Grzegorz Pasek 171604

METODY NUMERYCZNE – SPRAWOZDANIE NR 3

·Rozwiązywanie równań nieliniowych jednej zmiennej metodą bisekcji, siecznych i Newtona

Zad 2. Implementacja metody siecznych oraz metody Newtona i poszukiwanie ich promienia zbieżności do rozwiązania równania x³ + x² − 3x − 2 = 0 na przedziale [-3,-1] oraz [-1,1]

Najpierw zaimplementowałem metodę siecznych, wg następującego rekurencyjnego wywołania:

$$x_{i} = x_{i - 1} - f\left( x_{i - 1} \right)\frac{\left( x_{i - 1} - x_{i - 2} \right)}{f\left( x_{i - 1} \right) - f\left( x_{i - 2} \right)}$$

W Matlabie wyglądała ona następująco:

%metoda siecznych

a=-3;

b=-1;

x(1)=a;

x(2)=b;

for i=3:1:10

x(i)=x(i-1)-(x(i-1)^3+x(i-1)^2-3*x(i-1)-2)*(x(i-1)-x(i-2))/((x(i-1)^3+x(i-1)^2-3*x(i-1)-2)-(x(i-2)^3+x(i-2)^2-3*x(i-2)-2));

x(i)

end

Metoda powyżej znajduje rozwiązanie dla przedziału [-1;1] w nast. krokach

x = -1.1667

x = -0.3898

x = -0.6748

x = -0.6208

x = -0.6180

x = -0.6180

Po wywołaniu dla drugiego przedziału [-3, -1] widać, że metoda znajduje wynik, który jest poza przedziałem, oznacza to, że promień zbieżności jest mniejszy i trzeba poszukać właściwego

ans = -1.1667

ans = -0.3898

ans = -0.6748

ans = -0.6208

ans = -0.6180

sukcesywnie zmniejszałem prawą granicę, aż do -1.3, kiedy pojawiło się właściwe rozwiązanie

ans = -1.4911

ans = -24.2657

ans = -1.4934

ans = -1.4957

ans = -3.4316

ans = -1.6185

ans = -1.7224

ans = -2.2261

ans = -1.9354

ans = -1.9871

ans = -2.0009

ans = -2.0000

ans = -2.0000

Eksperymentalnie zwiększałem więc promień zbieżności w drugą stronę poszukując kiedy algorytm się rozjedzie.

Dla a=-5.7 ciągle otrzymuję dobry wynik.

Dla a=-5.8 wynik otrzymany jest poza zakresem.

Promień zbieżności dla metody siecznych jest więc równy -5.7 do -1.3.

Sprawdziłem też promień zbieżności dla drugiego zadanego przedziału i otrzymałem od -1.9 do 1.4.

Następnie zaimplementowałem metodę Newtona przy pomocy rekurencyjnego wzoru:

$$x_{i} = x_{i - 1} - \frac{f\left( x_{i - 1} \right)}{f^{'}\left( x_{i - 1} \right)}$$

a1 = -3; % poczatek przedzialu

b1 = -1; % koniec przedzialu (punkt startowy metody)

x(1)=a1;

x(2)=b1;

h = 0.0001; % blad numeryczny

k=2;

while k<100 % przerwanie po dluzszym czasie

Poch=(3*(x(k))^2)+2*x(k)-3;

Poch

Licz=((x(k))^3+(x(k))^2-3*x(k)-2)

Licz

x(k+1)=x(k)-Licz/Poch;

x(k+1)

k=k+1;

end

W tym przypadku pojawia się ten sam błąd co dla metody siecznych, tj. metoda Newtona znajduje pierwiastek, ale leżący poza przedziałem.

Dla zmniejszonego punktu startowego (-1.4) pojawia się prawidłowe rozwiązanie.

W przypadku punktu startowego 1, dla przedziału -1,1 metoda znów jest rozbieżna, dopiero po zmniejszeniu punktu startowego do 0.3 znajduje prawidłowe rozwiązanie.

Wszystkie te rozbieżności dzieją się dlatego, że metoda siecznych oraz Newtona może być stosowana tylko wtedy, gdy funkcja na zadanym przedziale jest ciągła i jeśli w danym przedziale pierwsza i druga pochodna nie przyjmuje wartości zerowych.

Ten drugi warunek nie jest spełniony w poszukiwaniach, dlatego trzeba było manipulować promieniem zbieżności (punktem startowym).

Zad 3.

Żeby uniknąć błędów popełnionych w poprzednich zadaniach najpierw wykreśliłem komputerowo fragment funkcji w którym występują miejsca zerowe.

Następnie należy sprawdzić, czy pochodne przyjmują na przedziałach wartości zerowe.

Pierwsza pochodna Druga pochodna

Żeby znaleźć miejsca zerowe wybieram więc przedziały: [-2,0], [0.5,1.5], [3,4]

Algorytm znajduje miejsca zerowe po kolei:
ans1 = -0.458962267536948

ans2 = 0.910007572488709

ans3= 3.733079028632814