POLITECHNIKA POZNAŃSKA LABORATORIUM MIERNICTWA I SYSTEMÓW POMIAROWYCH	Paweł Wojtalewicz Rafał Parszutowicz
	WYDZIAŁ
	Elektryczny
PROWADZĄCY	ROK STUDIÓW
mgr inż. D. Prokop	II
Ćwiczenie odrobiono dnia:	Sprawozdanie wysłano dnia:
16.01.2014r.	19.02.2014r.
NR	TEMAT ĆWICZENIA:
1.	Pomiar rezystancji mostkiem Wheatstone’a.

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest pomiar rezystancji mostkiem Wheatstone’a oraz określenie błędów pomiarowych związanych z tą procedurą.

1. Przebieg ćwiczenia:

I Pomiar wartości rezystancji trzech rezystorów za pomocą różnych mierników.

• Schemat pomiarowy:

• Użyte mierniki:

Miernik 1. – multimetr cyfrowy UT51 produkcji UNI-T

Miernik 2. – profesjonalny mostek 24CS RLC produkcji CHY

Miernik 3. – multimetr cyfrowy MY64 produkcji VOICE KRAFT

Miernik 4. – multimetr cyfrowy BM859CF produkcji BRYMEN

Miernik 5. – multimetr cyfrowy 34401A produkcji AGILENT

• Wyniki pomiarów:

Nr miernika	R1 [Ω]	R2 [Ω]	R3 [Ω]
1.	19,9	50,3	744
2.	20,0	50,2	746
3.	18,9	45,8	746
4.	19,97	50,26	746,9
5.	19,921	50,248	746,73

• Rachunek błędów:

Miernik 1.

Pomiar R₁ i R₂:

- zakres 200 Ω

- rozdzielczość 0,1Ω

- dokładność ±(0,8% + 3cyfry)

Pomiar R₃:

- zakres 2kΩ

- rozdzielczość 1Ω

- dokładność ±(0,8% + 1cyfra)

Błędy bezwzględne:

ΔR₁ = 0,8% × 19,9 + 3×0,1 = 0,4592[Ω] ≈ 0,5[Ω]

ΔR₂ = 0,8% × 50,3 + 3×0,1 = 0,7024[Ω] ≈ 0,8[Ω]

ΔR₃ = 0,8% × 744 + 1×1 = 6,952[Ω] ≈ 7[Ω]

Błędy względne:

$$\delta_{R1} = \frac{R_{1}}{R_{1}} = \frac{0,4592}{19,9} = 0,023075 \approx 0,024 = 2,4\%$$

$$\delta_{R2} = \frac{R_{2}}{R_{2}} = \frac{0,7024}{50,3} = 0,013964 \approx 0,014 = 1,4\%$$

$$\delta_{R3} = \frac{R_{3}}{R_{3}} = \frac{6,952}{744} = 0,009344 \approx 0,01 = 1\%$$

Ostateczne postacie wyników:

R₁ = (19,9±0,5)Ω

R₁ = 19,9(1±0,024)Ω

R₂ = (50,3±0,8)Ω

R₂ = 50,3(1±0,014)Ω

R₃ = (744±7)Ω

R₃ = 744(1±0,01)Ω

Miernik 2.

Pomiar R₁ i R₂:

- zakres 200 Ω

- rozdzielczość 0,1Ω

- dokładność ±(3% + 3c)

Pomiar R₃:

- zakres 2kΩ

- rozdzielczość 1Ω

- dokładność ±(3% + 1c)

Błędy bezwzględne:

ΔR₁ = 3% × 20,0 + 3×0,1 = 0,9[Ω] ≈ 1[Ω]

ΔR₂ = 3% × 50,2 + 3×0,1 = 1,806[Ω] ≈ 2[Ω]

ΔR₃ = 3% × 746 + 1×1 = 23,38[Ω] ≈ 24[Ω]

Błędy względne:

$$\delta_{R1} = \frac{R_{1}}{R_{1}} = \frac{0,9}{20,0} = 0,045 \approx 0,05 = 5\%$$

$$\delta_{R2} = \frac{R_{2}}{R_{2}} = \frac{1,806}{50,2} = 0,035976 \approx 0,04 = 4\%$$

$$\delta_{R3} = \frac{R_{3}}{R_{3}} = \frac{23,38}{746} = 0,031340 \approx 0,032 = 3,2\%$$

Ostateczne postacie wyników:

R₁ = (20±1)Ω

R₁ = 20(1±0,05)Ω

R₂ = (50±2)Ω

R₂ = 50,3(1±0,04)Ω

R₃ = (744±24)Ω

R₃ = 744(1±0,032)Ω

Miernik 3.

