Politechnika Śląska

Wydział Elektryczny

Studia niestacjonarne zaoczne

kierunek: elektrotechnika

rok akademicki 2010/2011

Podstawy mechaniki

Praca domowa

Janusz Kotlarz

Grupa 2

Ad 1. Wyznaczenie wartości reakcji podpór (składowych i wypadkowych oraz kąta nachylenia względem osi Y)

Tabela danych

a[m]	L1[m]	L2[m]	L3[m]	L[m]	P[kN]	P1[kN]	P2[kN]	q[kN/m]
0,5	0,5	1	1,2	4	1	10	4	10

Warunki równowagi:

1. $\mathbf{Suma\ sil:}\sum_{}^{}\mathbf{P}_{\mathbf{\text{iX\ }}}\mathbf{= 0}$

P  R_AX  = 0

1. $\mathbf{Suma\ sil\ \ }\sum_{}^{}\mathbf{P}_{\mathbf{\text{iY}}}\mathbf{\ = 0}$

R_AY  +  P₂  +  R_BY  P₁  P₃  = 0

1. $\mathbf{Suma\ momentow\ \ }\sum_{}^{}\mathbf{M}_{\mathbf{A}}\mathbf{\ = 0}$

$$P \times a\ + \ P_{1\ } \times L_{2\ } - \ P_{2\ }\left( L_{2} + L_{3} \right) + P_{3\ }\left( L_{2} + L_{3} + \frac{L_{4}}{2} \right) - R_{\text{BY}} \times \left( L - L_{1} \right) = 0$$

Z równania (1) $\sum_{}^{}\mathbf{P}_{\mathbf{\text{iX}}\mathbf{\ }}\mathbf{=}\mathbf{0}$ wyznaczamy składową R_AX :

P +  R_AX  = 0

R_AX  = P

R_AX  = 1 kN

Korzystając z równania (3) $\sum_{}^{}\mathbf{M}_{\mathbf{A}}\ = \mathbf{0}$ wyznaczamy R_BY :

$$\mathbf{R}_{\mathbf{\text{BY}}\mathbf{\text{\ \ \ }}} = \frac{1}{L - L_{1}}\left\lbrack P \times a\ + \ P_{1\ } \times L_{2\ } - \ P_{2\ }\left( L_{2} + L_{3} \right) + P_{3\ }\left( L_{2} + L_{3} + \frac{L_{4}}{2} \right) \right\rbrack\ $$

Najpierw jednak należy wyznaczyć L₄ oraz P₃ z następujących zależności:

L₄ = L − (L₁+L₂+L₃)

P₃ = q × L₄

L₄ = 1, 3 m

P₃ = 10 × 1, 3 = 13 kN

Po wstawieniu danych R_BY wynosi:

R_BY  = 11, 071 kN

Z równania (2)$\ \sum_{}^{}P_{\text{iY}}\ = 0$ wyznaczamy składową R_AY :

R_AY  = P₁ + P₃ − P₂ − R_BY

R_AY  = 7, 928 kN

Wyznaczenie wypadkowej R_A :

$$\mathbf{R}_{\mathbf{A}\mathbf{\text{\ \ }}}\mathbf{=}\sqrt{R_{\text{AX}}^{2} + R_{\text{AY}}^{2}}\mathbf{=}\sqrt{{( - 1000)}^{2} + {7928,58}^{2}} = 7,991\ kN$$

Kąt nachylenia reakcji w punkcie A do osi Y:

$$\cos \propto = \frac{R_{\text{AY}}}{R_{A}}\mathbf{=}\frac{7,928}{7,991} = 0,9921$$

Zatem kąt nachylenia ∝ ≈  1^∘∖n

Ad 2. Rozkład momentów gnących na długości belki.

Przedział I

M_I = a × P;

M_I = 0, 5 kNm

Przedział II

M_II = a × P + (x−L₁) × R_AY;         L₁ ≪ x ≪ L₁ + L₂

dla x = L₁ ; M_II = 0, 5 kNm

dla x = L₁ + L₂ ; M_II = P × a + R_AY × L₂ = 8, 428 kNm

Przedział III

M_III = a × P + (x−L₁) × R_AY − (x − L₁ − L₂)×P₁;         L₁ + L₂ ≪ x ≪ L₁ + L₂ + L₃

dla x = L₁ + L₂ ; M_III = P × a + R_AY × L₂ = 8, 428 kNm

dla x = L₁ + L₂ + L₃ ; M_III = P × a + (L₂+L₃) × R_AY − L₃ × P₁ = 5, 941 kNm

Przedział IV

$$M_{\text{IV}} = a \bullet P + \left( x - L_{1} \right)R_{\text{Ay}} - \left( x - L_{1}{- L}_{2} \right)P_{1} + \left( x - L_{1} - L_{2} - L_{3} \right)P_{2} - \frac{\left( x - l_{1} - l_{2} - l_{3} \right)^{2}}{2} \bullet q\ $$

