Wydział Fizyki	Piątek, godz. 14.15 – 17.00	Nr zespołu: 12
	Data: 9.12.2011
	Ocena z przygotowania:	Ocena ze sprawozdania:
Prowadzący:	Podpis prowadzącego

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła różnicowego

Badanie harmoniczności drgań wahadła matematycznego

1. Cel doświadczenia

Część 1. – wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego „g” przy użyciu wahadła różnicowego

Część 2. – zbadanie harmoniczności ruchu wahadła matematycznego przez badanie zależności okresu drgań od amplitudy

1. Wstęp teoretyczny

Wahadłem matematycznym nazywamy punktową masę zawieszoną na nieważkiej nici wykonującą drgania w polu grawitacyjnym Ziemi. W praktyce jako modelu wahadła matematycznego używamy najczęściej małej, ciężkiej kulki zawieszonej na możliwie nierozciągliwej nici, co jest dosyć dobrym przybliżeniem.

Żeby wyznaczyć wzór na okres wahadła matematycznego należy wyznaczyć wypadkowy moment sił działający na wahadło. Przy wyprowadzeniu wzoru pomocny będzie schematyczny rysunek:

Oznaczenia są następujące:

- siła naciągu nici

- siła grawitacji

- wypadkowa siła działająca na wahadło

φ - kąt wychylenia wahadła

h – wysokość wahadła mierzona od punktu zaczepienia

dodatkowo

L – długość wahadła

Żeby opisać ruch wahadła należy posłużyć się równaniem Newtona dla ruchu obrotowego:

Po podstawieniu oraz (traktujemy wahadło jak masę punktową) można dojść do różniczkowego równania ruchu:

(zakładając oczywiście, że wahadło jest masą punktową, a nić jest nierozciągliwa i nieważka).

Równanie to można przez całkowanie przekształcić w równanie pierwszego rzędu wyprowadzając zasadę zachowania energii. W tym celu należy wrócić do postaci.

Po skorzystaniu z równości (różniczkowa postać równania ) i przemnożeniu obydwu stron równania przez dφ otrzymujemy

Wiedząc, że oraz można teraz scałkować obie strony równania w odpowiednich granicach:

Otrzymujemy więc wynik:

Podstawiając jeszcze (rysunek) i porządkując równanie otrzymujemy zasadę zachowania energii:

Jeżeli wrócimy do poprzedniego równania, to po skróceniu masy, podstawieniu oraz założeniu, że , otrzymamy równanie

Ponieważ chcemy wyznaczyć zależność okresu ruchu wahadła od amplitudy ruchu, wystarczy przecałkować równanie od położenia maksymalnego wychylenia do położenia pionowego, czyli ćwiartkę okresu. Po separacji zmiennych:

Nie jest możliwe wyliczenie tej całki analitycznie, ale korzystając z tożsamości oraz wartości całki eliptycznej z tablic matematycznych można odczytać rozwiązanie w postaci szeregu:

Jest to dokładny wzór na okres wahadła matematycznego w zależności od początkowego wychylenia.

Podczas opracowywania danych łatwiej będzie korzystać z powyższego równania zapisanego w sposób:

,

gdzie jest odpowiednią funkcją kąta φ₀.

1. Opis procedury doświadczalnej

Część 1.

W tej części doświadczenia zadaniem jest pomiar okresu wahadła matematycznego w zależności od jego długości. W celu zwiększenia dokładności pomiarów zamiast długości wahadła mierzona jest różnica długości względem wybranego punktu przy kolejnych pomiarach – pozwala to wyeliminować niepewność związaną z określeniem położenia środka ciężkości wahadła potrzebnego do pomiaru jego długości wprost.

Pomiary wykonano za pomocą fotokomórki dla dziesięciu różnych długości wahadła co 5 cm, dla każdej długości po pięć pomiarów. Początkowy kąt wychylenia był za każdym razem taki sam i wynosił 15°. Dbano o to, by drgania zachodziły w jednej płaszczyźnie.