Pomiar R₁ i R₂:

- zakres 200 Ω

- rozdzielczość 0,1Ω

- dokładność ±(0,8% + 3cyfry)

Pomiar R₃:

- zakres 2kΩ

- rozdzielczość 1Ω

- dokładność ±(0,8% + 1cyfra)

Błędy bezwzględne:

ΔR₁ = 0,8% × 18,9 + 3×0,1 = 0,4512[Ω] ≈ 0,5[Ω]

ΔR₂ = 0,8% × 45,8 + 3×0,1 = 0,6664[Ω] ≈ 0,7[Ω]

ΔR₃ = 0,8% × 746 + 1×1 = 6,968[Ω] ≈ 7[Ω]

Błędy względne:

$$\delta_{R1} = \frac{R_{1}}{R_{1}} = \frac{0,4512}{18,9} = 0,023873 \approx 0,024 = 2,4\%$$

$$\delta_{R2} = \frac{R_{2}}{R_{2}} = \frac{0,6664}{45,8} = 0,014550 \approx 0,015 = 1,5\%$$

$$\delta_{R3} = \frac{R_{3}}{R_{3}} = \frac{6,968}{746} = 0,009340 \approx 0,01 = 1\%$$

Ostateczne postacie wyników:

R₁ = (18,9±0,5)Ω

R₁ = 18,9(1±0,024)Ω

R₂ = (45,8±0,7)Ω

R₂ = 45,8(1±0,015)Ω

R₃ = (746±7)Ω

R₃ = 746(1±0,01)Ω

Miernik 4.

Pomiar R₁ i R₂:

- zakres 500 Ω

- rozdzielczość 0,01Ω

- dokładność ±(0,07% + 10c)

Pomiar R₃:

- zakres 5kΩ

- rozdzielczość 0,1Ω

- dokładność ±(0,07% + 2c)

Błędy bezwzględne:

ΔR₁ = 0,07% × 19,97 + 10×0,01 = 0,113979[Ω] ≈ 0,12[Ω]

ΔR₂ = 0,07% × 50,26 + 10×0,01 = 0,135182[Ω] ≈ 0,14[Ω]

ΔR₃ = 0,07% × 746,9 + 2×0,1 = 0,72283[Ω] ≈ 0,8[Ω]

Błędy względne:

$$\delta_{R1} = \frac{R_{1}}{R_{1}} = \frac{0,113979}{19,97} = 0,005707 \approx 0,006 = 0,6\%$$

$$\delta_{R2} = \frac{R_{2}}{R_{2}} = \frac{0,135182}{50,26} = 0,002689 \approx 0,003 = 0,3\%$$

$$\delta_{R3} = \frac{R_{3}}{R_{3}} = \frac{0,72283}{746,9} = 0,000967 \approx 0,001 = 0,1\%$$

Ostateczne postacie wyników:

R₁ = (19,97±0,12)Ω

R₁ = 19,97(1±0,006)Ω

R₂ = (50,26±0,14)Ω

R₂ = 50,26(1±0,003)Ω

R₃ = (746,9±0,8)Ω

R₃ = 746,9(1±0,001)Ω

Miernik 5.

