1. Weryfikacja hipotezy statystycznej o parametrze „m” dla X: (m; σ), gdy parametr σ jest znany lub nie jest znany.

• Hipoteza H₀ : m = m₀; hipotezy alternatywne K₁; K₂; K₃

Hipoteza zerowa – Jest to hipoteza poddana procedurze weryfikacyjnej, w której zakładamy, że różnica między analizowanymi parametrami lub rozkładami wynosi zero. Przykładowo wnioskując o parametrach hipotezę zerową zapiszemy jako:

H₀ : m = m₀

Hipoteza alternatywna – hipoteza przeciwstawna do weryfikowanej. Możemy ją zapisać na trzy sposoby w zależności od sformułowania badanego problemu:

K₁ : m ≠ m₀

K₂ : m > m₀

K₃ : m < m₀

• Funkcje testowe: $U_{n};\ T_{n};\ \overset{\overline{}}{X_{n}}$ (rozkłady, własności, znaczenie)

1. Funkcja testowa $\overset{\overline{}}{\mathbf{X}_{\mathbf{n}}}$ ma rozkład $N\left( m,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$. Wykorzystywana jest do testowania wartości oczekiwanej cechy X populacji, której odchylenie standardowe jest znane.

2. Funkcję testową U_n o rozkładzie normalnym N(0;1) jest analogiczna do $\overset{\overline{}}{X_{n}}$, jednak w tym przypadku wykorzystuje się postać standaryzowaną. Wartość ZL U_n to $u_{n} = \frac{\overset{\overline{}}{X} - m_{0}}{\sigma}\sqrt{n}$. Dla n>30

3. Funkcja testowa T_n ma rozkład S(n−1) a jej wartość to $t_{n} = \frac{\overset{\overline{}}{X} - m_{0}}{s}\sqrt{n - 1}$. Wykorzystuje się ją do sprawdzania hipotez dotyczących populacji, której odchylenie standardowe nie jest znane. Dla n<30

4. Funkcja testowa Z_n ma rozkład χ²(n) (gdy, m₀ jest znane), χ²(n − 1) (gdy m₀ nie jest znane) o wartości ZL $\chi^{2} = \frac{n*s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}$_. Służy do sprawdzania hipotez dotyczących wariancji H₀(σ² = σ₀²)

• Poziom istotności α (pojęcie, typowe wartości liczbowe)

Poziomem istotności α nazywamy prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju (odrzucenie hipotezy prawdziwej, błąd producenta).

Na ogół przyjmujemy prawdopodobieństwo bliskie zeru, ponieważ chcemy aby ryzyko popełnienia błędu było jak najmniejsze. Najczęściej zakładamy poziom istotności α=0,05; czasem przyjmuje się np. α=0,01; α=0,1.

• Obszary krytyczne B – zasada wyznaczania dla poszczególnych funkcji testowych: $U_{n};\ T_{n};\ \overset{\overline{}}{X_{n}}$ oraz hipotez alternatywnych: K₁; K₂; K₃

1. Obszar krytyczny dla U_n: B = (-∞, u_α), u_α < 0

Weryfikacja H₁ odbywa się na podstawie w_n, B. Jeżeli w_n ∈ B to H₁ nie jest prawdziwa i populacja nie spełnia wymagań jakości. Weryfikacja H dla m≥m₀ prawdopodobieństwo, że: P(U_n<α|m<m₀)≤α.

1. B = (−∞,−u_α] v [u_α, +∞)dla K₁

2. B = [u_α, +∞) dla K₂

3. B = (−∞, −u_α]dla K₃

Funkcja M(m)=$N(\frac{m - m_{0}}{\sigma}\sqrt{n},\ 1)$

1. Obszar krytyczny dla T_n: B = (-∞, t_α), t_α < 0

Jeżeli t_n ∈ B to H₁ nie jest prawdziwa (populacja nie spełnia wymagań jakości). Weryfikacja hipotezy H dla m≥m₀: P(T_n≤t_α|m≥m₀)≤α

Funkcja M(m) = P(T_n ∈ B|m)