Część 2.

W drugiej części doświadczenia dokonano pomiarów długości okresu wahadła w zależności od wychylenia początkowego. Pomiary zostały wykonane dla wychyleń od 5 do 85° co 5°, każdy pomiar powtórzono pięć razy. Również starano się zadbać o to, by drgania zachodziły w jednej płaszczyźnie, pomogło w tym dobranie niewielkiej długości wahadła.

1. Opracowanie wyników pomiarów

φ = 15°
T [s]	x [cm]	T [s]
1,2699	50	1,6209
1,2698		1,6207
1,2683		1,6194
1,2702		1,6191
1,2695		1,6211
1,3467	45	1,6825
1,3452		1,6827
1,3458		1,6817
1,3473		1,6831
1,3457		1,6815
1,4259	40	1,7412
1,4194		1,7408
1,4186		1,7416
1,4248		1,7401
1,4235		1,7423
1,4904	35	1,7985
1,4896		1,7983
1,4916		1,7976
1,4887		1,7998
1,4896		1,7962
1,5569	30	1,8546
1,5560		1,8545
1,5549		1,8542
1,5586		1,8539
1,5536		1,8554

Część 1.

Wyniki pomiarów długości okresu wahadła w zależności od różnicy długości (x) przedstawiono w tabeli.

W doświadczeniu nie mierzymy bezpośrednio długości wahadła, tak więc wzór na okres jego drgań będzie wyglądał następująco:

Gdzie jest różnicą długości, a długością wahadła w wybranym punkcie odniesienia.

W celu linearyzacji równania względem zmiennej należy przekształcić je do postaci

.

Można więc wnioskować, że wykres zależności , gdzie za y podstawione jest wyrażenie będzie układał się w prostą o współczynnikach i .

Wykres ten dla uzyskanych wyników wygląda następująco:

Na wykresie zostały zaznaczone niepewności.

Przyjęto niepewność pomiaru różnicy długości wahadła x równą 5 mm. Analiza wykresu potwierdza słuszność takiego szacowania (prosta przechodzi przez wszystkie punkty pomiarowe rozszerzone o niepewność).

Analiza niepewności wartości przedstawionych na osi y jest dużo bardziej skomplikowana, przy jej szacowaniu sporządzono tabele z odpowiednimi wartościami przedstawione poniżej.

Tsr [s]	σ(Tsr) [s]	vmax [m/s]	ΔTv [s]	ΔTkat [s]	U(T)B	ΔT	y [s^2]	Δy [s^2]	x [m]
1,26954	0,00033	0,52	0,00387	0,00430	0,00578	0,00336	0,04083	0,00022	0,50
1,34614	0,00038	0,55	0,00365	0,00456	0,00584	0,00339	0,04590	0,00023	0,45
1,42244	0,00146	0,58	0,00346	0,00482	0,00593	0,00372	0,05125	0,00027	0,40
1,48998	0,00049	0,61	0,00330	0,00505	0,00603	0,00352	0,05623	0,00027	0,35
1,55600	0,00085	0,63	0,00316	0,00527	0,00615	0,00365	0,06133	0,00029	0,30
1,62024	0,00041	0,66	0,00303	0,00549	0,00627	0,00364	0,06650	0,00030	0,25
1,68230	0,00030	0,68	0,00292	0,00570	0,00641	0,00371	0,07169	0,00032	0,20
1,74120	0,00037	0,71	0,00282	0,00590	0,00654	0,00379	0,07680	0,00033	0,15
1,79808	0,00059	0,73	0,00273	0,00609	0,00668	0,00390	0,08190	0,00036	0,10
1,85452	0,00025	0,75	0,00265	0,00628	0,00682	0,00395	0,08712	0,00037	0,05

φ [°] =	15
φ [rad] =	0,262
Δφ [rad] =	0,052
Δφ [°] =	3
d [m] =	0,002
g [m/s^2] =	9,81
l0 [m] =	0,90
Δx [m] =	0,005
F (φ) =	0,0043
(1+F (φ))^2 =	1,0086

Wartości y i x w kolumnach po prawej stronie górnej tabeli to wartości przedstawione bezpośrednio na wykresie. W osobnej tabelce po prawej przedstawiono ponadto przyjęte założenia i stałe.