Pomiar R₁ i R₂:

- zakres 100 Ω

- rozdzielczość 0,0001Ω

- dokładność ±(0,01% of reading + 0,004% of range); 1 Year, 23±5°C

Pomiar R₃:

- zakres 1kΩ

- rozdzielczość 0,001Ω

- dokładność ±(0,01% of reading + 0,001% of range); 1 Year, 23±5°C

Błędy bezwzględne:

ΔR₁ = 0,01% × 19,921 + 0,004%×100 = 0,005992[Ω] ≈ 0,006[Ω]

ΔR₂ = 0,01% × 50,248 + 0,004%×100 = 0,009024[Ω] ≈ 0,01[Ω]

ΔR₃ = 0,01% × 746,73 + + 0,001%×1000 = 0,084673[Ω] ≈ 0,09[Ω]

Błędy względne:

$$\delta_{R1} = \frac{R_{1}}{R_{1}} = \frac{0,005992}{19,921} = 0,000300788 \approx 0,00031 = 0,031\%$$

$$\delta_{R2} = \frac{R_{2}}{R_{2}} = \frac{0,009024}{50,248} = 0,000179589 \approx 0,0002 = 0,02\%$$

$$\delta_{R3} = \frac{R_{3}}{R_{3}} = \frac{0,084673}{746,73} = 0,000113392 \approx 0,00012 = 0,012\%$$

Ostateczne postacie wyników:

R₁ = (19,921±0,006)Ω

R₁ = 19,921(1±0,00031)Ω

R₂ = (50,25±0,01)Ω

R₂ = 50,248(1±0,0002)Ω

R₃ = (746,73±0,09)Ω

R₃ = 746,73(1±0,00012)Ω

II Pomiar wartości rezystancji R_x za pomocą laboratoryjnego mostka Wheatstone’a:

• Układ pomiarowy:

Układ pomiarowy zawierał:

- rezystor R_x (R_1x, R_2x, R_3x)

- rezystor R₂ – opornik dekadowy D05, klasa: 0,1

- rezystor R₃ – opornik dekadowy DR1e-16, I_dop = 0,02A, klasa: 0,05

- rezystor R₄ – opornik dekadowy DR1-f-16, I_dop = 0,007A, klasa: 0,05

- elektroniczny wskaźnik zera – czułość: 0,1; klasa: 1,5

- zasilacz MC POWER RNG 1502BL – 0-15V, 0-2A

• Wyniki pomiarów i obliczeń:

Dla rezystancji R_1x:

Nr pomiaru	R3 [Ω]	R4 [Ω]	R2 [Ω]	R1x [Ω]
1	10	10000	19738,9	19,7389
2	10	10000	19738	19,738
3	10	10000	19807	19,807
4	10	10000	19803,8	19,8038
5	10	10000	19805	19,805
Odwrócona polaryzacja
6	10	10000	20110	20,11
7	10	10000	20107	20,107
8	10	10000	20108	20,108
9	10	10000	20110,3	20,1103
10	10	10000	20110,7	20,1107

Wartość nieznanej rezystancji została obliczona ze wzoru:

$$R_{1x} = R_{2} \frac{R_{3}}{R_{4}}$$

Przykład obliczeń dla pomiaru pierwszego:

$$R_{1x} = R_{2} \frac{R_{3}}{R_{4}} = 19738,9 \frac{10}{10000} = 19,7389\ \lbrack\Omega\rbrack$$

Dla rezystancji R_2x:

Nr pomiaru	R3 [Ω]	R4 [Ω]	R2 [Ω]	R2x [Ω]
1	10	10000	50010,7	50,0107

Wartość nieznanej rezystancji została obliczona ze wzoru:

$$R_{2x} = R_{2} \frac{R_{3}}{R_{4}} = 50010,7\frac{10}{10000} = 50,0107\ \lbrack\Omega\rbrack$$

Dla rezystancji R_3x:

Nr pomiaru	R3 [Ω]	R4 [Ω]	R2 [Ω]	R3x [Ω]
1	100	10000	74600	746
2	100	10000	74588,6	745,886
3	100	10000	74591	745,91
4	100	10000	74600	746
5	100	10000	74600	746
Odwrócona polaryzacja
6	100	10000	74587,3	745,873
7	100	10000	74580,6	745,806
8	100	10000	74580,8	745,808
9	100	10000	74681,7	746,817
10	100	10000	74584	745,84

