WNIG	Marcin Bednarczyk	ROK II	GRUPA 3	ZESPÓŁ 13
PRACOWNIA FIZYCZNA WFiIS AGH	Temat: Wahadło matematyczne.	Nr ćwiczenia: 0.
Data wykonania:	Data oddania: 10.01.2012	Zwrot do popr.	Data oddania:	Data zaliczenia:

1. Wstęp:

Cel ćwiczenia:

Zaznajomienie się z typowymi metodami opracowania danych pomiarowych przy wykorzystaniu wyników pomiarów dla wahadła prostego. Wahadło proste jest, jak wskazuje jego nazwa, układem mechanicznym charakteryzującym się prostotą tak eksperymentu jak i opisu teoretycznego. Dlatego nadaje się dobrze na ćwiczenie wprowadzające (zerowe), mające na celu poznanie podstawowych metod opracowania danych pomiarowych. Interpretacja wyników opiera się na równaniu określającym okres drgań T jako funkcję długości wahadła l oraz przyspieszenia ziemskiego g,

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

Wzór ten jest słuszny, jeżeli wychylenie ciężarka z położenia równowagi jest małe. Wahadło umożliwia uzyskanie danych eksperymentalnych, na przykładzie których można poznać typowe metody ich opracowania, a to:

- odrzucanie wyników obarczonych błędem grubym

- ocena niepewności pomiaru typu A

- ocena niepewności pomiaru typu B

- prawo przenoszenia niepewności

- obliczanie niepewności rozszerzonej

- jej zastosowanie do oceny zgodności z wartością dokładną

- wykonywanie wykresów

- linearyzacja nieliniowych zależności funkcyjnych

- dopasowanie prostej do punktów doświadczalnych

Układ pomiarowy

1. Zestaw wahadła prostego (rys. w1)

2. Sekundomierz (stoper)

3. Przymiar milimetrowy (linijka)

Rys. w1. Zestaw wahadła prostego.

1. Wyniki pomiarów.

Tabela 1.

Pomiar okresu drgań przy ustalonej długości wahadła

długość wahadła l = 554 mm

niepewność pomiaru u(l) = 1 mm

Lp.	Liczba okresów k	czas t dla k okresów [s]	okres Ti = i/k [s]
1.	20	29,44	1,472
2.	20	29,69	1,485
3.	20	29,47	1,474
4.	20	29,44	1,472
5.	20	29,59	1,479
6.	20	29,47	1,474
7.	20	29,66	1,483
8.	20	29,53	1,477
9.	20	29,81	1,491
10.	20	29,63	1,482

Tabela 2. Pomiar zależności okresu drgań od długości wahadła

Lp.	l [mm]	k	t [s]	Ti [s]	Ti^2 [s^2]
1.	100	20	12,66	0,633	0,400689
2.	150	20	14,65	0,733	0,536556
3.	200	20	17,96	0,898	0,806404
4.	250	20	20,00	1,000	1,00000
5.	270	20	21,09	1,055	1,111970
6.	295	20	21,38	1,069	1,142761
7.	305	20	21,82	1,091	1,190281
8.	350	20	23,72	1,186	1,406596
9.	365	20	24,38	1,219	1,485961
10.	395	20	24,87	1,244	1,546292
11.	405	20	25,22	1,261	1,590121
12.	410	20	25,72	1,286	1,653796
13.	430	20	26,91	1,346	1,810370
14.	450	20	27,81	1,391	1,933490
15.	480	20	28,32	1,416	2,005056

1. Opracowanie wyników pomiarów

1. Wyniki pomiaru okresu nie zawierają błędów grubych. Okres T wahadła skupia się w pobliżu 1,5[s]

2. Niepewność pomiaru okresu (niepewność typu A)

$$u\left( T_{o} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{1} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}}{n(n - 1)}}$$

Gdzie:

$\overset{\overline{}}{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}T_{i}}{n}$ ; n- ilość pomiarów