1. B = (−∞,−t_α] v [t_α, +∞)dla K₁

2. B = [t_α, +∞) dla K₂

3. B = (−∞, −t_α]dla K₃

1. Obszar krytyczny dla $\overset{\overline{}}{\mathbf{X}_{\mathbf{n}}}$:

1. $B = \left( - \infty,\ m_{0} - u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right\rbrack\text{\ v\ }\left\lbrack m_{0} + u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ + \infty \right)\text{dla\ }K_{1}$

$$2.\ \ \ B = \left\lbrack m_{0} + u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\ + \infty \right)\text{dla\ }K_{2}$$

$$3.\ \ \ B = \left( - \infty,\ m_{0} - u_{\alpha}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right\rbrack\text{\ dla\ }K_{3}\ $$

Funkcja $M\left( m \right) = \ \overset{\overline{}}{X_{n}}:N(m;\ \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$

1. Obszar krytyczny dla Z_n: B = (z_α, +∞)

Weryfikacja H₁ za pomocą w_n = z_n i B: Jeżeli W_n = B to H₁ nie jest prawdziwe.

P(z_n≥z_α|σ)<α

Przez obszar krytyczny rozumie się taki zbiór wartości funkcji testowej, że gdy znaleziona na podstawie próby wartość znajdzie się w tym obszarze, wówczas odrzuca się hipotezę H₀.

Obszar krytyczny B znajduje się przez znalezienie wartości funkcji testowej dla założonego poziomu istotności α

Statystyka testowa	Obszar krytyczny B (lewostronny)
$$\overset{\overline{}}{\mathbf{X}_{\mathbf{n}}}$$	B = (−∞ ,Td)
Un	B = (−∞ ,uα), uα < 0
Tn	B = (−∞ ,tα), tα < 0

Zbiór B hipotezy alternatywnej K równy jest zbiorowi A hipotezy ogólnej H

• Test istotności (pojęcie, zapis)

Test istotności to taki rodzaj testu statystycznego, który pozwala na odrzucenie weryfikowanej hipotezy małym ryzykiem popełnienia błędu I rodzaju. Ryzyko to mierzone jest poziomem istotności α. Mniejsze α to mniejsza możliwość odrzucenia hipotezy prawdziwej, ale trudniej odrzucić hipotezę fałszywą.

Test istotności służy np. weryfikacji hipotez dotyczących wadliwości.

• Sprawdzenie (weryfikacja) hipotezy

Etapy weryfikacji hipotez:

1. Podstawowa hipoteza H₀ (określony sąd o populacji, ma charakter stwierdzenia precyzującego wartość parametru np. H₀: θ = θ₀);

2. Hipoteza alternatywna H₁ jest zaprzeczeniem H₀. Sposób zaprzeczenia hipotezie H₀ wynika z merytorycznych przesłanek. W H₁ występują znaki: < ≠ >: H₁: θ ≠ θ₀;
   H₁: θ < θ₀; H₁: θ > θ₀.

Aby skonstruować test statystyczny pozwalający weryfikować hipotezę H₀ należy:

1. Wybrać statystykę testową (twierdzenie T₁, T₂, …) stosowanie do postawionej hipotezy H₀ przeciw hipotezie H₁ oznaczoną $U = \frac{\overset{\overline{}}{x} - m}{\sigma}\sqrt{n}$, której wartość obliczona na podstawie próby będzie podstawą czy hipotezę przyjąć czy odrzucić. Test służący do weryfikacji hipotezy oparty jest na statystyce, której rozkład jest znany.

2. Ustalić dopuszczalne prawdopodobieństwo popełnienia błędu I rodzaju (tzw. poziom istotności α): P(u ∈ W(B)) = α; α = 0,05.

3. Wyznaczyć zbiór krytyczny testu W(B) zwany zbiorem odrzuceń hipotezy H₀. Tak, aby przy danym α zminimalizować prawdopodobieństwo błędu II rodzaju (β). Może być zbiór krytyczny jedno lub dwustronny. Wartości krytyczne znajdują się w tablicach właściwych dla poszczególnych statystyk.

4. Decyzja. Jeżeli obliczona wartość statystyki należy do zbioru krytycznego to H₀ należy odrzucić, a przyjąć H₁. Jeżeli obliczona wartość statystyki testowej nie należy do zbioru krytycznego to nie ma podstaw do odrzucenia H₀.