2, 690

3. Analiza kinetostatyczna mechanizmu.

3.1. Obliczenie mas i momentów bezwładności członów.

Przyjmujemy masę członu 2: m₂ = 1[kg]
ε₂ = 0 więc moment bezwładności J_S2 nie będzie powodował momentu

3.2. Obliczenie sił ciężkości, sił bezwładności oraz przyjęcie zewnętrznych sił i momentów oporu.

$$\overrightarrow{G_{2}} = m_{2}\overrightarrow{g}$$

G₂ = 9, 81 [N]

$$\overrightarrow{B_{2}} = - m_{2}\overrightarrow{a_{2}}$$

B₂ = 2, 69 [N]

$$\overrightarrow{M_{B2}} = - J_{S2}\overrightarrow{\varepsilon_{2}} = 0$$

P₃ = 10 [N]

M₂ = 2 [Nm]

3.3. Wyznaczenie reakcji w parach kinematycznych oraz momentu równoważącego metodą grafoanalityczną.

• Analiza sił działających na grupę strukturalną (2,3)

$$\sum_{}^{}\overrightarrow{R_{i(2)}} = + + + \overrightarrow{R_{32}} = \overrightarrow{0}$$

$$\sum_{}^{}\overrightarrow{R_{i(3)}} = + + \overrightarrow{R_{23}} = \overrightarrow{0}$$

$+ + + + = \overrightarrow{0}$

Otrzymujemy:

R₀₃ = 2, 419 [N]

R₁₂ = 10, 395 [N]

R₂₃ = −R₃₂ = 10, 288 [N]

• Analiza sił działających na człon napędzający:

+ + =0

$$\overrightarrow{R_{01}} = - \overrightarrow{R_{21}}$$

R₀₁ = 10, 395 [N]

$$\sum_{}^{}{M_{A} = 0}$$

M₂ + R₂₁AB − M_R1 = 0

M_R1 = M₂ + R₂₁AB = 2 [Nm] + 10, 395[N] * 0, 42[m] = 6, 366 [Nm]

3. 4. Obliczenie momentu równoważącego metodą mocy chwilowych.

$\overrightarrow{v_{C}} = \overrightarrow{v_{B}}$ ; $\overrightarrow{\omega_{1}} = \overrightarrow{\omega_{2}}$

$$\overrightarrow{M_{R1}} \bullet \overrightarrow{\omega_{1}} + \overrightarrow{G_{2}} \bullet \overrightarrow{v_{B}} + \overrightarrow{B_{2}} \bullet \overrightarrow{v_{B}} + \overrightarrow{M_{2}} \bullet \overrightarrow{\omega_{2}} + \overrightarrow{P_{3}} \bullet \overrightarrow{v_{C}} = 0$$

M_R1ω₁ + B₂v_B − M₂ω₂ − P₃v_C = 0

$$M_{R1} = \frac{- B_{2}v_{B} + M_{2}\omega_{2} + P_{3}v_{C}}{\omega_{1}}$$

$$M_{R1} = \frac{- 2,69*0,9 + 2*1,5 + 10*0,9}{1,5} = 6,386\ \left\lbrack \text{Nm} \right\rbrack$$

3.5. Wyznaczenie momentu równoważącego w programie SAM.

3.6. Porównanie wyników obliczeń siły równoważącej.

Metoda grafoanalityczna MR1	Metoda mocy chwilowych MR1	Obliczenia w programie SAM MR1
6,366 [Nm]	6,386 [Nm]	6,354 [Nm]

Porównanie wyników wskazuje, że obliczenia zostały wykonane poprawnie.