Iloczyn kartezjański

•

Niech A i B będą dowolnymi

zbiorami. Zbiór

A  B = { ( a, b ) : a  A  b  B }

nazywamy iloczynem kartezjańskim

zbiorów A i B .

• Jeżeli R oznacza zbiór liczb

rzeczywistych, to R  R = R

2

nazywamy 2-wymiarową
przestrzenią rzeczywistą
( płaszczyzną ). Podobnie R  R 

R = R

3

nazywamy

3-wymiarową przestrzenią

rzeczywistą.

Relacja dwuczłonowa

•

Każdy podzbiór S iloczynu

kartezjańskiego X  Y nazywamy

relacją dwuczłonową ( S  X  Y ).

Symbole xSy lub ( x, y )  S oznaczają,

że element

x  X pozostaje w relacji S z elementem
y  Y.
•

Dziedziną ( przeciwdziedziną ) relacji

S nazywamy zbiór wszystkich
poprzedników ( następników ) par
spełniających tę relację.

Funkcje (odwzorowania)

• Relację f  X  Y nazywamy

funkcją

f : X  Y, jeżeli:
1)   jej dziedziną jest zbiór X, tzn.
• 

x X



yY

( x, y )  f;

2)  jest ona prawostronnie

jednoznaczna, tzn. 

x X



y, z Y

[( x, y

)  f  ( x, z )  f  y = z ].

• Ponieważ dla danego x  X

istnieje dokładnie jedno y takie,
że ( x, y )  f , przeto to jedyne y

oznaczamy przez f(x) i nazywamy
wartością funkcji f w punkcie x
( y = f(x) ).

• Zbiór X nazywamy dziedziną

funkcji f

i oznaczamy symbolem D

f

lub

D(f).

Wykres funkcji

• Zbiór W

f

określony następująco:

nazywamy wykresem (obrazem

graficznym) odwzorowania f.

}

)

(

:

)

,

{(

f

f

D

x

x

f

y

y

x

W









Odwzorowanie „na”

• Mówimy, że odwzorowanie f : X

 Y jest typu „ na”, jeśli



yY



x X

f(x)=y.

Zapisujemy wtedy:

Y

X

f

na



:

Odwzorowanie

różnowartościowe

• Mówimy, że odwzorowanie f : X

 Y jest różnowartościowe, jeśli:

2

1

2

1

2

,

1

)

(

)

(

x

x

x

f

x

f

X

x

x











• Mówimy, że odwzorowanie f : X

 Y jest wzajemnie jednoznaczne

jeśli jest ono różnowartościowe i
typu „na”.

• Odwzorowanie wzajemnie

jednoznaczne nazywa się często
odwzorowaniem bijektywnym.

• Niech A  X .
• f(A) = {y : y = f(x)  xA } – obraz

zbioru A przy odwzorowaniu f.

• Oczywiście f : X  Y jest typu

„na” wtedy i tylko wtedy, gdy f(X)
= Y.

• Niech B  Y.
•

-przeciwobraz zbioru B przy
odwzorowaniu f

}

)

(

:

{

)

(

1

B

x

f

x

B

f







Funkcja złożona

• Niech: f : X  Y ; g : Y  Z.
• Dla dowolnego x  X, istnieje dokładnie

jeden element z  Z taki, że z = g(f(x)).

• Zatem funkcje g i f wyznaczają nową

funkcję h : X  Z określoną h(x) =

g(f(x)).

• Funkcję h nazywamy złożeniem

(superpozycją) funkcji f i g ( h=g  f ).

Funkcja odwrotna

• Mówimy, że funkcja g: Y  X jest

odwrotna do f : X  Y , jeśli:

1. g(Y) = X ; 2. f(X) = Y ;
3. xX yY g(y) = x  f(x) = y.
Funkcję odwrotną do f będziemy

dalej oznaczać symbolem .

Tw.: Funkcja f : X  Y ma funkcję

odwrotną wtedy i tylko wtedy, gdy
f jest wzajemnie jednoznaczna.

1



f