Wartość nieznanej rezystancji została obliczona ze wzoru:

$$R_{3x} = R_{2} \frac{R_{3}}{R_{4}}$$

Przykład obliczeń dla pomiaru pierwszego:

$$R_{3x} = R_{2} \frac{R_{3}}{R_{4}} = 74600 \frac{100}{10000} = 746\ \lbrack\Omega\rbrack$$

• Błędy pomiarów mostkiem Wheatstone’a:

Błąd nieczułości i błąd rozdzielczości:

Błąd wynikający ze zbyt małej czułości układu określa się jako stosunek zmiany rezystancji w dowolnej gałęzi mostka, powodującej najmniejszą zmianę odchylenia wskazówki galwanometru, do wartości tejże rezystancji:

$$\delta_{n} = \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}}.$$

Błąd wynikający ze złej rozdzielczości określa się jako:

$$\delta_{r} = \frac{\Delta R_{2\min}}{R_{2}},$$

gdzie ΔR_2min jest najmniejszą możliwą do uzyskania zmianą rezystancji rezystora nastawnego R₂.

Dla rezystancji R_1x:

R₂ = 19738,9Ω

R₂’ = 19800Ω

ΔR₂ = 61,1Ω

ΔR_2min = 0,1Ω

$$\delta_{n} = \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}} = \frac{61,1}{19738,9} = 0,003095411 = 0,3095411\%$$

$$\delta_{r} = \frac{\Delta R_{2\min}}{R_{2}} = \frac{0,1}{19738,9} = 0,000005066 = 0,0005066\%$$

δ_n > δ_r

Dla rezystancji R_2x:

R₂ = 50010,7Ω

R₂’ = 49841Ω

ΔR₂ = 169,7Ω

ΔR_2min = 0,1Ω

$$\delta_{n} = \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}} = \frac{169,7}{50010,7} = 0,003393274 = 0,3393274\%$$

$$\delta_{r} = \frac{\Delta R_{2\min}}{R_{2}} = \frac{0,1}{50010,7} = 0,000002 = 0,0002\%$$

δ_n > δ_r

Dla rezystancji R_3x:

R₂ = 74600Ω

R₂’ = 74613Ω

ΔR₂ = 13Ω

ΔR_2min = 0,1Ω

$$\delta_{n} = \frac{\Delta R_{2}}{R_{2}} = \frac{13}{74600} = 0,000174263 = 0,0174263\%$$

$$\delta_{r} = \frac{\Delta R_{2\min}}{R_{2}} = \frac{0,1}{74600} = 0,00000134 = 0,000134\%$$

δ_n > δ_r

Błąd wynikający z niedokładności rezystorów tworzących ramiona mostka:

δ_2/3/4 = δ_R2 + δ_R3 + δ_R4 = 0, 05 + 0, 05 + 0, 1 = 0, 2[%]

Błąd przypadkowy i systematyczny:

Niepewność typu A – zastosowanie do błędów przypadkowych. Obliczono ją ze wzoru:

$$U_{A} = \sqrt{\frac{1}{n\left( n - 1 \right)} \sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}} = \frac{ODCHYL.STAND.PROBKI\left( \text{zakres}\ pomiarow \right)}{\sqrt{n}}$$

za pomocą programu Excel 2013.

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n}x_{i}$$

Niepewność typu B – jej źródłem są błędy graniczne aparatury. Obliczono ją ze wzoru:

$$U_{B} = \frac{R_{x}}{\sqrt{3}}$$

$$R_{x} = \delta_{\text{Rx}} 10^{- 2} \overset{\overline{}}{R_{x}}$$

δ_Rx = δ_2/3/4 + δ_r/n

δ_2/3/4 = δ_R2 + δ_R3 + δ_R4

Niepewność łączna:

$$U_{l} = \sqrt{{U_{A}}^{2} + {U_{B}}^{2}}$$

Niepewność całkowita:

U_c = kU_l

k = t_α, m = t_0, 99; 9 = 2, 82144 (tablica rozkładu Studenta)

