3. METODY ROZWIĄZYWANIA GEODEZYJNYCH ZADAŃ JEDNOZNACZNYCH

Zadania jednoznaczne były zawsze przedmiotem rozważań geodetów bo stanowią one najczęściej wykorzystywane komponenty technologiczne. Istniejąca w literaturze przedmiotu mnogość metod rozwiązań wynika rozwoju środków obliczeniowych. W szczególności dawniej wykorzystywano

- liczydła i tablice logarytmiczne liczb i funkcji trygonometrycznych

- arytmometry i tablice wartości funkcji trygonometrycznych

przy czym korzystanie z tablic wymagało stosowania pracochłonnej interpolacji. Dlatego większość klasycznych algorytmów do minimum ogranicza stosowanie funkcji trygonometrycznych.

Obecne środki obliczeniowe kalkulatory i komputery mają wbudowane algorytmy obliczania wartości funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych dla dowolnych wartości argumentów. Poza tym sprawność obliczeniowa i możliwość programowania obliczeń pozwala na wykorzystanie praktycznie dowolnych algorytmów. Ta sytuacja w pełni koresponduje z automatyzacją zapisu wyników pomiarów i w efekcie pozwala na budowę technologii on-line umożliwiających uzyskiwanie wyników obliczeń bezpośrednio w terenie natychmiast po zakończeniu obserwacji. Niestety niesie to za sobą również pewne dodatkowe wymagania, otóż na ogół nie posiadamy szkicu konstrukcji nie możemy więc czerpać z niego informacji jakościowych. Nowego sensu nabrały metody wyznaczające rozwiązania sposobami graficznymi, w szczególności pozycja i orientacja znana ze stolika topograficznego jest znowu aktualna przy stosowaniu totalstation. Można nawet uważać ją za pomost wiążący czysto pozycyjne metody analityczne geodezji z rozbudowanym transformacjami układów i trójwymiarowymi orientacjami fotogrametrycznymi. Przedstawiając teorie poszczególnych metod będziemy je ilustrować przykładami konstrukcji na płaszczyźnie.

3.1. Metoda kartezjańska, równania obserwacji

Metoda wykorzystuje bezpośrednio geometrię analityczną do utworzenia równań obserwacji. Rozpatrzymy najprostsze obserwacje na płaszczyźnie

A. Znana odległość d_SP = d od punktu stałego S = [x_s, y_s] do punktu wyznaczanego P = [x, y]

(3.1.1)

prowadzi do równania kwadratowego d² = (x-x_s)² + (y-y_s)² (3.1.2)

po uporządkowaniu

gdzie ; ;

B. Znany kąt „wstecz” - wyznaczamy wierzchołek C = [x, y]

(3.1.3)

(forma zerowa Hausbrandta p.8.1) prowadzi do równania

(3.1.4)

dla sin α0 jest to równanie kwadratowe okręgu

(3.1.5)

po uporządkowaniu

gdzie

dla sin α = 0 jest to równanie linii prostej

(3.1.6)

po uprządkowaniu

gdzie ; ;

C. Znany kąt „w przód”- wyznaczamy wierzchołek P = [x, y] prowadzi do równania liniowego

(3.1.7)

po uprządkowaniu

gdzie

3.1.1. Kątowe wcięcie wstecz

Wcięcia jednopunktowe na płaszczyźnie wymagają rozwiązania układu dwóch równań obserwacyjnych. W przypadku wcięcia kątowego w przód dwa równania liniowe dostarczają jednego rozwiązania, w pozostałych przypadkach występują kwadratowe równania okręgów co prowadzi do dwóch rozwiązań. W szczególności kątowe wcięcie wstecz opisują dwa równania okręgów typu (2.1.1).

(3.1.8)

Ich różnica jest równaniem liniowym „linii dobrej orientacji Delambre’a”. Przechodzi ona przez punkt wyznaczany

(3.1.9)

gdzie ; ;

Linia ta odegrała szczególną rolę przy wcięciu realizowanym graficznie na stoliku topograficznym. W metodzie Collinsa (Rys 3.1.1.) linia dobrej orientacji była określana przez jeden z punktów danych O oraz punkt pomocniczy Q wyznaczony wcięciem w przód.

W naszym przypadku równanie liniowe (3.1.9) może zastąpić jedno z równań układu (3.1.8). Uzyskamy w ten sposób układ równoważny

(3.1.8a)

Rys 3.1.1. Kątowe wcięcie wstecz , konstrukcja wcięcia w przód pomocniczego punktu Collinsa

Przedstawimy szczególny sposób rozwiązania uzyskanego układu

jeśli |B|>|A| to gdzie ;

podstawiając do równania pierwszego otrzymamy

gdzie ; ;

jeżeli to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania

z których jedno jest znane

korzystając ze wzoru Vieta’y

otrzymamy poszukiwane współrzędne punktu wcinanego P

; (3.1.10)

w przeciwnym przypadku gdzie ;

co prowadzi do analogicznego rozwiązania z użyciem wzoru Vieta’y.

