WEiP	Imię i Nazwisko Konrad Kochanowicz Łukasz Lis	Rok II	Grupa 4	Zespół 16
Pracownia fizyczna	Temat: Moduł Younga	Nr ćwiczenia 11
Data wykonania:	Data oddania poprawy:	Zwrot do:	Data oddania:	Data zaliczenia:

Wprowadzenie:

Prawo Hooke’a – prawo mechaniki (działu fizyki) określające zależność odkształcenia od naprężenia. Mówi, że odkształcenie sprężyste ciała jest proporcjonalne do przyłożonych sił.

Odkształcenie sprężyste – to takie odkształcenie, które ustępuje po usunięciu siły, która je spowodowała.

Moduł Younga – jest to prawo Hooke’a, zapisane dla ciała sprężystego, które jest rozciągane.

$$E = \ \frac{\sigma}{\varepsilon} = \ \frac{F}{S}\ \frac{l_{0}}{l}$$

Jednostką modułu Younga jest Pascal [1Pa=1N/1m²]

Stała sprężystości- k– stała materiałowa charakteryzująca zdolność ciała do odkształceń sprężystych, czyli takich gdy po zaprzestaniu działania siłą ciało powraca do swojego pierwotnego kształtu.

Dla szeregowego połączenia dwóch sprężyn siła sprężystości wynosi:

$$\frac{1}{k} = \ \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$$

Zaś dla równoległego połączenia:

k = k₁ + k₂ 

gdzie k₁,k₂-stałe sprężystości dla poszczególnych sprężyn

Siłą harmoniczną nazywamy siłę , która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i jest skierowana ku jego początkowi.

Dźwignia dwustronna wykorzystuje zjawisko momentu siły. Jeżeli z ramiona działania siły są różne po przeciwnych strona osi obrotu to możemy za pomocą mniejszej siły przyłożonej do dłuższego ramienia wygenerować większą siłę przyłożoną do krótszego ramienia.

Warunek równowagi:

$$\overrightarrow{F_{1}}\ \times \overrightarrow{r_{1}} + \ \overrightarrow{F_{2}}\ \times \overrightarrow{r_{2}} = 0$$

Rys. 1 Przykład dźwigni dwustronnej.

Kołowrót - walec o promieniu r z umocowaną na jego końcu korbą o ramieniu R. Na walec nawinięte jest cięgno, na koniec którego działa siła Q zwana siłą użyteczną, natomiast P jest siłą poruszającą. Jeżeli długość korby ( R ) jest większa od promienia walca, kołowrót umożliwia podnoszenie ciężkiego ciała przy użyciu mniejszej siły. Z równowagi momentów sił wynika wzór:

R  • P =  r  • Q

Kołowrót służy do podnoszenia i opuszczania ładunku zawieszonego na linie (lub łańcuchu) przez nawijanie jej na obracający się wał, napędzany korbą.

Wpływ warunków początkowych - drut powinien być możliwie prosty i zawieszony pionowo. Jeżeli te warunki nie zostaną spełnione siła działająca na drut może spowodować nie tylko jego pożądane wydłużenie ale również niepożądane działania oboczne takie jak zgięcie drutu.

Pomiary i obliczenia

Pomiar długości drutów
Lp.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Drut pierwszy – drut stalowy

Długość [mm]: 1070

Średnia średnica drutu [mm]: 0,7130 u(d)=0,0039

Masa odważników [kg]	Siła F [N]	Wskazanie czujnika [mm]	Wskazanie czujnika [mm]	Wydłużenie średnie Δl [mm]
1	9,81	0,28	0,28	0,28
2	19,62	0,48	0,49	0,49
3	29,43	0,64	0,66	0,65
4	39,24	0,83	0,84	0,84
5	49,05	0,99	1,01	1,00
6	58,86	1,14	1,16	1,15
7	68,67	1,28	1,30	1,29
8	78,48	1,41	1,44	1,43
9	88,29	1,56	1,58	1,57
10	98,10	1,71	1,71	1,71