Wartość y zależna jest od jednej z mierzonych wartości – T. Żeby wyznaczyć niepewność wartości y skorzystano z różniczki.

Ponieważ dla każdej długości wahadła dokonano po pięć pomiarów okresu, naturalnym jest, że T szacowane jest przez średnią arytmetyczną z tych pomiarów (pierwsza kolumna tabeli). Niepewność pomiaru T oszacowano na dwa sposoby – metodą statystyczną oraz niestatystyczną.

Statystycznie niepewność szacowana jest przez odchylenie standardowe średniej z pięciu pomiarów (druga kolumna tabeli).

Przy szacowaniu metodami niestatystycznymi można wskazać dwa główne źródła błędów – błąd wynikający z dokładności uchwycenia momentu przelotu wahadła przed fotokomórką i błąd wynikający z dokładności pomiaru kąta. Błąd fotokomórki szacowany jest przez czas przelotu wahadła przed szczeliną, czyli, gdzie

to szerokość szczeliny fotokomórki, a to prędkość wahadła w najniższym położeniu (czyli tym, w którym dokonywano pomiarów) obliczona zgodnie z zasadą zachowania energii (trzecia kolumna), gdzie:

– przyspieszenie ziemskie

– długość wahadła szacowana przez (to długość wahadła zmierzona względem punktu odniesienia, w którym )

– kąt wychylenia wahadła. (wszystkie użyte wartości podane w tabelce)

Wyniki dla poszczególnych długości wahadła przedstawiono w tabeli (czwarta kolumna).

Przy szacowaniu wpływu niepewności pomiaru kąta wychylenia wahadła na niepewność pomiaru okresu skorzystano z różniczki.

Dla kąta = 15° szacowane jest przez pierwszy wyraz: , co jest dostatecznie dobrym przybliżeniem. Tak więc:

.

Przybliżając, że oraz korzystając z tożsamości trygonometrycznej otrzymano wynik

.

Całkowitą niepewność pomiaru okresu szacowaną metodami niestatystycznymi obliczono ze wzoru .

Ostateczna niepewność pomiaru okresu wyznaczona metodami statystycznymi i niestatystycznymi wyliczona została ze wzoru

(wyniki w tabeli)

i właśnie ta wartość wykorzystywana jest przy liczeniu niepewności .

Celem doświadczenia było wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego oraz długości przy użyciu parametrów prostej dopasowanej do wykresu prezentowanego powyżej. Przy użyciu metody najmniejszych kwadratów uzyskano następujące wyniki:

a =	-0,10277	0,092214	= b
σa =	0,00014	0,000044	= σb

Dla przypomnienia – fizyczne znaczenie współczynników:

, .

Tak więc bezpośrednie wzory wyglądają następująco:

, .

W celu wyznaczenia niepewności szukanych wartości skorzystano z rachunku różniczkowego:

Przy obliczaniu wraz z niepewnością skorzystano z wyników obliczeń dla (wartość występuje we wzorach na ).

Ostateczne wyniki tej części doświadczenia:

