MECHANICZNA TEORETYCZNA I
I1. Podać aksjomaty statyki teoretycznej.
Zasada pierwsza- czyli zasada równoloegłoboku. Dowolne siły P1 i P2 , przyłożone do jednego punktu, zastąpić możemy siłą wypadkową R przyłożoną do tegoż punktu i przedstawioną jako wektor będący przekątną równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach sił w sposób jak na rys 1.
Zgodnie z powyższymi oznaczeniami wypadkową wyznaczamy ze wzoru:
$$R = \sqrt{{P_{1}}^{2} + P_{2}^{2} + 2P_{2}P_{1}\cos\varphi}$$
R = P2 + P1
Gdy siły są przeciwnie skierowane i P2 = P1, to φ = 180 → cos180 = 1 i wówczas $\ R = \sqrt{{P_{1}}^{2} + P_{2}^{2} - 2P_{2}P_{1}}$ (gdy P1 > P2) to jest to wzór skróconego mnożenia dlatego ostateczny wynik w tym przypadku to:
R = P2 − P1
Zasada druga Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy , gdy działają wzdłuż jednej prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe .
Na rys. 1.6 i 1.7 podany jest przykład takich sil P i P' przyłożonych do punktów A i B pewnego ciała i działających wzdłuż prostej AB. Aby siły te równoważyły się, musi być spełniona zależność.
P=P'
Zgodnie z przyjętym sposobem oznaczenia wektorów o równych wartościach, a przeciwnych kierunkach, w danym przypadku możemy napisać P'= - P
zasada trzecia – Działanie układu sił przyłożonych do ciała sztywnego nie ulegnie zmianie gdy do układu tego dodamy lub odjemiemy dowolny układ równoważących się sił czyli tzw. układ zerowy.
Z zasady tej wynika że do ciała sztywnego zawsze możemy przyłożyć dwie równe co do wartości liczbowej i przeciwnie skierowane siły, działające wzdłuż jednej linii prostej. Istotnie siły te bowiem w myśl zasady drugiej równoważą się wzajemnie .
Zasada czwarta – zasada zeszytwnienia. Równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała.
Na podstawie tej zasady można stwierdzić że warunki równowagi, jakie muszą spełnić siły działające na ciało sztywne, obowiązują również dla ciała odkształcalnego. Jednakże warunki, które w przypadku ciała sztywnego mogą być warunkami wystarczającymi w przypadku ciała odkształcalnego mogą wymagać uzupełnienia.
Zasada piąta – zasada działania i przeciwdziałania. Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłóż tej samej prostej przeciwdziałanie.
Jest to trzecie prawo Newtona sformułowane dla dowolnego ciała materialnego, a nie tylko dla pk. Matrerialnego. W przypadku przedstawionym n a rys 1.9 z powyższej zasady wynika, że siły R i R’ , mają równe wartości liczbobe tzn R’ = - R . Jako przypkład weźmy jednorodną kule spoczywającą na poziomej płaszczyźnie ( rys 1.10a ) Na kulę działa siła ciężkości G oraz siła odziaływania podłoża, przyłożona w punkcie zetknięcia się kuli z płaszczyzną tzn w pkt A. Tę ostanią siłę oznaczono na rys 1.10b przez R. Ponieważ kula znajduje się w spoczynku siły G i R muszą się równoważyć, a więc działać wzdłuż jednej prostejjak na rys 1.10b i musi być R = - G czyli R= G . W myśl zasady działania i przeciwdziałąnia kula oddziałowuje na podłoże z siłą równą R’ równą co do wartości liczbowej sile R i przeciwnie do niej skierowaną ( rys.1.10 c) Mamy więc R’= - R = G
Zasada szósta – zasada oswobodzenie od węzłów. Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzłów, zastępując przy tym ich działąnie odpowienimi redukcjami. Dalej rozpatrywać można ciało tak jak ciało swobodne, podlegające działaniu sił czynnych oraz sił reakcji węzłów.