Dla rezystancji R_1x:

$$\overset{\overline{}}{R_{1x}} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10}R_{i} = 19,94387\text{\ LINK\ }Excel.Sheet.12\ "C:\backslash\backslash Users\backslash\backslash Pawer\backslash\backslash Documents\backslash\backslash BIBLIOTEKA\ INZYNIERA\ PAWERA\backslash\backslash Miernictwo\ i\ Systemy\ Pomiarowe\backslash\backslash Pomiar\ rezystancji\backslash\backslash Pomiary.xlsx"\ Arkusz1!W3K8\ \backslash a\ \backslash f\ 5\ \backslash h\ \ \backslash*\ MERGEFORMAT\ $$

$$U_{A1} = \sqrt{\frac{1}{10 9} \sum_{i = 1}^{10}{(x_{i} - 19,94387)}^{2}} = 0,055649045\ \lbrack\Omega\rbrack$$

δ_2/3/4 = 0, 2 [%]

δ_R1x = 0, 210⁻² + 0, 003095411 = 0, 005095411 = 0, 5095411%

R_1x = 0, 005095411 19, 94387 = 0, 101622 [Ω]

$$U_{B2} = \frac{R_{1x}}{\sqrt{3}} = \frac{0,101622}{\sqrt{3}} = 0,058671\ \lbrack\Omega\rbrack$$

U_A1 ≈ U_B1

$$U_{l1} = \sqrt{{0,055649045}^{2} + {0,058671}^{2}} = 0,080864\ \left\lbrack \Omega \right\rbrack$$

U_c1 = 2, 821440, 080864 = 0, 228154 [Ω]  ≈ 0, 23 [Ω]

Wynik ostateczny:

$$R_{1x} = \overset{\overline{}}{R_{1}} \mp U_{c1}\ dla\ poziomu\ ufnosci\ \alpha = 0,99$$

R_1x=(19, 94 ∓ 0, 23)Ω dla α = 0, 99

Dla rezystancji R_3x:

$$\overset{\overline{}}{R_{3x}} = \frac{1}{10} \sum_{i = 1}^{10}R_{i} = 745,994\text{\ LINK\ }Excel.Sheet.12\ "C:\backslash\backslash Users\backslash\backslash Pawer\backslash\backslash Documents\backslash\backslash BIBLIOTEKA\ INZYNIERA\ PAWERA\backslash\backslash Miernictwo\ i\ Systemy\ Pomiarowe\backslash\backslash Pomiar\ rezystancji\backslash\backslash Pomiary.xlsx"\ Arkusz1!W3K8\ \backslash a\ \backslash f\ 5\ \backslash h\ \ \backslash*\ MERGEFORMAT\ $$

$$U_{A3} = \sqrt{\frac{1}{10 9} \sum_{i = 1}^{10}{(x_{i} - 745,994)}^{2}} = 0,094542994\ \lbrack\Omega\rbrack$$

δ_2/3/4 = 0, 2 [%]

δ_R3x = 0, 210⁻² + 0, 000174263 = 0, 002174263 = 0, 2174263%

R_3x = 0, 002174263 745, 994 = 1, 621987 [Ω]

$$U_{B3} = \frac{R_{3x}}{\sqrt{3}} = \frac{1,621987}{\sqrt{3}} = 0,936454\ \lbrack\Omega\rbrack$$

U_A3 ≪ U_B3

U_l3 = U_B3 = 0, 936454 [Ω]

U_c3 = 2, 821440, 936454 = 2, 642150 [Ω]  ≈ 3 [Ω]

Wynik ostateczny:

$$R_{3x} = \overset{\overline{}}{R_{3}} \mp U_{c3}\ dla\ poziomu\ ufnosci\ \alpha = 0,99$$

R_1x=(746 ∓ 3)Ω dla α = 0, 99

Dla rezystancji R_2x:

W celu obliczenia niepewności konieczne jest wykonanie serii pomiarów. Dla pomiaru jednokrotnego natomiast obliczono jedynie błąd względny:

R_2x = 50,0107Ω

δ_R2x = 0, 210⁻² + 0, 003393274 = 0, 005393274

R_2x = 0, 00539327450, 0107 = 0, 269721 [Ω]≈0, 3[Ω]

