Joanna Przestrzelska Jacek Pelczarski Dariusz Rachowicz Monika Rak	Automatyka – laboratorium	Data: 05.11.2012r.
MT-D II	Temat: Charakterystyki częstotliwościowe	Ocena:

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z pojęciem charakterystyki częstotliwościowej, praktycznym sposobem jej rejestracji oraz wykorzystania do identyfikacji własności dynamicznych badanego elementu.

1. Podstawy teoretyczne

Charakterystyki częstotliwościowe zawierają pełną informację o dynamice układów regulacji, dlatego też zajmują bardzo ważne miejsce za równo w teorii jak i praktyce sterowania automatycznego. Są one określane w zasadzie dla układów liniowych, choć mogą być również z powodzeniem stosowane dla pewnych klas układów zlinearyzowanych.

Zasada wyznaczania charakterystyk częstotliwościowych oparta jest na następującym rozumowaniu:

Na wejściu badanego obiektu, układu lub elementu podawane jest wymuszenie harmoniczne o postaci

Jeżeli badany obiekt jest liniowy i nie działają na niego żadne dodatkowe wymuszenia i zakłócenia, wówczas na wejściu obiektu w stanie ustalonym pojawia się sygnał wyjściowy y(t) opisany zależnością

Układ pomiarowy wykorzystany przez nas jest przyrządem specjalizowanym. Składa się z generatora przebiegów harmonicznych z bardzo dokładnie nastawioną częstotliwością ω, oraz mierników wzmocnienia k(ω) i y(ω).

W ramach praktycznej realizacji ćwiczenia należało wykonać pomiary charakterystyki amplitudowo-fazowej zadanego czwórnika elektrycznego. Rolę specjalizowanego przyrządu spełniał analizator transmitancji typu 272A.Przyrząd ten zawiera w jednej obudowie trzy oddzielne układy funkcjonalne: operator fali sinusoidalnej trójkątnej lub kwadratowej oraz dwa miliwoltomierze fazowe, z których jeden mierzy składową rzeczywistą, a drugi składową urojoną badanego sygnału. Pomiary rozpoczynamy od najmniejszej częstotliwości, dla której jest jeszcze możliwy pomiar. Dla ustalonej częstotliwości ωi odczytujemy wartości, P(ωi), Q(ωi)

Teoretyczną podstawę charakterystyk częstotliwościowych stanowi transmitancja widmowa, którą definiujemy:

lub, co jest jednoznaczne

gdzie: -jest wartością zespoloną składowej ustalonej odpowiedzi układu wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym, a -wartością zespoloną tego wymuszenia. Podstawiając za i parę odpowiadających sobie funkcji harmonicznych zapisanych w postaci wykładniczej:

otrzymujemy

gdzie M(ω) = y₀(ω)/x₀(ω) jest modułem charakterystyki częstotliwościowej (stosunkiem amplitud odpowiedzi do wymuszenia).

Wykres G(jω) nazywa się charakterystyką amplitudowo-fazową lub zespoloną charakterystyką częstotliwościową, lub wykresem transmitancji widmowej. Wykres ten jest miejscem geometrycznym końców wektorów, których długość reprezentuje stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia, a kąt – przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem. Zamiast wykresu G(jω) można podać oddzielnie wykresy jego współrzędnych biegunowych M(ω) i (ω). Nazywają się one

M(ω) = amplitudowa charakterystyka częstotliwościowa (wykres modułu charakterystyki częstotliwościowej).

fazowa charakterystyka częstotliwościowa (wykres argumentu charakterystyki

Ponieważ G(jω) jest funkcją zespoloną, można rozłożyć ją na część rzeczywistą
i część urojoną (współrzędne prostokątne G(jω))

gdzie:

P(ω) = Re[G(jω)] – część rzeczywista G(jω),

Q(ω) = Im[G(jω)] – część urojona G(jω).

Pomiędzy charakterystykami rzeczywistą i urojoną, a charakterystykami amplitudową M(ω) i fazową (ω) istnieją następujące zależności:

Ostatecznie

Oraz

- logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

1. Część praktyczna

Wyniki pomiarów:

ω	P(ω)	Q(ω)
4	66,3	-4,8
6	66,1	-6,6
8	65,8	-7,7
10	65,4	-9,7
12	64,8	-11,03
14	64,3	-11,4
16	63,8	-13,3
18	63,4	-14,4
20	62,4	-15,7
22	61,7	-17,4
24	61,2	-19
26	60,1	-19,9
28	59,2	-21
30	58,2	-22
35	55,7	-24,6
40	53,3	-27
45	51	-29
50	48,2	-30
55	46	-30,1
60	43,4	-31,5
65	41,2	-33
70	38,7	-33
75	38	-34,4
80	35,8	-34,4
90	31,1	-33,9
100	27,9	-33
110	24,8	-32,4
120	22,5	-31,3
140	18,7	-30,5
160	16	-29
180	13,2	-27
200	11,5	-26
250	7,8	-22
300	6	-19,3
350	4,4	-17
400	3,4	-15,8
450	2,8	-14
500	2,2	-13
550	1,9	-12,3
600	1,7	-11,3
700	1,32	-10,5
800	0,8	-10
900	0,5	-9
1000	0,4	-8,8
1100	0,2	-7,3

