ANALIZA NUMERYCZNA KONSTRUKCJI METALOWYCH

ZADANIE DO SAMODZIELNEGO WYKONANIA

Temat nr 28

Używając oprogramowania ARSA przeprowadź odpowiednie analizy wyboczeniowe stalowego pręta o schemacie statycznym i przekroju wskazanym w wierszu z danymi.

Opracuj wykres zależności siły krytycznej N_cr od smukłości pręta λ. Należy przeanalizować min. 10 smukłości pręt w zakresie od λ = 25 do λ = 250 z krokiem co 25.

Obliczenia należy wykonać stosując dwa typy elementów skończonych: analiza nr 1 - elementy prętowe (belkowe); analiza nr 2 - elementy powierzchniowe.

Wyniki obu analiz (1 i 2) wraz z krzywą wyznaczoną wg rozwiązania analitycznego należy zamieścić na wykresie zależności N_cr(λ) w celu porównania wyników. Otrzymane wyniki należy ocenić.

Schemat statyczny pręta: D przekrój poprzeczny pręta: stal:

IPE400 S355J0

Wykonał: Prowadzący:

Tomasz Turek dr inż. Tomasz Heizig

sem. 2 mgr KBI / KM

rok akad. 2013/2014

Charakterystyki geometryczne przekroju

Przekrój IPE400:

h = 400 mm A = 84,5 cm² stal S355J0

b = 180 mm I_y = 1320 cm⁴ f_y = 35,5 kN/cm²

t_W = 8,6 mm I_z = 23130 cm⁴ ε = 0,81

t_f = 13,5 mm

R = 21 mm

Analityczne wyliczenie sił krytycznych

Do wyliczenia siły krytycznej posłużono się wzorem:

$$P_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2}*E*I_{\min}}{\left( L_{w} \right)^{2}}$$

gdzie E - moduł Younga dla stali, E = 210 GPa

I_min - minimalny moment bezwładności; I_min = I_y

L_w - długość wyboczeniowa słupa; ponieważ dla zadanego schematu statycznego μ = 0,5, to L_w = 0,5*L

smukłość λ policzono ze wzoru:

$$\lambda = \frac{L_{\text{cr}}}{i}$$

gdzie i to promień bezwładności względem słabszej os przekroju (z-z)

Uzyskane wartości dla poszczególnych smukłości zaprezentowano w tabeli poniżej:

Przypadek	λ	Lcr	L	Ncr
nr	[-]	[cm]	[cm]	[kN]
1	25	98,75	197,5	28055,548
2	50	197,5	395	7013,887
3	75	296,25	592,5	3117,283
4	100	395	790	1753,472
5	125	493,75	987,5	1122,222
6	150	592,5	1185	779,321
7	175	691,25	1382,5	572,562
8	200	790	1580	438,368
9	225	888,75	1777,5	346,365
10	250	987,5	1975	280,555

Wyliczenie sił krytycznych za pomocą programu ROBOT - model prętowy

Do programu ROBOT wprowadzono przekrój IPE400, dla każdego przypadku smukłości o odpowiedniej długości.

Zadano odpowiednią stal i warunki podparcia jak w temacie.

Zadano siłę ściskającą o wartości 1 kN na kierunku z.

Podzielono pręt na 10 odcinków, aby uzyskać dokładniejsze wyniki.

Zmieniono analizę na wyboczenie liniowe z 10 postaciami.

Model w programie ROBOT prezentuje się następująco: (przykładowy przypadek, nr 2, o wysokości pręta 395 cm)

Następnie określono, która postać wyboczenia odpowiada wyboczeniu giętnemu, zaprezentowanemu na karcie z tematem:

I dla tej postaci odczytano wartość współczynnika obciążenia krytycznego:

Współczynnik krytyczny przemnożono przez zadaną siłę, o wartości 1 kN, co w rezultacie dało siłę krytyczną.

W identyczny sposób postąpiono z pozostałymi długościami prętów. Wyniki zamieszczono w tabeli poniżej:

Przypadek	λ	Lcr	L	Analiza teoretyczna	Analiza prętowa	różnica
nr	[-]	[cm]	[cm]	[kN]	[kN]	[-]
1	25	98,75	197,5	28055,548	28204,1	0,53%
2	50	197,5	395	7013,887	7015,37	0,02%
3	75	296,25	592,5	3117,283	3123,21	0,19%
4	100	395	790	1753,472	1753,84	0,02%
5	125	493,75	987,5	1122,222	1122,46	0,02%
6	150	592,5	1185	779,321	779,486	0,02%
7	175	691,25	1382,5	572,562	573,098	0,09%
8	200	790	1580	438,368	438,461	0,02%
9	225	888,75	1777,5	346,365	346,243	0,04%
10	250	987,5	1975	280,555	280,615	0,02%

Jak widać w kolumnie "różnica"; błąd jest pomijalny, ledwo co przekracza wartość 0,5%. Poniżej zaprezentowano wykres zależności N_cr(λ).

Wyliczenie sił krytycznych za pomocą programu ROBOT - model powłokowy

W tym przypadku zdefiniowałem 10 słupów o przekroju IPE400 z elementów powłokowych.

Do węzła znajdującego się w środku ciężkości przekroju przyłożyłem siłę skupioną -1 kN na kierunku osi Z.

Na górze i dole słupa zdefiniowano podpory takie jak w temacie.

Następnie wykonałem analizę wyboczeniową. Postać 1 wyboczenia była tą która należało uzyskać.

Wyniki analizy wyboczeniowej dla elementów powłokowych

Przypadek	λ	Lcr	L	Analiza teoretyczna	Analiza powłokowa	różnica
nr	[-]	[cm]	[cm]	[kN]	[kN]	[-]
1	25	98,75	197,5	28055,548	5884,15	0,79026787
2	50	197,5	395	7013,887	5760,86	0,17864945
3	75	296,25	592,5	3117,283	5637,57	0,80848826
4	100	395	790	1753,472	4073,275	1,32297722
5	125	493,75	987,5	1122,222	2508,98	1,23572532
6	150	592,5	1185	779,321	1829,464	1,34751159
7	175	691,25	1382,5	572,562	1461,277	1,55217208
8	200	790	1580	438,368	1093,09	1,49354455
9	225	888,75	1777,5	346,365	648,031	0,87095083
10	250	987,5	1975	280,555	202,973	0,2765317

Poniżej zamieszczono wykres zależności N_cr(λ), z naniesionymi wynikami z modelu prętowego i powłokowego:

Wnioski i podsumowanie

Z wyników analizy wynika , że analiza modelu prętowego wystarcza do uzyskania wyników z inżynierską dokładnością. Błąd był cały czas tego samego rzędu ( nie zależał od smukłości). Dodatkową zaletą modelu prętowego jest to, że stosunkowo łatwo definiuje się podpory, obciążenia, oraz przekrój w stosunku do modelu powłokowego.

W modelu powłokowym błędy były ogromne ( wartości w tabeli). Nie mogłem jednoznacznie stwierdzić jak najlepiej przyłożyć siłę czy podpory. Dużo trudniejsze było wymodelowanie elementu takiego jak w temacie.

Podsumowując: do analizy wyboczeniowej najlepiej i najefektywniej stosować model prętowy, ze względu na łatwość użycia i dokładność wyników.