W tej zasadzie należy zapoznać się z definicjami sił zewnętrznych i wewnętrznych. Załóżmy że rozpatrujemy pewnie układ składający się z dowolnej liczby ciał materialnych, który nazywać będziemy dalej krótko układem materialnym albo układem mechanicznym. Otóż siłami zewnętrznymi układu materialnego nazywać będziemy siły działające na ciała tego układu i stanowiące oddziaływania innych ciał nienależących do niego. Jako siły wewnętrzne natomiast określimy siły wzajemnego oddziaływania na siebie ciał rozpoatrywanego układu lub też poszczególnych części jednego ciała.
N rys 1.11 a przedstawiony jest pręt AB rozciągany siłami P i P’ przyłożonymi do jego końców i działającymi wzdłuż osi pręta. Zakładając, że pręt pozostaje w róznowadze, mamy P=P’. Przetnijmy teraz w myśli rozpatrywany pręt, tak jak zaznaczono na rysunku linią a-a . Aby odcięta część AC pręta znajdowała się w równowadze, należy do wspomnianego przekroju przyłożyć siłę S (rys 1.11 b ) stanowiącą oddziaływanie lewej części pręta. Z warunku równowagi dwu sił wynika od razu że S=P. Siła S jest siłą wew, jeżeli chodzi o cały pręt AB, natomiast siłą zewnętrzną jeżeli rozpatrujemy tylko jego część AC. Określoną wyżej siłę wewnętrzną w pręcie nazywamy napięciem. W rozpatrywanym przykładzie mamy do czynienia z napięciem rozciągającym. Ja stwierdziliśmy, napięcie równe jest co do wartości siłom P i P’ przyłożonym do końców pręta. Na rys 1.11c przedstawiono obie części rozciętego pręta oraz zaznaczono siły, jakie na nie działają. Mamy tu oczywiście S’= S
I2. Które układy sił można zredukować do wypadkowej? Czym różni się wypadkowa od sumy geometrycznej?
Zastępowanie układu sił działających na ciało sztywne przez prostszy układ sił nazywa się redukcją układu sił.
Które układy sił można zdredukowac do wypadkowej :
Płaski układ sił zbieżnych– do siły wypadkowej
Płaski układ sił róznoległych zgodnie skierowanych – do siły wypadkowej
Płaski układ sił równoległych przeciwnie skierowanych – do siły wypadkowej oraz momentu pary sił
Siły dowolnie skierowane, leżące w jednej wspólnej płaszczyźnie, redukuje się do układu najprosztszego, czyli wypadkowej oraz pary sił.
Układ sił zbieżnych – jeżeli linie działania wszystkich sił przechodzą przez jeden wspólny pkt ri tworzą tzw układ sił zbieżnych.
Wypadkową układu sił znieznych nazywa się jedna siłe ( wektor ) zastępującą działanie danego układu sił. Dowolny płaski układ sił P1, P2, Pn , gdzie n = 1,2, 3... przyłożonych do punkt 0 ciała sztywnego mozna zastąpić siłą wypadkową R równą sumie wektorowej( geometrycznej ) tych sił i przyłożoną również do pkt 0. $\overset{\overline{}}{R}$= $\overset{\overline{}}{P_{1}}$+$\overset{\overline{}}{P_{2}}$ + $\overset{\overline{}}{P_{n}}$ = $\sum_{i = 1}^{i = n}\overset{\overline{}}{P_{i}}$
Płaski układ sił równoległych zgodnie skierowanych
Dzie równoległe, zgodnie skierowane siły P1, P2 przyłożone do pkt A i B ciała sztywnego można zastąpić siłą wypadkową „ W” równą sumie tych sił, równoległą do nich i zogodnie z nimi skierowaną. Linia działania wypadkowej „W” dzieli wewnętrznie odcinek AB odwrotnie proporcjonalnie do wartości liczbowych sił P1, i P2 . $\overset{\overline{}}{W}$= $\overset{\overline{}}{P_{1}}$+$\overset{\overline{}}{P_{2}}$, $\frac{P_{1}}{P_{2}}$= $\frac{\text{OB}}{\text{OA}}$
Płaski układ sił o przeciwnych zwrotach.
