1. Opracowanie danych:

   1. sprężyna I

Pomiar 1. Wyznaczanie współczynnika sprężystości metodą statyczną:

Pomiary wykonane na ćwiczeniach:

długość sprężyny bez odważnika [m] ±	masa odważnika [kg] ±	siła ciężkości działająca na odważnik F=mg, gdzie g=9,81m/s^2 [N] ± 0,0001 N	długość sprężyny po zawieszeniu odważnika [m] ±	wydłużenie sprężyny po zawieszeniu odważnika [m] ±
0,26	0,1168	1,1458	0,31	0,05
	0,3478	3,4119	0,395	0,135
	0,5144	5,0462	0,456	0,196

• Aby wykreÅ›lić zależność y = F(x) obliczam:

parametry prostej regresji dla zmierzonych wartości:

gdzie

niepewność standardową wyznaczenia współczynników a i b regresji prostej:

gdzie

	wydłużenie sprężyny x [m]	siła ciężkości P [N]
i	xi	yi	xi^2	xiyi	Δyi=yi-axi-b	(Δyi)^2
1	0,05	1,1458	0,0025	0,057	-0,19	0,04
2	0,135	3,4119	0,0182	0,461	-0,195	0,038
3	0,196	5,0462	0,0384	0,989	-0,193	0,037
suma	0,381	9,6039	0,0591	1,507		0,115

Po podstawieniu do odpowiednich wzorów otrzymuję:

W = 0,0322

k = a =

Współczynnik sprężystości dla I sprężyny obliczony metodą statyczną jest równy

.

Pomiar 2. Wyznaczanie współczynnika sprężystości metodą dynamiczną:

Pomiary wykonane na ćwiczeniach:

masa sprężyny m bez odważnika [kg] ±	masa odważnika [kg] ±	czas 20 pełnych wahań sprężyny w zależności od obciążnika [s] ± 1 s	okres drgań sprężyny [s]
0,0342	0,1168	9	0,475
	0,3478	14	0,755
	0,5144	17	0,905

• Aby wykreÅ›lić zależność y = T²(M) obliczam parametry prostej regresji dla zmierzonych wartoÅ›ci oraz niepewność standardowÄ… wyznaczenia współczynników a i b regresji prostej (patrz pkt. 1)

m - masa sprężyny: m = 0,0342 kg = const

M – masa odważnika

	masa sprężyny z odważnikiem M+m[kg]	kwadrat okresu drgań sprężyny T^2 [s^2]
i	xi	yi	xi^2	xiyi	Δyi=yi-axi-b	(Δyi)^2
1	0,151	0,226	0,023	0,035	0,001	0,000
2	0,382	0,57	0,146	0,218	-0,001	0,000
3	0,5486	0,819	0,301	0,449	-0,001	0,000
suma	1,0816	1,615	0,47	0,702		0,000006

Po podstawieniu do odpowiednich wzorów otrzymuję:

W = 0,2401

=

Współczynnik sprężystości dla I sprężyny obliczony metodą dynamiczną jest równy

.

Porównanie wartości współczynnika k otrzymanych za pomocą metody statycznej i dynamicznej:

	wartość współczynnika sprężystości k	k minimalne	k maksymalne
metoda dynamiczna		26,336	26,39
metoda statyczna		23,494	30,04

Wniosek: Pomiędzy wartościami k wyznaczonymi metodą I i II są różnice, być może wynikające z niedokładnych pomiarów czasu wahań sprężyny w przypadku pomiaru II.

Pomiar 3. Wyznaczanie modułu sztywności materiału sprężyny:

liczba zwojów sprężyny n	promień zwoju sprężyny R [m]	promień drutu sprężyny r [m]
140 ± 1	0,011 ± 0,002	0,00107 ± 0,00002

• Wyznaczam niepewność wielkoÅ›ci korzystajÄ…c z metody różniczki zupeÅ‚nej:

Niepewność bezwzglÄ™dnÄ… zÅ‚ożonÄ… A = f(x₁, x₂, x_3, ..., x_k) obliczam ze wzoru:

czyli dla wartoÅ›ci bÄ™dÄ…cej iloczynem dowolnych potÄ™g mierzonych bezpoÅ›rednio wielkoÅ›ci x₁ .... x_k:

Błąd względny dany jest wzorem:

Obliczenia dla A = G(k,n,R,r) = :

wielkość mierzona	wartość wielkości mierzonej	niepewność wielkości mierzonej	pochodna G	przyczynek do błędu bezwzględnego ΔG/G
współczynnik sprężystości [N/m]	k = 26,767	Δk = 3,273	Δk
liczba zwojów sprężyny	n = 140	Δn = 1	Δn
promień zwoju sprężyny [m]	R = 0,011	ΔR = 0,002	ΔR	3
promień drutu sprężyny [m]	r = 0,00107	Δr = 0,00002	Δr	4

Niepewność bezwzględną G obliczam ze wzoru:

czyli ΔG =

Niepewność względną G obliczam ze wzoru:

σ = 8,34%

Z powyższych obliczeń wynika, że .