L₁ + L₂ + L₃ ≪ x ≪ L

dla x = l₁ + l₂ + l₃ M_IV = a • P + (l₂+l₃) • R_Ay − l₃ • P₁ = 5, 941 kNm

dla x = L ; $M_{\text{IV}} = a \bullet P + \left( L - l_{1} \right) \bullet R_{\text{Ay}} - \left( L - l_{1}{- l}_{2} \right) \bullet P_{1} + \left( L - l_{1} - l_{2} - l_{3} \right) \bullet P_{2} - \frac{\left( L - l_{1} - l_{2} - l_{3} \right)^{2}}{2}q = \mathbf{0}\text{\ kNm}$

Zestawienie obliczeń momentów gnących na granicach przedziałów.

Przedział
I
x = a
MI(a)
[kNm]
0,5

Ad 3. Średnice teoretyczne na długości belki dla obciążeń stałych R_e=400MPa

W celu obliczenia średnicy projektowanej belki wykorzystano wzór na naprężenie gnące:

$$\sigma_{g} = \frac{M_{g}}{W_{g}} \leq k_{g}$$

gdzie:

W_g – wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie;

M_g – moment gnący występujący w danym przekroju belki wywołujący naprężenia zginające;

k_g – naprężenie dopuszczalne dla materiału belki.

Naprężenie dopuszczalne dla obciążeń stałych przy zginaniu wynoszą:

k_g = 0, 52R_e

Dla kołowego przekroju projektowanej belki wskaźnik zginania W_g wynosi:

$$W_{g} = \frac{\pi d^{3}}{32}$$

Stąd obliczamy średnicę projektowanej belki:

$$d = \sqrt[3]{\frac{32W_{g}}{\pi}}$$

Ponieważ:

$$W_{g} \leq \frac{M_{g}}{k_{g}}$$

Zatem: $\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }d \geq \sqrt[3]{\frac{32M_{g}}{\pi k_{g}}}$

Jeśli przyjmiemy, że $\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }A = \frac{32}{\pi k_{g}},$

to ostatecznie:

$$d \geq \sqrt[3]{A \bullet M_{g}}$$

R_e = 400 MPa = 4 • 10⁵kPa

$$k_{g} = 0,52 \bullet 4 \bullet 10^{5}kPa = 208 \bullet 10^{3}\text{kPa} = 208 \bullet 10^{3}\frac{\text{kN}}{m^{2}}$$

$$A = \frac{32}{3,14 \bullet 208 \bullet 10^{3}} \cong 5 \bullet 10^{- 5}\frac{m^{2}}{\text{kN}}$$

Obliczenia średnicy teoretycznej belki w granicach przedziałów:

• Granica przedziału I i II

M_I = 0, 5kNm

$$d \geq \sqrt[3]{5 \bullet 10^{- 5}\frac{m^{2}}{\text{kN}} \bullet 0,5kNm} \geq 0,052m$$

• Granica przedziału II i III

M_II = 8, 428kNm

$$d \geq \sqrt[3]{5 \bullet 10^{- 5}\frac{m^{2}}{\text{kN}} \bullet 8,428kNm} \geq 0,075m$$

• Granica przedziału III i IV

M_III = 5, 941kNm

$$d \geq \sqrt[3]{5 \bullet 10^{- 5}\frac{m^{2}}{\text{kN}} \bullet 5,941kNm} \geq 0,067m$$

Zestawienie obliczeń momentów gnących i średnicy na długości belki

Przedział	Długość przedziału	M	d
-	m	kNm	m
I	0	0,5	0,052
	0,2	0,5	0,052
	0,4	0,5	0,052
	0,5	0,5	0,052
II	0,5	0,5	0,052
	0,8	2,878	0,052
	1,0	4,464	0,060
	1,2	6,049	0,067
	1,4	7,635	0,072
	1,5	8,428	0,075
III	1,5	8,428	0,075
	1,8	7,806	0,073
	2,0	7,392	0,071
	2,2	6,977	0,070
	2,4	6,563	0,069
	2,6	6,148	0,066
	2,7	5,941	0,067
IV	2,7	5,941	0,067
	3,0	6,070	0,067
	3,2	5,656	0,065
	3,4	4,841	0,062
	3,6	3,627	0,057
	3,8	2,012	0,046
	4,0	0	0

Wykres momentów gnących na długości belki

Wykres promienia na długości belki