Dwie równoległe, przeciwnie skierowane siły P1 i P2 przyłożone do punktów A i B ciała sztywnego można zastąpić siłą wypadkową „W „równą różnicy wartości liczbowych tych sił, równoległą do nich i skierowaną zgodnie z siłą o większej wartości liczbowej. Linia działania wypadkowej „W” dzieli zewnętrznie odcinek AB odwrotnie proporcjonalnie do wartości liczbowych sił P1 i P2 i leży po stronie większej siły.
$\overset{\overline{}}{W}$= $\overset{\overline{}}{P_{1}}$- $\overset{\overline{}}{P_{2}}$, $\frac{P_{2}}{P_{1}}$= $\frac{\text{AO}}{\text{BO}}$
Różnica pomiędzy wypadkową a sumą geometryczną jest taka, że suma geometryczna nie ma umiejscowionego położnenia działania a siła wypadkowa dziła w punkcie w którym równoważy działanie sił.
I3. Jak wyznacza się równanie linii działania wypadkowej płaskiego układu sił?
Sposób I - Zasada równoległoboku Wedle tej zasady postępujemy z siłami P1 i P2 . Otrzymujemy wypadkową pokazaną na rysunku jako wektor $\overrightarrow{\text{OB}}$, którą następie możemy w podobny sposób złożyć z siłą P3 . Otrzymaną w ten spsób siłę jako wektor $\overrightarrow{\text{OC}}$ składamy dalej z siłą P4 i otrzymujemy wreszcie jedną siłę R, którą nazywamy wypadkową układu sił . Powyższy sposób można wykonać dla dowolnej liczby sił.
Sposób II Siłę wypadkową R możemy wyznaczyć winny sposób. Z rys 2.1 a Z rysunku wynika że wektor przedstawiający tę siłę jest bokiem zamykającym wielobok OABCD , którego pozostałe boki są równe wektrom przedstawiającym siły P1, P2, P3, P4 . Wielobok taki nazywa się wielobokiem sił. Zgodnie z definicją sumy wektorów wypadkowa R jest sumą geometryczną wszystkich si układu .
Sumowanie geometryczne sił można wykonać osobno tak jak pokazano na rys 2.1b, trzeba jednak pamiętać że wypadkową R należy przyłożyć do punktu O.
I 4. Jak wyznacza się równanie linii działania wypadkowej równoległego układu sił w przestrzeni.
Odp1. Siły nazywamy równoległymi, gdy ich linie działania są do siebie równoległe. Siły takie nie różniące się linią działania dodają się jak skalary lub liczby algebraiczne. Wypadkowa sił równoległych jest sumą algebraiczną tych sił i ma ich linię działania. Zagadnienie wyznaczania wypadkowej sił równoległych sprowadza się zatem do wyznaczania jej położenia, czyli odległości od którejkolwiek z sił składowych o znanym położeniu.
Odp2. Obliczenie wartości siły wypadkowej polega na sumowaniu wartości wszystkich sił, linia działania siły na pewno jest równoległa do lini działania każden z sił. Każda siła posiada wektor wodzący przyłożony od początku układu do punktu zamocowania siły. Aby znaleźć wektor wodzący lini działania siły należy skorzystać ze wzoru:
$$r_{c} = \frac{\sum_{k = 1}^{n}{x_{k}P_{k}}}{\sum_{k = 1}^{n}P_{k}}$$
Czyli jest to iloraz momentu względem np. początku układu do wartości siły wypadkowej.
Odp. 3 Wykład prof. Zębaty:
Warunek istnienia siły wypadkowej
$$\overrightarrow{M_{0}}\bot\overrightarrow{R}$$
Gdzie
$$\overrightarrow{M_{0}} - moment\ glowny$$
$$\overrightarrow{R} - suma\ geometryczna$$
Wyznaczanie wypadkowej:
Na podstawie twierdzenia Valigona: moment wypadkowej względem dowolnego punktu równy jest sumie momentów wszystkich sił działających na ciało sztywne względem tego punktu.
