Marta Bielewska
204766
czwartek TP 9:15

SPRAWOZDANIE

Ćwiczenie nr 5: Analiza korelacyjna i regresyjna.

1. Cel ćwiczenia:

Wyznaczenie współczynnika korelacji serii pomiarów napięcia termoelektrycznego w funkcji temperatury dla termoelementu typu K oraz obliczenie funkcji regresji.

Lp.	Tp	El	Ep	∆sE
-	[°C]	[mV]	[mV]	[mV]
1.	70	2,772	1,935	-0,837
2.	100	3,911	3,071	-0,84
3.	125	4,975	4,123	-0852
4.	150	5,894	5,047	-0,847
5.	175	6,980	6,129	-0,851

2. Pomiar błędu systematycznego:

∆_sE=E_p-E_l

∆_sE₁=-0,837

∆_sE₂=-0,84

∆_sE₃₌-0852

∆_sE₄₌-0,847

∆_sE₅₌-0,851

3. Wyznaczenie współczynnika korelacji liniowej r dla temperatury spoiny w lodzie:

$$r = \frac{\sum_{}^{}{x_{i}y_{i} - N\overset{\overline{}}{x}\overset{\overline{}}{y}}}{\sqrt{(\sum_{}^{}{x_{i}^{2} - N{\overset{\overline{}}{x}}^{2})(\sum_{}^{}{y_{i}^{2} - N{\overset{\overline{}}{y}}^{2})}}}}$$

$\overset{\overline{}}{x} = \overset{\overline{}}{T}$=124 °C

$\overset{\overline{}}{y} = \overset{\overline{}}{E_{l}}$ = 4,9064 mV

r= $\frac{70 \bullet 2,772 + 100 \bullet 3,911 + \ldots + 150 \bullet 5,894 + 175 \bullet 6,980 - 5 \bullet 124 \bullet 4,9064}{\sqrt{\left( 70^{2} + 100^{2} + \ldots + 175^{2} - 5 \bullet 124^{2} \right)\left( {2,772}^{2} + {3,911}^{2} + \ldots + {6,98}^{2} - 5 \bullet {4,9064}^{2} \right)}}$ =

=0,999695≈ 1

4. Wyznaczenie współczynników a i b:

$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}x_{\text{i\ }}$ i $\overset{\overline{}}{y} = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{n}y_{i}$

$\overset{\overline{}}{y}\ $= 𝑏$\overset{\overline{}}{x}$ + 𝑎

$$b = \frac{\sum_{}^{}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)\left( y_{i} - \overset{\overline{}}{y} \right)}}{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}$$

$$a = \overset{\overline{}}{y} - b\overset{\overline{}}{x}$$

$b = \frac{\left( 70 - 124 \right)\left( 2,772 - 4,9064 \right) + \left( 100 - 124 \right)\left( 3,911 - 4,9064 \right) + \ldots + \left( 175 - 124 \right)\left( 6,98 - 4,9064 \right)}{\left( 70 - 124 \right)^{2} + \left( 100 - 124 \right)^{2} + \ldots + \left( 175 - 124 \right)^{2}}$ =
= 0,039977 ≈ 0,04

a= 4,9064-0,07582∙124 = -0,0508 ≈ -0,05

E_l= 0,039977T_p -0,0508

E_l= 0,04T_p - 0,05

5.Wykres

Rysunek 1. Wykres zależności E(T)

6. Wyznaczenie niepewności standardowej współczynników a i b.

$$u_{a} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(y}_{i} - y')}^{2}}{N - 2}}\sqrt{\frac{1}{N} + \frac{{\overset{\overline{}}{x}}^{2}}{{\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}}^{2}}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(E}_{i} - E')}^{2}}{N - 2}}\sqrt{\frac{1}{N} + \frac{{\overset{\overline{}}{T_{p}}}^{2}}{{\sum_{i = 1}^{N}{(T_{\text{pi}} - \overset{\overline{}}{T_{p}})}}^{2}}}$$

$$u_{b} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(y}_{i} - y')}^{2}}{N - 2}}\frac{1}{\sqrt{{\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}}^{2}}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(E}_{i} - E')}^{2}}{N - 2}}\frac{1}{\sqrt{{\sum_{i = 1}^{N}{(T_{\text{pi}} - \overset{\overline{}}{T_{p}})}}^{2}}}$$

u_a=0,00057 ≈ 0,0006

u_b= 0,07372 ≈ 0,08

E_l=( 0,04±0,08)T_p – (0,5±0,006)

7.
Dla T₀=100°C:

E_rz(100)=4,303

E(100)=4 – 0,05 = 3,95

$$u_{E'} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(y}_{i} - y')}^{2}}{N - 2}}\sqrt{\frac{1}{N} + \frac{{{(x}_{0} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}}{{\sum_{i = 1}^{N}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}}^{2}}} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{N}{{(E}_{i} - E')}^{2}}{N - 2}}\sqrt{\frac{1}{N} + \frac{{(T_{p3} - {\overset{\overline{}}{T}}_{p})}^{2}}{{\sum_{i = 1}^{N}{(T - \overset{\overline{}}{T_{p}})}}^{2}}}$$

u_E^′=$\ \sqrt{\frac{\left( 2,772 - 2,74762 \right)^{2} + \left( 3,911 - 3,94694 \right)^{2} + \ldots + \left( 6,98 - 6,94525 \right)^{2}}{5 - 2}} \bullet \sqrt{\frac{1}{5} + \frac{\left( 175 - 124 \right)^{2}}{\left( 70 - 124 \right)^{2} + \left( 100 - 124 \right)^{2} + \ldots + \left( 175 - 124 \right)^{2}}}$ =

=0,035844≈0,04

8.Wnioski:

• Ze współczynnika korelacji r = 0,999695 (bardzo zbliżonego do 1), można wywnioskować, że zależność między temperaturą piecyka a wartością napięcia termoelektrycznego dla spoin odniesienia umieszonych w lodzie jest liniowa.

• Prosta przechodząca przez punkty pomiarowe ma postać E_l= 0,04T_p - 0,5