1. sprężyna II

Pomiar 1. Wyznaczanie współczynnika sprężystości metodą statyczną:

Pomiary wykonane na ćwiczeniach:

długość sprężyny bez odważnika [m] ±	masa odważnika [kg] ±	siła ciężkości działająca na odważnik F=mg, gdzie g=9,81m/s^2 [N] ± 0,0001 N	długość sprężyny po zawieszeniu odważnika [m] ±	wydłużenie sprężyny po zawieszeniu odważnika [m] ±
0,23	0,0808	0,7926	0,40	0,17
	0,1108	1,0869	0,465	0,235
	0,1584	1,5539	0,565	0,335

• Analogicznie do poprzedniej sprężyny

	wydłużenie sprężyny x [m]	siła ciężkości P [N]
i	xi	yi	xi^2	xiyi	Δyi=yi-axi-b	(Δyi)^2
1	0,17	0,7926	0,0289	0,135	0,011	0,000
2	0,235	1,0869	0,0552	0,255	-0,002	0,000
3	0,335	1,5539	0,112	0,521	-0,008	0,000
suma	0,74	3,4334	0,1961	0,911		0,000189

Po podstawieniu do odpowiednich wzorów otrzymuję:

W = 0,0407

k = a =

Współczynnik sprężystości dla II sprężyny obliczony metodą statyczną jest równy

.

Pomiar 2. Wyznaczanie współczynnika sprężystości metodą dynamiczną:

Pomiary wykonane na ćwiczeniach:

masa sprężyny m bez odważnika [kg] ±	masa odważnika [kg] ±	czas 20 pełnych wahań sprężyny w zależności od obciążnika [s] ± 1 s	okres drgań sprężyny [s]
0,0876	0,0808	19	0,96
	0,1108	21	1,08
	0,1584	24	1,25

• Aby wykreÅ›lić zależność y = T²(M) obliczam parametry prostej regresji dla zmierzonych wartoÅ›ci oraz niepewność standardowÄ… wyznaczenia współczynników a i b regresji prostej (patrz pkt. 1)

m - masa sprężyny: m = 0, 0876 kg =const

M – masa odważnika

	masa sprężyny z odważnikiem M+m [kg]	kwadrat okresu drgań sprężyny T^2 [s^2]
i	xi	yi	xi^2	xiyi	Δyi=yi-axi-b	(Δyi)^2
1	0,11	0,922	0,012	0,101	0,005	0,000
2	0,14	1,166	0,02	0,163	-0,001	0,000
3	0,188	1,563	0,035	0,294	-0,003	0,000
suma	0,438	3,651	0,067	0,558		0,00004

Po podstawieniu do odpowiednich wzorów otrzymuję:

W = 0,009

= 4,741 ±0,115

Współczynnik sprężystości dla I sprężyny obliczony metodą dynamiczną jest równy

4,741 ±0,115 .

Porównanie wartości współczynnika k otrzymanych za pomocą metody statycznej i dynamicznej:

	wartość współczynnika sprężystości k	k minimalne	k maksymalne
metoda dynamiczna		8,203	8,433
metoda statyczna		4,71	4,738

Wniosek: Pomiędzy wartościami k wyznaczonymi metodą I i II są różnice, być może wynikają one z niedokładnych pomiarów czasu wahań sprężyny w przypadku pomiaru II.

Pomiar 3. Wyznaczanie modułu sztywności materiału sprężyny:

liczba zwojów sprężyny n	promień zwoju sprężyny R [m]	promień drutu sprężyny r [m]
126 ± 1	0,03 ± 0,002	0,00142 ± 0,00002

• Analogicznie do poprzedniej sprężyny.

Obliczenia dla A = G(k,n,R,r) = :

wielkość mierzona	wartość wielkości mierzonej	niepewność wielkości mierzonej	pochodna cząstkowa z G	przyczynek do błędu bezwzględnego ΔG/G
współczynnik sprężystości [N/m]	k = 4,724	Δk = 0,014	Δk
liczba zwojów sprężyny	n = 126	Δn = 1	Δn
promień zwoju sprężyny [m]	R = 0,03	ΔR = 0,002	ΔR	3
promień drutu sprężyny [m]	r = 0,00142	Δr = 0,00002	Δr	4

Niepewność bezwzględną G obliczam ze wzoru:

czyli ΔG =

Niepewność względną G obliczam ze wzoru:

σ = 0,09%

Z powyższych obliczeń wynika, że .