Przykład
I5 Podać i opisać do jakich wielkości można zredukować dowolny układ sił w przestrzeni.
W wyniku redukcji przestrzenny dowolny układ sił sprowadza się do siły wypadkowej równej wektorowi głównemu $\overrightarrow{W_{g}\ \ }$, przyłożonej w obranym biegunie redukcji, oraz do pary sił o momencie $\overrightarrow{M_{g}\ \ }$. Przypadki redukcji uzależnione są od wartości wektorów $\overrightarrow{W_{g}\ \ }$ i $\overrightarrow{M_{g}\ \ }$. Poniżej podano pięć przypadków redukcji przestrzennego dowolnego układu sił.
Jeżeli w wyniku redukcji otrzymujemy wektor główny $\overrightarrow{W_{g}\ \ }$ oraz moment główny $\overrightarrow{M_{g}\ \ }$ różne od zera oraz $\overrightarrow{W_{g}\ \ }$ jest równoległy do $\overrightarrow{M_{g}\ \ }$ czyli :
$\overrightarrow{\mathbf{W}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}\mathbf{\neq}$ 0 , $\overrightarrow{\mathbf{M}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}$ ≠ 0, $\overrightarrow{\mathbf{W}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}$II $\overrightarrow{\mathbf{M}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}$
to układ sił w tym przypadku sprowadza się do tzn. skrętnika. Skrętnikiem albo śrubą statyczną nazywamy układ sił i pary sił, działającej w płaszczyźnie prostopadłej do tej siły. Skrętnik może być prawy albo lewy. Jeżeli kąt pomiędzy $\overrightarrow{W_{g}\ \ }$ i $\overrightarrow{M_{g}\ \ }$ jest równy 0 to układ sił sprowadza się do sprowadza się do skrętnika prawego ( rys.1.34 a). Jeżeli kat pomiędzy $\overrightarrow{W_{g}\ \ }$ i $\overrightarrow{M_{g}\ \ }$ jest równy 180 to układ sił sprowadza się do sprowadza się do skrętnika lewego ( rys.1.34.b). Prostą działania wektora głównego $\overrightarrow{W_{g}\ \ }$ nazywamy osią centralną skrętnika .
Jeżeli wektor główny $\overrightarrow{W_{g}\ \ }$ i moment główny $\overrightarrow{M_{g}\ \ }$ są różne od zera, przy czym wektory te sś do siebie prostopadłe czyli : $\overrightarrow{\mathbf{W}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}$= 0 , $\overrightarrow{\mathbf{M}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}$= 0, $\overrightarrow{\mathbf{W}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}\mathbf{\bot}$ $\overrightarrow{\mathbf{M}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}$ to układ sił redukuje się do jednej siły wypadkowej. Wartość siły wypadkowej jest równa wartości wektora głownego, ma jego zwrot, prosta i jest przesunięta od bieguna redukcji o ramię d= $\frac{I\overrightarrow{M_{g}\ \ }I}{I\overrightarrow{W_{g}\ \ }I}$ tak by moment siły wypadkowej względem bieguna redukcji był równy momentowi głównemu.
Jeżeli wektor główny $\overrightarrow{W_{g}\ \ }$ jest różny od zera, a moment główny $\overrightarrow{M_{g}\ \ }$ jest równy zeru czyli : $\overrightarrow{\mathbf{W}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}\mathbf{\neq}$ 0 , $\overrightarrow{\mathbf{M}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}$ = 0 to układ sił redukuje się do wypadkowej równej wektorowi głównemu $\overrightarrow{\mathbf{W}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}$, przyłożonej w obranym biegunie redukcji.