T [s]	φ [°]	T [s]	φ [°]
1,2615	5	1,3315	50
1,2228		1,3290
1,2609		1,3312
1,2632		1,3327
1,2616		1,3306
1,2583	10	1,3442	55
1,2642		1,3394
1,2642		1,3446
1,2638		1,3438
1,2639		1,3427
1,2676	15	1,3602	60
1,2630		1,3512
1,2670		1,3604
1,2670		1,3596
1,2678		1,3587
1,2718	20	1,3829	65
1,2726		1,3816
1,2728		1,3802
1,2706		1,3794
1,2730		1,3836
1,2778	25	1,4064	70
1,2784		1,3995
1,2768		1,3902
1,2783		1,4018
1,2779		1,4023
1,2854	30	1,4175	75
1,2859		1,4210
1,2862		1,4162
1,2852		1,4158
1,2860		1,4217
1,2947	35	1,4360	80
1,2937		1,4396
1,2904		1,4352
1,2883		1,4378
1,2906		1,4331
1,3056	40	1,4687	85
1,3016		1,4652
1,2991		1,4648
1,3020		1,4694
1,3041		1,4703
1,3187	45
1,3147
1,3163
1,3174
1,3168

Część 2.

Wyniki pomiarów okresu drgań wahadła w zależności od kąta wychylenia początkowego przedstawiono w tabeli.

Po wyliczeniu średniego okresu dla każdego z kątów wychylenia początkowego sporządzono wykres . Wykres wygląda następująco:

Niepewność kąta φ przyjęto na poziomie 3°.

Niepewność pomiaru okresu T, podobnie jak w poprzedniej części, została wyliczona metodami statystycznymi jak i niestatystycznymi.

Podobnie jak poprzednio, jako statystyczną składową niepewności przyjęto odchylenie standardowe średniej z każdej piątki pomiarów.

Główne źródła niepewności szacowanej metodami niestatystycznymi to ponownie błąd pomiaru kąta oraz błąd rejestracji momentu przejścia wahadła przed fotokomórką.

Tsr [s]	σ(Tsr) [s]	φ [°]	φ [rad]	F(φ0)	ΔF(φ0)	vmax[m/s]	ΔTv [s]	ΔTkat [s]	U(T)B	ΔT
1,2540	0,0078	5	0,087	0,0005	0,0011	0,17	0,0116	0,0014	0,0117	0,0103
1,2629	0,0011	10	0,175	0,0019	0,0023	0,35	0,0058	0,0029	0,0065	0,0039
1,2665	0,0009	15	0,262	0,0043	0,0034	0,52	0,0039	0,0043	0,0058	0,0035
1,2722	0,0004	20	0,349	0,0077	0,0045	0,69	0,0029	0,0057	0,0064	0,0037
1,2778	0,0003	25	0,436	0,0120	0,0055	0,86	0,0023	0,0070	0,0074	0,0043
1,2857	0,0002	30	0,524	0,0174	0,0065	1,03	0,0020	0,0083	0,0085	0,0049
1,2915	0,0012	35	0,611	0,0238	0,0083	1,19	0,0017	0,0105	0,0106	0,0062
1,3025	0,0011	40	0,698	0,0313	0,0095	1,36	0,0015	0,0121	0,0122	0,0071
1,3168	0,0007	45	0,785	0,0400	0,0108	1,52	0,0013	0,0137	0,0137	0,0080
1,3310	0,0006	50	0,873	0,0498	0,0120	1,67	0,0012	0,0153	0,0153	0,0089
1,3429	0,0009	55	0,960	0,0608	0,0133	1,83	0,0011	0,0169	0,0169	0,0098
1,3580	0,0017	60	1,047	0,0732	0,0145	1,98	0,0010	0,0184	0,0185	0,0108
1,3815	0,0008	65	1,134	0,0869	0,0163	2,13	0,0009	0,0207	0,0208	0,0120
1,4000	0,0027	70	1,222	0,1021	0,0177	2,27	0,0009	0,0225	0,0225	0,0133
1,4184	0,0012	75	1,309	0,1188	0,0192	2,41	0,0008	0,0243	0,0243	0,0141
1,4363	0,0011	80	1,396	0,1371	0,0205	2,55	0,0008	0,0261	0,0261	0,0151
1,4677	0,0011	85	1,484	0,1571	0,0219	2,68	0,0007	0,0278	0,0278	0,0161

Wyniki obliczeń prowadzących do uzyskania ostatecznego wyniku przedstawiono w tabeli.