$$\frac{P(\omega)}{66,6}$$	$$\frac{Q(\omega)}{66,6}$$	M(ω)	L(ω)	φ(ω)[rad]
0,995495	-0,07207	0,998101	-0,01651	-0,07227
0,992492	-0,0991	0,997428	-0,022372	-0,09952
0,987988	-0,11562	0,99473	-0,045898	-0,11649
0,981982	-0,14565	0,992724	-0,063428	-0,14724
0,972973	-0,16562	0,986968	-0,113943	-0,1686
0,965465	-0,17117	0,980522	-0,170854	-0,17547
0,957958	-0,1997	0,978552	-0,188325	-0,20552
0,951952	-0,21622	0,976198	-0,209244	-0,22334
0,936937	-0,23574	0,966138	-0,299219	-0,24649
0,926426	-0,26126	0,962561	-0,331436	-0,27487
0,918919	-0,28529	0,962185	-0,33483	-0,30102
0,902402	-0,2988	0,950584	-0,440186	-0,31975
0,888889	-0,31532	0,943158	-0,50831	-0,34088
0,873874	-0,33033	0,934224	-0,590984	-0,3614
0,836336	-0,36937	0,914271	-0,778497	-0,41589
0,8003	-0,40541	0,897125	-0,942936	-0,46889
0,765766	-0,43544	0,880909	-1,101376	-0,51703
0,723724	-0,45045	0,852456	-1,386558	-0,55673
0,690691	-0,45195	0,825418	-1,666526	-0,57943
0,651652	-0,47297	0,805204	-1,881883	-0,62784
0,618619	-0,4955	0,792594	-2,018988	-0,67533
0,581081	-0,4955	0,763656	-2,342041	-0,70607
0,570571	-0,51652	0,769636	-2,274289	-0,73572
0,537538	-0,51652	0,745477	-2,551315	-0,76546
0,466967	-0,50901	0,690759	-3,213466	-0,82845
0,418919	-0,4955	0,648852	-3,757088	-0,86895
0,372372	-0,48649	0,612642	-4,255864	-0,91749
0,337838	-0,46997	0,578797	-4,749472	-0,94753
0,280781	-0,45796	0,537181	-5,397588	-1,02079
0,24024	-0,43544	0,497312	-6,067418	-1,06663
0,198198	-0,40541	0,451261	-6,911453	-1,11608
0,172673	-0,39039	0,426873	-7,394027	-1,15436
0,117117	-0,33033	0,350478	-9,106795	-1,23008
0,09009	-0,28979	0,303471	-10,35767	-1,26939
0,066066	-0,25526	0,263666	-11,5789	-1,31753
0,051051	-0,23724	0,242668	-12,29975	-1,35884
0,042042	-0,21021	0,214373	-13,37659	-1,3734
0,033033	-0,1952	0,197971	-14,06799	-1,40315
0,028529	-0,18468	0,186875	-14,56897	-1,41754
0,025526	-0,16967	0,171579	-15,31072	-1,42147
0,01982	-0,15766	0,158899	-15,9776	-1,44574
0,012012	-0,15015	0,15063	-16,44178	-1,49097
0,007508	-0,13514	0,135344	-17,37125	-1,5153
0,006006	-0,13213	0,132269	-17,57087	-1,52537
0,003003	-0,10961	0,109651	-19,19977	-1,54341

Wykres na podstawie danych z tabeli:

Liczę k i T dla 3 dowolnie wybranych przez siebie ω.

T- okres

k- wzmocnienie, k=M(ω)_max=0,998101

$$T = \frac{2\pi}{\omega}\left\lbrack \lbrack s\rbrack \right\rbrack$$

k = M(ω)

ω	k	T
10	0,992724	0,1
30	0,934224	0,3333333(3)
100	0,648852	0,01

Jest to element iteracyjny I rzędu $G(s) = \frac{k}{Ts + 1}$

Stała czasowa wynikająca z konstrukcji przy podstawie R=3kΩ oraz C=1μF

$$X_{c} = \frac{1}{2\pi fC} = \frac{T}{2\pi C}\ \left\lbrack \lbrack\frac{s}{C}\rbrack \right\rbrack = \lbrack\Omega\rbrack$$

$$T = RC \Rightarrow \left\lbrack \Omega*\frac{s}{\Omega} \right\rbrack = \left\lbrack s \right\rbrack$$

A więc T=RC=3000*1*10^-6=0,003s

Zatem:

$$G = \frac{0,998101}{0,003s + 1}$$

1. Wnioski:

Stałe czasowe i wzmocnienia znacznie od siebie odbiegają. Przyczyną tego może być to, że wzmocnienie i stała czasowa to wartości dynamiczne czyli zależą od We i Wy. Stałe współczynniki wzmocnienia i stałej czasowej charakterystyczne dla układu powinny zostać niezmienne