Jeżeli wektor główny $\overrightarrow{W_{g}\ \ }$ i moment główny $\overrightarrow{M_{g}\ \ }$ są różne od zera czyli $\overrightarrow{\mathbf{W}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}\mathbf{\neq}$ 0 , $\overrightarrow{\mathbf{M}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}$ ≠ 0 to układ sił sprowadza się do pary sił. Kierunek , wartośc i zwrot wektora $\overrightarrow{M_{g}\ \ }$ nie zależą wówczas od obioru bieguna, a więc moment główny $\overrightarrow{M_{g}\ \ }\text{\ \ }$ jest niezmiennikiem układu
Jeżeli wektor główny $\overrightarrow{W_{g}\ \ }$ i jest równy zeru i $\overrightarrow{M_{g}\ \ }$ jest różny od zera czyli $\overrightarrow{\mathbf{W}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}\mathbf{=}$0 , $\overrightarrow{\mathbf{M}_{\mathbf{g}}\mathbf{\ }\mathbf{\ }}$ ≠ 0 i nie są do siebie równoległe ani prostopadłe, układ sił sprowadza się do skrętnika ale o osi przesuniętej względem redukcji o ramię d.
I6. Opisać pojęcie sił wewnętrznych dla płaskiego i przestrzennego układy sił.
Odp 1. Obciążenie przyłożone do elementu konstrukcyjnego powoduje powstanie w nim pewnych sił, które można nazwać siłami wewnętrznymi. Siły te wywołują w materiale stan wytężenia, który może doprowadzić do zniszczenia elementu. Można w dużym uproszczeniu powiedzieć, że projektowanie polega na doborze materiału i kształtu przekroju w taki sposób, aby przy danym obciążeniu i schemacie statycznym, element nie uległ zniszczeniu.
Odp 2. Siły wewnętrzne w układach prętowych powstają w wyniku działania sił zewnętrznych ( są tak jakby odpowiedzią na ich działania gdyż każdej akcji odpowiada reakcja ). W płaskim układzie prętowym można wyrówniź cztery rodzaje sił wewnętrznych : tj. osiowa ( siła, której linia działania jest taka sama jak oś pręta ), siła poprzeczna ( tnąca ) jest siłą prostopadłą do osi pręta oraz momenty zginające ( które działają w płaszczyźnie układu ) i momenty skręcające.
Siły wewnętrzne w układzie przestrzennym są analogiczne do tych w układzie płaskim z tym że mamy do czynienia z 3 współrzędnymi, i np. siła tnąca może działać w dowolnej płaszczyźnie.
MECHANIKA TEORETYCZNA 2
I.7 Podać zasadę d’ Alemberta dla punktu materialnego.
Równanie dynamiczne dowolnego punktu materialnego o masie mi należącego do danego układu ma postać:
−mipi + PiP′i = 0
−mipi − sila bezwladnosci punktu materialengo
Pi − wypadkowa sil zewnetrznych
P′i − wypadkowa sil wewnetrznych
Takie równanie można ułożyć dla każdego pkt materialnego. Biorąc to pod uwagę można sformułować zasadę d’Almeberta
ZASADA D’ALEMBERTA: Siły rzeczywiste działające na ciało będące w ruchu równoważą się w każdej chwili z siłami bezwładności.
W czasie ruchu dowolnego układu punktów materialnych siły rzeczywiste działają na punkty tego układy, równoważą się z odpowienimi siłami bezwładności.
Zgodnie z tą zasadą siły rzeczywiste działające na punkty materialne rozpatrywanego układu
oraz siły bezwładności muszą spełniać ustalone w statyce ogólne równania równowagi. Także
suma wszystkich sił rzeczywistych i wszystkich sił bezwładności musi być równa zeru i suma
geometryczna ich momentów względem dowolnie obranego punktu O musi także być równa
zeru. Wynikają z tego następujące równania.
$$- \sum_{i = 1}^{i = n}{m_{i}p_{i} + \sum_{i = 1}^{i = n}P_{i}} + \sum_{i = 1}^{i = n}{{P'}_{i} = 0}$$
$$\sum_{i = 1}^{i = n}{r_{i} \times ( - m_{i}p_{i}) + \sum_{i = 1}^{i = n}{r_{i} \times P}_{i}} + \sum_{i = 1}^{i = n}{{r_{i} \times P'}_{i} = 0}$$
Wnioski :
Siła bezwładności istnieje tylko wtedy gdy punkt jest w ruchu przyśpieszonym ( uwzględniamy też ruch opóźniony, jednostajny po okręgu)
Siła bezwładności jest zawsze sierowana przeciwnie do przyśpieszenia punktu ( opóźnienia w ruchu opóźnionym, przyśpieszenia w ruchu przyśpieszonym). Stara się ona utrzymać ciało na prostej w ruchu krzywoliniowym.