R_2x = (50,0±0,3)Ω

1. Wnioski:

Wykonane ćwiczenie miało na celu pomiar rezystancji i wyznaczenie błędów zmierzonych wartości. W pierwszej części mierzono rezystancje jednokrotnie w sposób bezpośredni przy użyciu różnych mierników. Zaobserwowano, iż warto odpowiednio wykorzystywać zakres pomiarowy multimetru (co oznacza jak największy stosunek wartości mierzonej do zakresu), gdyż implikuje to najmniejsze błędy względne pomiarów. Poza tym dostrzeżono, że cena miernika nierzadko przekłada się na jego dokładność. Przykładowo:

Miernik	Cena [zł]	δR3[%]
UT1 (UNI-T)	71	1
BM859CF (Brymen)	897	0,1
34401A (Agilent)	3633	0,012

W tym przypadku wzrost ceny o rząd wielkości spowodował zmniejszenie wartości błędu względnego również o rząd wartości.

W przypadku mostka Wheatstone’a wybrany został sposób równoważenia polegający na zmianie rezystancji R₂ przy stałym stosunku R₃/R₄. Sposób ten jest stosowany w mostkach laboratoryjnych. Na całkowity błąd mostka laboratoryjnego składają się trzy składowe. Pierwszą z nich jest błąd rozdzielczości lub błąd czułości. Zgodnie z założeniami teoretycznymi wartość błędu rozdzielczości jest mniejsza niż błędu czułości. W wykonanym ćwiczeniu zmiana wartości rezystancji R_2, która powoduje najmniejszą dostrzegalną zmianę wskaźnika zera, jest większa od najmniejszej możliwej do uzyskania zmiany rezystancji rezystora nastawnego. Na tej podstawie można stwierdzić, że rozdzielczość została dobrana prawidłowo i nie ma konieczności stosowania interpolacji wyniku. Kolejna składowa błędu laboratoryjnego mostka Wheatstone’a wynika z niedokładności elementów układu. Błąd ten przyjmuje przeważnie największą wartość ze wszystkich trzech składowych, a zatem ma decydujący wpływ na ostateczną wartość błędu. Dla pomiarów wykonanych w laboratorium jednak w dwóch przypadkach (R_1x, R_2x) na trzy większy okazał się błąd nieczułości. Zapewne było to spowodowane problemami z dokładnym zrównoważeniem mostka. Ponadto należy mieć na uwadze, iż błąd ten wyznaczano poprzez jednokrotną zmianę rezystancji w gałęzi mostka, powodującej najmniejszą zmianę odchylenia wskazówki galwanometru. Kilkukrotne powtórzenie tej czynności mogłoby zwiększyć dokładność wyznaczenia tegoż błędu. Ostatnią składową jest błąd przypadkowy spowodowany wpływem sił termoelektrycznych na stykach. Próbowano go wyeliminować na drodze pomiaru rezystancji dla dwóch polaryzacji źródła napięcia U_AB. Mimo tego zaobserwowano pewien rozrzut wyników. Co ciekawe, składowe niepewności łącznej (U_A i U_B) dla rezystancji R_1x (~20Ω) były bardzo zbliżone, natomiast U_ł dla R_3x (~750Ω) zostało zdominowane przez niepewność dotyczącą błędów aparatury (U_B). Fakt ten nie dziwi, ponieważ zwiększona rezystancja mierzona przy niezmienionej aparaturze spowodowała większy błąd bezwzględny, który przekłada się na U_B. Większy opór R_3x w stosunku do R_1x nie spowodował natomiast wyraźnego wzrostu rozrzutu wyników pomiarów, czyli jednocześnie zwiększenia U_A.

Ostateczny zapis wyniku pomiaru (po obliczeniu niepewności) typu:

R_1x = (19, 94 ∓ 0, 23)Ω dla α = 0, 99

oznacza, że prawdopodobieństwo zdarzenia, iż rzeczywista wartość rezystancji R_1x zawiera się w przedziale <19,71Ω; 20,17Ω> wynosi 99%. Zwiększanie poziomu ufności α pociąga za sobą wydłużanie odcinka, jaki zajmuje na osi liczbowej przedział, w którym zawarta jest rzeczywista wartość mierzonej wielkości.