Równanie kierunkowe linii prostej y=kx+b może sprawiać problemy numeryczne dla dużych wartości k dlatego jeśli musimy z niego korzystac to rozwiązanie dzielimy na dwa przypadki

y=kx+b dla |k|1

x=ly+a dla |l|<1

3.1.2. Wcięcia radarowe

Metoda kartezjańska jest niezawodnym narzędziem dla przypadków nietypowych np. umożliwiła wykorzystanie obserwacji sum i różnic odległości w pierwszych systemach nawigacji radiowej LORAN i SHORAN. Przedstawimy ją szczegółowo na tym przykładzie.

Równanie obserwacji sumy odległości punktu C=[x,y] od punktów L i P

(3.1.11)

przekształcamy na postać wielomianową. Przenosimy jeden z pierwiastków na stronę lewą

podnosimy równanie obustronnie do kwadratu

przenosimy wszystkie składniki bez pierwiastka na prawą stronę

po uporządkowaniu prawa strona jest liniowa względem niewiadomych x i y

gdzie

podnosimy równanie obustronnie do kwadratu

po uporządkowaniu otrzymamy równanie kwadratowe dwóch zmiennych

(3.1.12)

gdzie

Równanie (5.1.9) przedstawia elipsę na płaszczyźnie {xy}, analogicznie dla różnicy odległości otrzymamy równanie kwadratowe hiperboli (stąd określenia systemów nawigacyjnych eliptyczne i hiperboliczne). Do określenia pozycji potrzebujemy dwóch obserwacji radarowych, niech odpowiada im układ równań:

(3.1.13)

Mnożąc pierwsze równanie przez c₂ a drugie przez -c₁ a następnie dodając je do siebie otrzymamy równanie w którym zmienna y występuje tylko w pierwszej potędze

stąd

gdzie`

Wstawiając do jednego z równań (3.4) i mnożąc przez kwadrat mianownika

otrzymamy równanie 4 stopnia

(3.1.14)

gdzie

Zamienimy je metodą Warmusa (Algorytm 1.2.13) na dwa równania kwadratowe sprowadzając do postaci

(3.1.15)

Globema RTLS

System lokalizacji obiektów  w czasie rzeczywistym (RTLS - Real Time Location System) oparty jest o rozwiązanie brytyjskiej firmy Ubisense. Wykorzystujemy technologię radiowej fali szerokopasmowej (Ultra Wide Band - UWB). System składa się z trzech komponentów:

• aktywnych, zasilanych bateriami tagów, które wysyłają impulsy UWB potrzebne do ich lokalizacji;

• sensorów zamontowanych na stałych elementach pomieszczeń, które odbierają i przetwarzają sygnał z tagów; 

• oprogramowania, które gromadzi generowane dane lokalizacyjne, prezentuje, analizuje i przekazuje informacje użytkownikom.  

W trakcie instalacji i konfiguracji systemu zakładana jest referencyjna siatka współrzędnych 3D. Moduł wizualizacyjny wyświetla tagi w czasie rzeczywistym w miejscu, w którym się w danej chwili znajdują. Rejestracja i prezentacja obiektów w przestrzeni z dokładnością do 15 cm jest możliwa dzięki temu, że technologia UWB jest wolna od błędów związanych z odbiciami fal radiowych, które mają miejsce w systemach opartych na technologii RFID lub WiFi. Taka dokładność pozwala na zastosowanie technologii w wielu dziedzinach, m.in.:

• powiązanie danych ze skanerów kodów kreskowych odczytujących etykiety na paletach z ich położeniem w magazynie;

• automatyczne określanie odległości między obiektami;

• identyfikacja i lokalizacja pojazdów w trakcie procesu kontroli jakości na taśmie produkcyjnej;

• kontrola czy w czasie akcji ewakuacyjnej personel dotarł do wyznaczonych stref bezpieczeństwa;

• lokalizacja urządzeń i narzędzi w halach produkcyjnych;

• lokalizacja i wizualizacja obiektów w czasie ćwiczeń i działań oddziałów wojskowych, policji, sił specjalnych itp.

System Ubisense potrafi osiągnąć zwrot z inwestycji już po okresie 12 miesięcy, ponieważ generowane przy jego wykorzystaniu dane wprowadzają większą przejrzystość w procesy, której nie osiągnie się metodami ręcznymi. Jeśli chodzi o procesy produkcyjne system jest w stanie redukować skutki błędów spowodowanych pomyłkami personelu i skracać czas potrzebny na wykonanie zadań.