I.8 Na jakie składowe rozkłada się prędkość punktu, a na jakie przyśpieszenie w trójścianie Freneta?
1. Wektor przyśpieszenia rozkłada się na trzy składowe : składową styczną i składową normalną i binormalną.
$$\overrightarrow{a} = a_{\text{st}}\overrightarrow{T} + a_{n}\overrightarrow{N} + a_{b}\overrightarrow{B}$$
$a_{\text{st}} = \frac{\text{dV}}{\text{dt}}$ $a_{n} = \frac{v^{2}}{\rho}$
2. Wektor prędkości rozkłada się na pochodne względem czasu odpowiednich współrzędnych poruszającego się punktu. ( w nieruchomym prostokątnym układzie współrzędnych)
V = vx + vy + vz
$v_{x} = \frac{\text{dx}}{\text{dt}} = x$, $v_{y} = \frac{\text{dy}}{\text{dt}} = y$ $v_{z} = \frac{\text{dz}}{\text{dt}} = z$
Ponad to prędkosć rozkładamy na składową styczną $\overrightarrow{v}$= $v\overrightarrow{T}$
Trójścian freneta - układ płaszczyzn ściśle stycznej, normalnej prostującej to TRÓJKĄT FRENETA.
Rys.
I.9 Określić położenie chwilowego środka obrotu dla koła tłoczącego się bez poślizgu po prostej
Na prędkość punktu A okręgu toczącego się bez poślizgu składają się dwa wektory prędkości: pierwszy to wektor prędkości środka okręgu VS oraz drugi to wektor chwilowej prędkości punktu A wynikający z toczenia się bez poślizgu a więc z ruchu obrotowego tego okręgu. Dla lepszego zrozumienia na rysunku naniesione zostały oba wektory prędkościdziałające na punkt A okręgu.
Wektor wypadkowy prędkości punktu A stycznego do płaszczyzny poziomej jest wektorem zerowym. Oczywiście prędkość tego punktu jest prędkością chwilową, co oznacza że punkt A jest punktem chwilowego środka obrotu i można go wykorzystać do obliczenia chwilowej
prędkości dowolnego punktu okręgu.
MECHANIKA BUDOWLI 1 I 2
I.10 Jak oblicza się przemieszczenia dla stycznie wyznaczalnych układów prętowych.
I.11 Wyjaśnić na przykładach co to jest stopień statycznej niewyznaczalności układu prętowego.
Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności układów ramowych to :
n = ( rp+3z) − (3 + p)
Gdzie :
rp − liczba reakcji podporowych
z − liczba ukladow zamknietych
p − liczba zalezna od liczby i rodzajow przegubow p = k − 1
k − liczba pretow polaczonych w jednym wezle przegubowym
n = ( rp+3z) − (3 + p)
n = 5 − 3 = 2
I.12 Wyjaśnić na przykładach co to jest geometryczny stopień niewyznaczalności układu prętowego.
Układ prętowy jest geometrycznie niewyznaczalny jeżeli przemieszczenia są możliwe tylko w skutek odkształceń prętów.
Układ geometrycznie niewyznaczalny układ geometrycznie zmienny
Warunek konieczny wyznaczenia geometrycznej niezmienności układu ma postać : w ≥ 3t gdzie „w” to więzi a „t” to tarcze. Czyli n = w − 3t gdy :
n = 0 spełniony jest warunek koniecznygeometrycznej niewyznaczalności
n > 0 - układ jest przesztywniony i geometrycznie niezmienny
n < 0 - układ jest chwiejny i geometrycznie zmienny
Powyższy warunek jest warunkiem koniecznym do spełnienia geometrycznej niezmienności lecz niewystarczającym. Należy dodatkowo sprawdzić czy układ nie jest zmienny chwilowo. Taka sytuacja występuje gdy:
Punkt przecięcia wszystkich więzi leży w nieskończoności
Wszystkie więzi przecinają się w 1 punkcie
W układach wielotarczowych pomimo spełnienia warunku koniecznego część układu jest chwiejna natomiast 2 część przesztywniona.
