PROJEKT STEROWANIE DYSKRETNE

Wykonali:

Łukasz Stawowy

Szymon Stawowy

Przedmiotem projektu jest chodnik taśmowy wykorzystywany w górnictwie do transportu węgla.

• Zdjęcie: Schemat:

Naszym zadaniem jest zaprojektować układ regulacji położenia taśmy napędzanej obcowzbudnym silnikiem prądu stałego o zadanych parametrach, uwzględniając ograniczenia prędkości i przyspieszenia. Należy zaprojektować trzy różne algorytmy sterowania, PID – regulator cyfrowy oraz do wyboru regulator deadbeat, regulator czasooptymalny, regulator LQR, układ odporny, regulator rozmyty.

• Dane:

• Prędkość silnika w stanie ustalonym V=5$\frac{m}{s}$

• Indukcyjność cewki wirnika L=0.3 H

• Oporność cewki wirnika R=0.3Ω

• Bezwładność silnika J=0.1 $\frac{\text{kg}m^{2}}{s^{2}}$

• Tarcie wiskotyczne w łożyskach silnika D=1 $\frac{\text{Nms}}{\text{rad}}$

• Stała mechaniczna k_m=1 $\frac{\text{Nm}}{A}$

• Stała elektryczna k_e=10 $\frac{\text{Vs}}{\text{rad}}$

• Moc silnika P=400 W

• Promień bębna r=0.1m

• Masa przenośnika/obciążenia m=100/100 kg

• Sprężystość taśmy k=650000 $\frac{N}{m}$

• Współczynnik tarcia μ = 0.1

• Model układu:

Dla tego układu wejściem jest napięcie U_z , natomiast wyjściem przemieszczenie taśmy x2.

• Równanie elektryczne silnika:

U_z = U_R + U_L + E

U_z − napiecie zasilania

U_R − napiecie na rezystancji

U_L  − napiecie na cewce

E − sila elektormotoryczna

U_R = Ri

$U_{L} = L\frac{\text{di}}{\text{dt}}$

E = k_eω

$$\omega = \frac{\text{dθ}}{\text{dt}}$$

$$\theta = \frac{x1}{r}$$

$$\omega = \frac{1}{r}*\frac{dx1}{\text{dt}}$$

ω − predkosc katowa silnika

θ − kat o jaki obroci sie beben silnika

x1 − droga na bebnie 

Po podstawieniu do równania otrzymujemy:

$U_{z} = R*i + L\frac{\text{di}}{\text{dt}} + k_{e}*\frac{1}{r}*\frac{dx1}{\text{dt}}$

Po dokonaniu przekształcenia Laplace’a uzyskujemy:

$$U_{z} = R*I\left( s \right) + L*s*I\left( s \right) + \ \frac{k_{e}}{r}*s*X1(s)$$

Z tego wynika, że:

$$I\left( s \right) = \frac{U_{z} - \frac{k_{e}}{r}*s*X1(s)}{L*s + R}$$

(1.1)

• Równanie mechaniczne silnika:

M_s = M_a + M_v + M_obc

M_s − moment obrotowy wirnika,  

M_a − moment zwiazany z przyspieszeniem katowym wirnika,  

M_v − moment zwiazany z oporami ruchu

M_obc − moment obciazenia

x2 − przemieszczenie tasmy

M_s = k_mi

$M_{a} = J\frac{\text{dω}}{\text{dt}}$

M_v = Dω

Po podstawieniu do równania otrzymujemy:

$$k_{m}*i = \frac{J}{\text{r\ }}*\frac{d^{2\ }x1}{dt^{2}} + \frac{D}{r}*\frac{dx1}{\text{dt}} - k\left( x2 - x1 \right)*r$$

Dzielimy obustronnie przez „r” :

$$\frac{k_{m}}{r}*i = \frac{J}{r^{2}\ }*\frac{d^{2\ }x1}{dt^{2}} + \frac{D}{r^{2}}*\frac{dx1}{\text{dt}} - \frac{k}{r}\left( x2 - x1 \right)$$

Po przejściu na dziedzinę Laplace’a i wyznaczeniu X1 mamy:

$$X1\left( s \right) = \frac{\frac{k_{m}}{r}*I\left( s \right) + k*X2(s)}{\frac{J}{r^{2}\ }*s^{2} + \ \frac{D}{r^{2}}*s + k}$$

