Relacje i funkcje – zadania

1. W A  × B rozpatrujemy relację R. Wyznacz D(R), D⁻¹(R), jeżeli:

1. A = ℝ,  B = ℝ,  aRb  a = 2k  ∧ b = 3k dla pewnego k  ∈  ℤ,

2. A = [−10, 10],  B = [−2, 2],  aRb  b = 2a + 1,

3. A =  ℕ,  B =  ℕ,  aRb  a  ∈ 2N i b|a.

1. Czy relacja R = {(x, y) ∈  ℝ²  : x < y} jest zwrotna, symetryczna, przechodnia?

2. Niech A = B =  ℕ, niech aRb gdy przy dzieleniu przez ustaloną liczbę p  ∈  ℕ, obie liczby a i b dają tę samą resztę. Pokaż, że R jest relacją równoważności. Zakładając, że p = 3 wyznacz [7]_R,  [2]_R zbiór ilorazowy przez R.

3. Czy podane relacje są funkcjami?

c)

d)

2. Znajdź D(f),  D⁻¹(f),  D(C),  D⁻¹(D) gdy:

1. $A = \ \mathbb{R,\ }\forall_{x,\ y\ \in \ A}\ y = f\left( x \right)\ y = \ \sqrt[2]{x},\ C = \left\lbrack 2,\ 2 \right\rbrack,\ D = \lbrack 16,\ 25\rbrack$,

C = [−2, 2],  D = [2, 3] ∪ { − 5}

1. Czy odwzorowanie f : A  B jest iniekcją, surjekcją, bijekcją, gdy:

1. A =  ℝ,  B =  ℝ,  f(a) =  b  b = sin(a),

2. A =  ℝ,  B = [−1, 1],  f(a) =  sin(a),

3. $A = \left\lbrack - \frac{\Pi}{2},\ \frac{\Pi}{2} \right\rbrack,\ B = \ \mathbb{R,\ }f\left( a \right) = \ b\ \ b = sin(a)$,

4. $A = \left\lbrack - \frac{\Pi}{2},\ \frac{\Pi}{2} \right\rbrack,\ B = \left\lbrack - 1,\ 1 \right\rbrack,\ f\left( a \right) = \ b\ \ b = sin(a)$,

5. $A = \ \mathbb{N,\ }B = \ \mathbb{R,\ }f\left( a \right) = \ b\ \ b = \ \sqrt{a}$,

6. A =  ℕ,  B =  ℝ,  f(a) =  b  b = a²,

7. A =  ℝ₊,  B =  R₊,  f(a) =  b  b =  a².

1. Wykaż, że odwzorowaniem odwrotnym do f jest g, gdy:

1. $A = \ \mathbb{R,\ }B = \ \mathbb{R,\ }f:A\overset{\rightarrow}{}\ B,\ f\left( a \right) = \ \frac{5a - 7}{3},\ g\left( b \right) = \ \frac{3b + 7}{5}$,

2. $A = \ \mathbb{R}^{2},\ B = \ \mathbb{R}^{2},\ f\left( x,\ y \right) = \left( 3x + y,\ x - y \right),\ g\left( z,\ t \right) = (\frac{z + t}{4},\ \frac{z - 3t}{4})$.

1. Znajdź (g ∘ f)⁻¹, gdy:

1. $A = \ \mathbb{R}_{+},\ B = \ \mathbb{R}_{+},\ C = \ \mathbb{R}_{+},\ f:A\ B,\ g:B\ C,\ f\left( a \right) = \ 5a,\ g\left( b \right) = \ \sqrt{b}$,

2. $A = \left\lbrack - \frac{\Pi}{2},\ \frac{\Pi}{2} \right\rbrack,\ B = \left\lbrack - 1,\ 1 \right\rbrack,\ C = \left\lbrack - 10,\ 10 \right\rbrack,\ f:A\ B,\ g:B\ C,\ f\left( a \right) = \sin\left( a \right),\ g\left( b \right) = \ 16b$.