Δφ [rad] =	0,052
Δφ [°] =	3
d [m] =	0,002
g [m/s^2] =	9,81
l [m] =	0,4
Δx [m] =	0,005
T0 [s] =	1,2687

Niepewność pomiaru okresu związana z momentem rejestracji przelotu wahadła przed fotokomórką obliczono metodą opisaną wcześniej – ze wzoru , gdzie , jest wartością kąta maksymalnego wychylenia dla danego pomiaru, a g i l przyjmują wartości jak w tabelce obok.

Przy liczeniu niepewności wynikającej z niedokładności pomiaru kąta skorzystano z różniczki.

Wzór na okres wahadła matematycznego wygląda następująco: dla . Niepewność pomiaru kąta wpływa na wartość , tak więc niepewność z tego powodu dla T można obliczyć ze wzoru . Z kolei niepewność wyznaczenia funkcji policzono ze wzoru .

Istotnym jest, że w zależności od kąta początkowego wychylenia funkcję przybliżano przez różną ilość początkowych wyrazów, tzn. dla przez pierwszy wyraz, dla 30° < φ ≤ 60° przez dwa pierwsze wyrazy, a dla φ > 60° przez trzy wyrazy (spowodowane jest to znikomym wpływem dalszych wyrazów na wartość funkcji przy małych kątach). Tak więc pochodna po kącie liczona jest z różnych wzorów dla poszczególnych przedziałów kątów.

Po dokonaniu obliczeń:

- dla

- dla 30° < φ ≤ 60°

- dla φ > 60°

Podstawiając teraz do wzoru na ΔT_kat odpowiednie wartości ΔF(φ) oraz T₀ wyliczone z wartości g i l podanych w tabelce (niepewność wyznaczania T₀ pominięto), wyznaczono wartość niepewność pomiaru okresu wynikającą z niedokładności pomiaru kąta. (wszystkie pośrednie wyniki w tabeli)

Analogicznie do poprzedniej części doświadczenia, całkowita niepewność pomiaru okresu wyznaczana niestatystycznie (typu B) została obliczona według wzoru , a łączną niepewność ΔT według wzoru . Została ona umieszczona na wykresie.

Przy użyciu danych z tej części doświadczenia można wyznaczyć okres wahadła matematycznego bez uwzględnienia poprawki związanej z kątem wychylenia (popularny wzór stosowany często dla małych kątów).

W tym celu dokonano linearyzacji równania na okres wahadła w następujący sposób: , gdzie .

Z rozważań teoretycznych wynika, że punkty na wykresie powinny układać się w prostą o współczynniku kierunkowym oraz równym mu współczynniku . Aby zweryfikować teorię, wykreślono wykres tej zależności, został on przedstawiony poniżej:

Niepewności okresu ΔT zaznaczone na wykresie są identyczne, jak na poprzednim.

Niepewności ΔF(φ) zostały policzone wcześniej, przy liczeniu wpływu dokładności pomiaru kąta na dokładność pomiaru okresu i również zostały naniesione na wykres. (wszystkie wyniki zamieszczono w tabeli)

Metodą najmniejszych kwadratów do wyników pomiarów dopasowano prostą. Wyliczone współczynniki są następujące:

a =	1,324	1,2613	= b
σa =	0,017	0,0012	= σb

Wynik uzyskany przy wykorzystaniu współczynnika a:

Przy wykorzystaniu współczynnika b:

1. Podsumowanie i wnioski

Część 1.

Wyniki uzyskane w tej części przy użyciu metody najmniejszych kwadratów są zaskakująco dokładne. Niepewność pomiaru przyspieszenia ziemskiego g jest bardzo niewielka (niepewność względna tylko 0,14%), ale wynik rzeczywiście jest niezwykle precyzyjny – uzyskano , podczas gdy podawana wartość „prawdziwa” przyspieszenia g w Warszawie wynosi . Punkty pomiarowe leżą niemal idealnie na prostej – świadczy to o dokładności wykonania pomiarów. Na pewno wpływ na to miał fakt, że nie była mierzona całkowita długość wahadła, a jedynie różnica długości względem wybranego punktu odniesienia – pozwala to znacznie zmniejszyć błąd pomiaru długości, ponieważ nie trzeba przy każdym pomiarze szacować położenia środka masy wahadła.