(1.2)

• Równanie sił dla obciążenia:

$$m_{o}*\frac{d^{2}x2}{dt^{2}} = - k\left( x2 - x1 \right) - m_{o}\text{gμ}$$

Po przejściu na dziedzinę Laplace’a i wyznaczeniu X2 mamy:

$$X2\left( s \right) = \frac{k*X1\left( s \right) - m_{o}\text{gμ}}{m_{o}s^{2} + k}$$

(1.3)

• Model układu w Simulinku:

• Kolejne przekształcenia modelu w celu jego uproszczenia:

• Treść m-pliku do obliczenia transmitancji zastępczej ciągłej oraz dyskretnej:

clc;

clear all;

V=5;

L=0.3;

R=0.3;

J=0.1;

D=1;

km=1;

ke=10;

P=400;

r=0.1;

m=100;

m_o=100;

mc=m+m_o;

k=650000;

g=9.81;

u=0.1;

L1=[(J/r^2)*m_o*g*u -(D/r^2)*m_o*g*u -k*(m_o*g*u-1)]

M1=[(J/r^2)*m_o (D/r^2)*m_o ((J/r^2)*k+m_o*k) (D/r^2)*k k^2]

G1=tf(L1,M1);

G1;

L2=[km]

M2=[L*r R*r]

G2=tf(L2,M2);

G2;

L3=[(ke/r)*m_o 0 (ke/r)*k 0]

M3=[k-m_o*g*u]

G3=tf(L3,M3)

G3;

G4=k;

G1_4=feedback(G1,G4,1);

G2_14=series(G2,G1_4);

Gz=feedback(G2_14,G3,-1);

[Lz Mz]=tfdata(Gz,'V');

Tp=0.01

Gzd=c2d(Gz,Tp,'zoh')

[Ld,Md]=tfdata(Gzd,'v')

• Gz:

• Gzd:

• Model układu po zastosowaniu „create subsystem”:

• Wykres mocy teoretycznej(czarny) i rzeczywistej(czerwony):

• Wykres położenia:

• Wykres prędkości:

• Wykres przyspieszenia:

$$G1 = (\frac{k}{\frac{J}{r^{2}\ }*s^{2} + \ \frac{D}{r^{2}}*s + k} - m_{\text{o\ }}*g*\mu)\frac{1}{m_{o}s^{2} + k}$$

$$G2 = \frac{1}{L*s + R}*\frac{k_{m}}{r}$$

$$G3 = {(m}_{o}s^{2} + k)*\frac{1}{\left( k - m_{\text{o\ }}*g*\mu \right)}*\frac{k_{e}}{r}*s$$

$$G1;4 = \frac{G1}{1 - G4*G1}$$

G2, 1; 4 = G2 * G1; 4

$$Gz = \frac{G2,1;4}{1 + G3*G2,1;4}$$

$$Gz = \frac{\frac{1}{L*s + R}*\frac{k_{m}}{r}*\frac{(\frac{k}{\frac{J}{r^{2}\ }*s^{2} + \ \frac{D}{r^{2}}*s + k} - m_{\text{o\ }}*g*\mu)\frac{1}{m_{o}s^{2} + k}}{1 - k*(\frac{k}{\frac{J}{r^{2}\ }*s^{2} + \ \frac{D}{r^{2}}*s + k} - m_{\text{o\ }}*g*\mu)\frac{1}{m_{o}s^{2} + k}}}{1 + {(m}_{o}s^{2} + k)*\frac{1}{\left( k - m_{\text{o\ }}*g*\mu \right)}*\frac{k_{e}}{r}*s*\frac{(\frac{k}{\frac{J}{r^{2}\ }*s^{2} + \ \frac{D}{r^{2}}*s + k} - m_{\text{o\ }}*g*\mu)\frac{1}{m_{o}s^{2} + k}}{1 - k*(\frac{k}{\frac{J}{r^{2}\ }*s^{2} + \ \frac{D}{r^{2}}*s + k} - m_{\text{o\ }}*g*\mu)\frac{1}{m_{o}s^{2} + k}}}$$