Drut drugi – drut mosiężny

Długość [mm]: 1066

Średnia średnica drutu [mm]: 0,7660 u(d)=0,0029

Masa odważników [kg]	Siła F [N]	Wskazanie czujnika [mm]	Wskazanie czujnika [mm]	Wydłużenie średnie Δl [mm]
1	9,81	0,30	0,32	0,31
2	19,62	0,57	0,61	0,59
3	29,43	0,85	0,87	0,86
4	39,24	1,11	1,13	1,12
5	49,05	1,32	1,36	1,34
6	58,86	1,57	1,57	1,57

Opracowanie wyników

Wzór roboczy:

$$E = \ \frac{l}{S\ \bullet \ a}$$

Gdzie:

a – stosunek względnego wydłużenia do siły wydłużającej,

l₀ – długość drutu, gdzie nie działają na niego żadne siły,

S – pole powierzchni przekroju,

E – moduł Younga

Obliczenie modułu Younga dla drutu stalowego:

l = 1070 mm = 1,070 m

a = 0,01596 mm/N = 159,6 * 10^(-7) m/N

S = $\text{d\ }^{2} \bullet \frac{\pi}{4}$ = 0,3993 mm² = 399,3 * 10 ^(-9) m²

u(a) = 0,00037 mm/N = 3,7 * 10^(-7) m/N

u(l) = 0,58 mm = 0,00058 m

u(S) = 0,0044 mm² = 4,4 * 10 ^(-9) m²

u(d) = $\sqrt{\frac{{\sum_{i = 1}^{10}{(d_{i}} - \overset{\overline{}}{d})}^{2}}{n(n - 1)}}$ = 0,0039 mm = 3,9 * 10^(-6) m

$$E = \ \frac{l}{S\ \bullet \ a} = 167,90\ GPa$$

$$u\left( E \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial E}{\partial l} \bullet u\left\lbrack l \right\rbrack \right)^{2} + \left( \frac{\partial E}{\partial a} \bullet u\left\lbrack a \right\rbrack \right)^{2} + \left( \frac{\partial E}{\partial S} \bullet u\left\lbrack S \right\rbrack \right)^{2}} = 4,31\ GPa$$

E = (167,90±4,31) GPa

E_tabl = 210÷220 GPa

Obliczenie modułu Younga dla drutu mosiężnego:

l = 1066 mm = 1,066 m

a = 0,02566 mm/N = 256,6 * 10^(-7) m/N

S = $\text{d\ }^{2} \bullet \frac{\pi}{4}$ = 0,4608 mm² = 460,8 * 10 ^(-9) m²

u(a) = 0,00062 mm/N = 6,2 * 10^(-7) m/N

u(l) = 0,58 mm = 0,00058 m

u(S) = 0,0036 mm² = 3,6 * 10 ^(-9) m²

u(d) = $\sqrt{\frac{{\sum_{i = 1}^{10}{(d_{i}} - \overset{\overline{}}{d})}^{2}}{n(n - 1)}}$ = 0,0029 mm = 2,9 * 10^(-6) m

$$E = \ \frac{l}{S\ \bullet \ a} = 90,15\ GPa$$

$$u\left( E \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial E}{\partial l} \bullet u\left\lbrack l \right\rbrack \right)^{2} + \left( \frac{\partial E}{\partial a} \bullet u\left\lbrack a \right\rbrack \right)^{2} + \left( \frac{\partial E}{\partial S} \bullet u\left\lbrack S \right\rbrack \right)^{2}} = 2,29\ GPa$$

E = (90,15±2,29) GPa

E_tabl. = 100 GPa

Wnioski:

Po wstawieniu do odpowiednich wzorów wyników wydłużenia drutów doświadczeń otrzymaliśmy odpowiednie wartości modułu Younga. Wyniosły one E=(167,90±4,31) GPa dla drutu stalowego i E = (90,15±2,29) GPa. Oba wyniki uwzględniając niepewność i niepewność rozszerzoną są mniejsze niż wartości tablicowe. Różnice mogą wynikać z wyeksploatowania materiału który poddawany częstym naprężeniu mógł zmienić swoje właściwości i stać się mniej odporny na rozciąganie.