Dla porównania wyznaczono niepewność przyspieszenia g metodą różniczki zupełnej dla pojedynczego pomiaru (wyprowadzenie wzoru i wszystkie obliczenia w załączniku). Uzyskany wynik: . Wynik ten, choć poprawny (wartość „prawdziwa” mieści się w granicy niepewności), jest nieporównywalnie mniej dokładny – niepewność względna wynosi 1,42%. Ukazuje to niekwestionowaną przewagę metody najmniejszych kwadratów przy wyznaczaniu wartości fizycznych.

Wartość długości wahadła l₀ w punkcie odniesienia wyznaczona metodą najmniejszych kwadratów wyniosła i odpowiada orientacyjnej wartości zmierzonej „ręcznie” (0,90 m). Precyzja jej wyznaczenia jest bardzo wysoka.

Niewielka niepewność wyników sprawia, że tę część doświadczenia można uznać za udaną (najbardziej cieszy tak wysoka dokładność wyznaczenia wartości g).

Część 2.

Wyniki dla długości okresu T­₀, wbrew przewidywaniom teoretycznym, różnią się w zależności od parametru, z którego są obliczane. Może mieć to związek z odstępstwami od wzoru na okres wahadła dla zupełnie małych kątów (bliskich zeru) – z tego powodu wykres dla takich kątów może zachowywać się nieco odmiennie, co wpływa na współczynniki dopasowania prostej. Inną tego przyczyną może być niedoskonałość całki eliptycznej, której używamy przy wyprowadzeniu wzoru. Z powodu braku analitycznych rozwiązań równania wyjściowego użyto przybliżenia, które może skutkować właśnie takim odstępstwem wyników od teorii.

Warto ponadto zwrócić uwagę na niepewności pomiarowe okresu T zaznaczone na wykresach. Pomimo tego, że pierwszy punkt pomiarowy leży na osi y nieco niżej niż powinien (prawdopodobnie błąd systematyczny przy jednym z pomiarów), większa niepewność sprawia, że mieści się on na krzywej teoretycznej. Świadczy to o skuteczności zastosowanej metody obliczania niepewności T.

Wzięcie pod uwagę niepewności niestatystycznch: związanej z pomiarem kąta i niepewności związanej z momentem rejestracji momentu przelotu wahadła uważam za najrozsądniejsze wyjście – spojrzenie na tabele wyników pozwala stwierdzić, że „uzupełniają się” one wzajemnie – dla kolejnych pomiarów, podczas gdy jedna rośnie, druga maleje, ale rząd wielkości niepewności typu B pozostaje niezmienny – pominięcie którejkolwiek z nich zmieniłoby zasadniczo wynik. Po uwzględnieniu jeszcze odchylenia standardowego w niepewności całkowitej rezultaty są bardzo zadowalające – krzywe teoretyczne przechodzą przez wszystkie punkty pomiarowe, ale ich niepewności nie są zawyżone – dotyczy to obydwu części doświadczenia. Mimo iż wyniki tych obliczeń nie mają wpływu na ostateczne wartości mierzonych parametrów, są one niezbędne do narysowania wykresów i uważam je za istotną część doświadczenia.

ZAŁĄCZNIK – obliczanie przyspieszenia ziemskiego g przy pomocy pojedynczego pomiaru

Wzór na okres wahadła matematycznego wygląda następująco:

, gdzie (kąt wychylenia: 15°)

Po przekształceniach:

Niepewność g obliczono metodą różniczki zupełnej:

.

Po rozwinięciu wzoru:

.

Podstawienie do wzorów danych z pomiaru dla x=0,5 m daje wynik:

.