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{1,472 + 1,485 + 1,474 + 1,472 + 1,479 + 1,474 + 1,483 + 1,477 + 1,491 + 1,482}{10} = 1,479\lbrack s\rbrack$$

$$u\left( T_{o} \right) = \sqrt{\frac{\begin{matrix} \left( 1,472 - 1,479 \right)^{2} + \left( 1,485 - 1,479 \right)^{2} + \left( 1,474 - 1,479 \right)^{2} + \left( 1,472 - 1,479 \right)^{2} + \left( 1,479 - 1,479 \right)^{2} + \\ \left( 1,474 - 1,479 \right)^{2} + \left( 1,483 - 1,479 \right)^{2} + \left( 1,477 - 1,479 \right)^{2} + \left( 1,491 - 1,479 \right)^{2} + \left( 1,481 - 1,479 \right)^{2} \\ \end{matrix}}{10\left( 10 - 1 \right)} = 0,0020}$$

1. Długość l naszego wahadła mierzymy przyrządem milimetrowym, za pomocą którego uzyskujemy wartość l=554mm. Niepewność pomiaru długości wahadła przyjmujemy niepewność równą działce skali: u(l)=1mm

2. Obliczenie przyspieszenia ziemskiego g na podstawie uzyskanych wartości l i T:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}/{(\ )}^{2}$$

$$T^{2} = 4\pi^{2} \bullet \frac{l}{g}$$

$$g = \frac{4\pi^{2}l}{T^{2}}$$

l=554mm = 0,554m

π ≈ 3, 14

T_śr=1,4789

$$g = \frac{4 \bullet {(3,14)}^{2} \bullet 0,554}{{1,4789}^{2}} = 9,990 \approx 10\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

1. Obliczenie niepewności złożonej u_c(g) przy pomocy prawa przenoszenia niepewności:

$$u_{c}\left( g \right) = \sqrt{\sum_{k}^{}\left\lbrack \frac{\partial y}{\partial x_{k}} \bullet u(x_{k}) \right\rbrack^{2}}$$

$$u_{c}\left( g \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{4\pi^{2}}{T^{2}} \bullet u(l) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{8\pi^{2}l}{T^{3}} \bullet u(T) \right\rbrack^{2}}$$

$$u_{c}\left( g \right) = \sqrt{\left\lbrack \frac{4\pi^{2}}{{(1,4789)}^{2}} \bullet 0,0001 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack - \frac{8\pi^{2}(0,554)}{{1,4789}^{3}} \bullet 0,018 \right\rbrack^{2}}$$

u_c(g) = 0, 3569

1. Obliczanie niepewności rozszerzonej u(g)

u(g) = k • u_c(g); gdzie k=2

u(g) = 2 • 0, 3596 = 0, 72

1. Porównanie uzyskanej wartości przyspieszenia ziemskiego z wartością tabelaryczną:

$$g = 9,990\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

$$g = 9,811\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

u(g) = 0, 72

$$g = 9,990 - 9,811 = 0,179\left\lbrack \frac{m}{s^{2}} \right\rbrack$$

W związku z tym, że |g−g₀| < u(g) zatem można uznać, że nasze zmierzone przyspieszenie ziemskie g jest zgodne z wartością tabelaryczną.

Obliczona różnica |g−g₀| jest bardzo niewielka, co informuje nas o tym, iż błędu grubego nie popełniono.

1. Wnioski

Za pomocą pomiarów wykonanych na wahadle matematycznym udało się obliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego. Po porównaniu otrzymanego wyniku z wartością tablicową stwierdziłem, że nie został popełniony błąd gruby, zatem można uznać wynik za poprawny. Błędy pomiarowe wynikają z trudności w uchwyceniu momentu, kiedy wahadło kończy swoje drganie. Na niedokładność pomiarów wpływ mógł mieć również niedoskonały sprzęt oraz ustawienie statywu na nie poziomej powierzchni.