I.13 Podać równania metody sił i opisać niewiadome wielkości w tej metodzie.
Układ równań kanonicznych w metodzie sił:
$$\left\{ \begin{matrix}
\delta_{11}X_{1} + \delta_{12}X_{2} +_{1P} = 0 \\
\delta_{21}X_{1} + \delta_{22}X_{2} +_{2P} = 0 \\
\end{matrix} \right.\ $$
Gdzie
δik − przemieszczenie po kierunku niewiadomej Xi wywolane dzialaniem jednostkowej sily Xk = 1
iP − przemieszczenie uogolnione po kierunku niewiadomej Xiwywolane dzialaniem danego
obciazenia zewnetrznego P.
Możemy zapisać zatem dany układ równań kanonicznych w postaci wskaźnikowej ( w postaci jednego ogólnego wzoru):
$$\sum_{j = 1}^{n}{\delta_{\text{ij}}X_{j}} +_{\text{iP}} = 0$$
Lub w postaci macierzowej:
[F]{X} + {P} = {0}
Gdzie: [F] = [δik] − macierz podatnosci ukladu
Współczynniki rówanań kanonicznych δik obliczamy ze wzoru, który w ogólnym przypadku dla płaskiego układu ma postać:
$$\delta_{\text{ik}} = \sum_{}^{}\left\{ \int_{}^{}{\frac{M_{i}M_{k}}{\text{EJ}}\text{ds}} + \int_{}^{}{\frac{N_{i}N_{k}}{\text{EA}}ds + \int_{}^{}{\frac{\text{kT}_{i}T_{k}}{\text{GA}}\text{ds}}} \right\}$$
Gdzie:
Mi, Mk − momenty zginajace wywolane dzialaniem sily Xi = 1 i Xk = 1
Ni, Nk − sily normalne wywolane dzialaniem sily Xi = 1 i Xk = 1
Ti, Tk − sily tnace wywolane dzialaniem sily Xi = 1 i Xk = 1
J − moment bezwladnosci przekroju poprzecznego preta
E, G − moduly sprezystosci liniowej i poprzecznej ( stale materialowe)
k − wspolczynnik scinania ( wspolczynnik korekcyjny )
Sumowanie odbywa się po wszystkich prętach układu ( bądź przedziałach w których funkcja siły wewnętrznej zmienia postać ).
Zgodnie z twierdzeniem Maxwella o wzajemności przemieszczeń wiemy że :
δik = δki
Wobec tego macierz podatności musi być symetryczna względem głównej przekątnej.
Współczynnik iP opisujący przemieszczenie pkt. Po kierunku i, spowodowane przez siły zewnętrzne P opisuje wzór:
$$_{\text{iP}} = \sum_{}^{}\left\{ \int_{}^{}{\frac{M_{i}M_{P}^{0}}{\text{EJ}}\text{ds}} + \int_{}^{}{\frac{N_{i}N_{P}^{0}}{\text{EA}}ds + \int_{}^{}{\frac{\text{kT}_{i}T_{P}^{0}}{\text{GA}}\text{ds}}} \right\}$$
Gdzie:
Mi, − momenty zginajace wywolane dzialaniem sily Xi = 1
MP0 − momenty zgin. wywolane dzialaniem obciazen zewnetrznych P w ukladzie podstawowym
Ni, − sily normalne wywolane dzialaniem sily Xi = 1
NP0 − sily normalne wywolane dzialaniem obciazen zewnetrznych P w ukladzie podstawowym
Ti, − sily tnace wywolane dzialaniem sily Xi = 1
TP0 − sily tnace. wywolane dzialaniem obciazen zewnetrznych P w ukladzie podstawowym
J − moment bezwladnosci przekroju poprzecznego preta
E, G − moduly sprezystosci liniowej i poprzecznej ( stale materialowe)
k − wspolczynnik scinania ( wspolczynnik korekcyjny )
W rzeczywistości wpływ sił normalnych i tnących na przemieszczenia jest znikomy w porównaniu z wpływem momentu zginającego, dlatego przeważnie we wzorach tych części uwzględniające siły normalne i tnące pomijamy ( nie dotyczy to kratownic, łuków itp )
I.14 Omówić równania metody przemieszczeń i opisać niewiadome wilekości w tej metodzie.
