Olsztyn, dnia 2 czerwca 2009r.

Instytut Geodezji

Obliczanie współrzędnych geodezyjnych, zbieżności południków, redukcji kierunku oraz zniekształcenia długości w danym punkcie dla odwzorowania Gaussa-Krügera
sprawozdanie nr 3

Szymon Sieg
grupa nr 6
numer 13

ZADANIE 1. Dane jest położenie punktu P₁ na elipsoidzie GRS 1980

B = 48 + 12 * Nr₁₃ = 50 36′

L = 2215′

Długość geodezyjna południka początkowego L₀ = 21

Wymiary elipsoidy:

a	b	f	e^2	e’^2
6378137 m	6356752,31414	$$\frac{1}{298,257222101}$$	0,0066943800229	0,00673949677548

1. Obliczyć współrzędne danego punktu P₁ w tym odwzorowaniu

l = L − L₀ = 1 15^′ = 0, 021816616^[radiany]

t = tg B = 1, 217419925^[radiany]  oraz   η = e^′cosB = 0, 052107845^[radiany]

S = 111132, 9525470 * B − 16038, 50874sin2B + 16, 83247sin4B − ∖n−0, 02198sin6B + 0, 0000sin8B = 5607587, 945

$$N = \frac{a}{\left( 1 - e^{2}\operatorname{}B_{0} \right)^{\frac{1}{2}}} = 6390923,102\text{\ m}$$

$$M = \frac{a(1 - e^{2})}{\left( 1 - e^{2}\operatorname{}B_{0} \right)^{\frac{3}{2}}} = 6373617,282\text{\ m}$$

$${\mathbf{X}_{\mathbf{1}}\mathbf{= S +}\frac{\mathbf{l}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{\text{NsinB}}\mathbf{\ }\mathbf{cosB +}\frac{\mathbf{l}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{24}}\mathbf{\text{NsinB}}\mathbf{\ }\mathbf{\cos}^{\mathbf{3}}\mathbf{B}\left( \mathbf{5 -}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 9}\mathbf{\eta}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ 4}\mathbf{\eta}^{\mathbf{4}} \right)\mathbf{+}\mathbf{\backslash n}}{\mathbf{+}\frac{\mathbf{l}^{\mathbf{6}}}{\mathbf{720}}\mathbf{\text{NsinB}}\mathbf{\ }\mathbf{\cos}^{\mathbf{5}}\mathbf{B(61 - 58}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{t}^{\mathbf{4}}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{5608333,9678\ m}}$$

$${\mathbf{Y}_{\mathbf{1}}\mathbf{= lNcosB}\mathbf{+}\frac{\mathbf{l}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{6}}\mathbf{N}\mathbf{\cos}^{\mathbf{3}}\mathbf{B}\left( \mathbf{1 -}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{\eta}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{+}\mathbf{\backslash n}}{\mathbf{+}\frac{\mathbf{l}^{\mathbf{5}}}{\mathbf{120}}\mathbf{N}\mathbf{\cos}^{\mathbf{5}}\mathbf{B(5 - 18}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{t}^{\mathbf{4}}\mathbf{+ 14}\mathbf{\eta}^{\mathbf{2}}\mathbf{- 58}\mathbf{\eta}^{\mathbf{2}}\mathbf{t}^{\mathbf{2}}\mathbf{)}\mathbf{= 7588498,0482\ m}}$$

1. Obliczyć zbieżność południków w punkcie P₁

$$\mathbf{\gamma = lsinB +}\frac{\mathbf{l}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{3}}\mathbf{\text{sinB\ }}\mathbf{\cos}^{\mathbf{2}}\mathbf{B}\left( \mathbf{1 + 3}\mathbf{\eta}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{+}\frac{\mathbf{l}^{\mathbf{5}}}{\mathbf{15}}\mathbf{\text{sinB\ }}\mathbf{\cos}^{\mathbf{4}}\mathbf{B}\left( \mathbf{2 -}\mathbf{t}^{\mathbf{2}} \right)\mathbf{=}$$

=0, 016859518^[radiany]=0 57^′57, 5252^″

1. Obliczyć redukcje kierunku z punktu P₁ na punkt P₂, gdzie X₂=X₁+25 000m, a Y₂=Y₁

X₂ = X₁ + 25 000m = 5633333, 9678 m

Y₂ = Y₁ = 7588498, 0482 m

$$R = \sqrt{\text{MN}} = 6382264,326\text{\ m}$$

$$\sigma_{12} = - \frac{1}{{6R}^{2}}\left( 2Y_{1} + Y_{2} \right)\left( X_{2} - X_{1} \right) = {- 2,71578*10^{- 5}}^{\lbrack radiany\rbrack} = - \ 0\ 0^{'}{5,6017}^{''}$$

$$A_{12} = \operatorname{arctg}\frac{Y_{2} - Y_{1}}{X_{2} - X_{1}} = 0\ 00^{'}00^{''}$$

T₁₂=A₁₂−γ−σ₁₂=−0, 0168323^[radiany]= − 0 57^′51, 9235^″

1. Obliczyć zniekształcenie długości w punkcie P₁

$$\mathbf{m =}\mathbf{1 +}\frac{\mathbf{Y}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{R}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{Y}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{24}\mathbf{R}^{\mathbf{4}}}\mathbf{=}\mathbf{1,000096136}$$

$$\mathbf{Z}_{\mathbf{m}}\mathbf{= 1 -}\left( \mathbf{1 +}\frac{\mathbf{Y}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}\mathbf{R}^{\mathbf{2}}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{Y}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{4}}}{\mathbf{24}\mathbf{R}^{\mathbf{4}}} \right)\mathbf{=}\mathbf{9,61364}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{-}\mathbf{5}}$$