W metodzie przemieszczeń za niewiadome uważa się przemieszczenie węzłów podporowych, tj. wielkości geometryczne. Stosowanie metody przemieszczeń wymaga ustalenia związków zachodzących między momentami podporowymi i przypodporowymi siłami poprzecznymi a przemieszczeniami podpór. Dalej zajmujemy się tylko belkami, w których węzły podporowe mogą ulegać obrotowi, nie doznają natomiast przemieszczeń liniowych.
METODY OBLICZENIOWE
I.15 Omówić metody numerycznego rozwiązania zagadnień brzegowych na przykładzie belki wolnopodpartej.
I.16 Omówić na przykładzie układu ramowego tok postępowania w metodzie elementów skończonych.
1. Zastąpienie sił na wspornikach momentem zginającym przyłożnym w węźle.
2.Dyskretyzacja układu
3. Podział na elementy skończone
4. Analiza na poziomie elementów
a) równania równowagi MES elementu
b)macierz sztywności elementu ramowego
c) Wektory równoważnych sił węzłowych dla elementów skończonych
5. Analiza Globalna
a) Globalna macierz bezwładności
b) Wektor całkowity równoważnych sił węzłowych
c) Globalne równanie równowagi
6. Obliczanie sił wew. Na poziomie elementów
7. Wykresy sił przekrojowych
I.17 Scharakteryzować model ciągły i model dyskretny ciała odkształcalnego.
Główna idea MES polega na tym że dowolną wartośc np. temperaturę można zamieńić na model dyskretny. Model dyskretny oparty na ograniczonej ilości węzłów, które tworzą ograniczoną ilość elementów skończonych
Zmiana wielkości ciągłych na dyskretne oznacza przejście do układu równań algebraicznych, do rozwiązania którego służy wybrana metoda numeryczna.
I.18 Omówić pojęcie funkcji kształtu i ch znaczenie w metodzie elementów skończonych.
FUNKCJA KSZTAŁTU - jest to funkcja opisująca odkształcenie elementu skończonego. W rzeczywistości funkcja kształtu nie opisuje dokładnie odkształcenia elementu, ale tylko je aproksymuje w taki sposób
aby uzyskać zgodność przemieszczeń w węzłach oraz prawidłowy opis odkształceń i naprężeń w elemencie.
W związku z tym funkcje kształtu nie mogą być wybierane zupełnie dowolnie. Powinny one spełniać
pewne warunki, które decydują o ich jakości lub przydatności do aproksymacji przemieszczeń, odkształceń a w konsekwencji naprężeń.
Od doborze liczby składników decyduje liczba węzłów i stopni swobody jednego węzła. Jeżeli znamy trzy przemieszczenia to funkcja kształtu może zawierać trzy współczynniki przy zmiennych:
Ni(x,y) = ai + bix + ciy
Jeżeli znamy 9 przemieszczeń to funkcja kształtu może zawierać 9 członów ze współczynnikami przy zmiennych.
Funcje kształtu powinny być tak dobrane, aby nie pozwalały na powstanie naprężeń w elemencie, którego przemieszczenia wynikają jedynie z ruchu elementu jako ciała sztywnego
Funkcje kształtu powinny zapewnić możliwości powstania stałego pola odkształceń wewnątrz elementu
Funcje kształtu powinny zapewniać ciagłość przemieszczeń wewnątrz elementu, zgodność przemieszczeń i skończone wartości odkształceń na brzegach sąsiadujących elementów.