Wykład ze statystyki

Do najbliższego kolokwium obowiązuje nas materiał do średniej harmonicznej włącznie !!!

Średnia geometryczna c.d

PRZYKŁAD

Dane:

Ludność miasta A w 3 kolejnych okresach X – 6tys. mieszkańców ,Y- 8 tys mieszkańców , Z- 10 tys. mieszkańców

Szukane:

Średni przyrost liczby ludności pomiędzy okresami

x₁= $\frac{8}{6}$ ≈ 1,33 – przyrost o ok. 33% x₂= $\frac{10}{8}$ = 1,25 – przyrost o 25%

x_g= $\sqrt{x1\ x2}$ = $\sqrt{1,33\ x\ 1,25}$ = $\sqrt{1,66}$ ≈ 1,29 – przyrost o około 29%

2) z powtórzeniami wartości cechy

x_g= $\sqrt[n]{x_{1}^{n1}}\text{\ x\ }x_{2}^{n2}\ldots\ldots..x_{k}^{\text{nk}}$

x_g– średnia geometryczna

k – liczba wszystkich wartości cechy bez powtórzeń

n_i - liczba powtórzeń wartości x_i – i= {1,2,3……k}

Interpretacja – jak w a), b)

Zakres stosowania:

• Badanie średniego tempa zmian zjawisk w czasie

1. Dominanta

Definicja i przykłady

- jest to najczęściej występująca wartość cechy

Dla szeregów 1. Wyliczających

PRZYKŁAD

100.100.100.300.500.800.800

D=100 (porównaj wartości zaludnienia przy średniej harmonicznej)

Dla szeregów 2. Rozdzielczych, punktowych

-to wartość cechy której odpowiada największa liczba jednostek odpowiadających danej wartości cech, najczęstsza wartość w_i lub (wp)_i

PRZYKŁAD

Rozwody w rejonie X w okresie Y w momencie wniesienia powództwa

TABLICA

Wiek kobiet wi	Liczba kobiet ni	Częstość względna wi lub (wp)i	%
19	259	6/1000	0,6
20	2121	49/1000	4,9
21	2322	54/1000	5,4
22	2536	59/1000	5,9
23	2975	69/1000	6,9
24	5214	121/1000	12,1
25	3251	75/1000	7,5
45	190	4/1000	0,4

D= 24

Zakres stosowania dla rozkładów

• Jednomodalnych (jeden ośrodek dominujący)

• O umiarkowanej asymetrii

1. Kwartyle

Definicja i przykłady

Kwartyl – wartość p cechy dzieląca badaną zbiorowość na 2 części pozostające w określonej proporcji ilościowej, przy czym pierwsza część składa się z tych wszystkich jednostek dla których wartość cechy jest ≤ p, zaś druga z pozostałych jednostek

1. Kwartale – podział zbiorowości na 4 części

Q₁ - kwartyl pierwszy (dolny) – podział w proporcji 1:3 czyli 25% : 75%

Q₂ - kwartyl drugi (wartość środkowa) – mediana M_e - podział w proporcji 1:1 czyli 50% : 50%

Q₃ – kwartyl trzeci (opisowy) – podział w proporcji 3:1 czyli 75% : 25%

1. Decyle – podział zbiorowości na 10 części

D₁, D₂……….D₉ - proporcja podziału 1:9

1. Centyle (percentyle) - podział zbiorowości na 100 części

C₁, C₂………C₉₉

UWAGA

Przed rozpoczęciem wyznaczania kwartyli na podstawie szeregu statystycznego należy uporządkować wartości uporządkowanej cechy od najniższej do najwyższej

Wyznaczanie kwartyli przykład (ograniczamy się do szeregów szczegółowych, bez powtórzeń wartości cechy)

• N – liczebność badanej populacji – liczba nieparzysta to : Q₂ = $x_{\frac{n + 1}{2}}$

- jeśli dodatkowo n+1 jest podzielne przez 4 to oznaczamy to 4/n+1

Q₁ liczymy jako :

Q₁= $x_{\frac{n + 1}{4}}$ , Q₃= $x_{\frac{3(n + 1)}{4}}$

PRZYKŁAD:

15,2,21,17,5,18,20

2,5,15,17,18,20,21 N=7

x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇

M_e = $x_{\frac{n + 1}{2}}$ = $x_{\frac{8}{2}}$ = x₄ = 17

Q₁= $x_{\frac{n + 1}{4}}$ =$x_{\frac{8}{4}}$ = x₂ = 5

Q₃= $x_{\frac{3(n + 1)}{4}}$ = $x_{\frac{3\ x\ 3}{4}}$ = x₆= 20

• N – liczba parzysta to:

M_e= $\frac{x_{\frac{n}{2} + \ x_{\frac{\text{n\ }}{\ 2\ } + 1}}}{2}$

- dodatkowo można to oznaczyć jako 4/n to:

Q₁= $x_{\frac{n}{4}}$ Q₃= $x_{\frac{3n}{4}}$

PRZYKŁAD

2,5,15,17,18,20,21,23 N=8

x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇,x₈

M_e = $\frac{x_{\frac{8}{2} + \ x_{\frac{8}{2} + 1}}}{2}$ = $\frac{x_{4 + \ x_{5}}}{2}$ = $\frac{17 + 18}{2}$ = 17,5

Q₁= $x_{\frac{8}{4}}$ = x₂ = 5

Q₃= $x_{\frac{3\ x\ 8}{4}}$ = x₆ = 20

Wtedy numery „i” wartości cechy jako kwartyle Q₁ , Q₃ nie są liczbami całkowitymi, gdzie :

Q₁ i = $\frac{n + 1}{4}$ i ≠ $\frac{n}{4}$

Dla N nieparzystych dla N parzystych

Q₃ i = $\frac{3(n + 1)}{4}$ i ≠$\ \frac{3n}{4}$

• Jeśli wartości x є (k_n ,  k_n + 1) gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą

Q₁ = $\frac{x_{k + \ x_{k + 1}}}{2}$

PRZYKŁAD:

2,5,15,17,18 N=5

x₁,x₂,x₃,x₄,x₅

$\frac{x + 1}{4}$ = $\frac{6}{4}$ = $\frac{3}{2}$ (1,2 – przedział) Q₁ = $\frac{x_{1 + \ x_{2}}}{2}$ = $\frac{7}{2}$ = 3,5

$\frac{3(n + 1)}{4}$ = $\frac{18}{4}$ = $\frac{9}{2}$ (4,5 – przedział) Q₃ = $\frac{x_{4 + \ x_{5}}}{2}$ = 17,5

PRZYKŁAD:

2,5,15,17,18,20,21,23,27,29 N=10

x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆,x₇,x₈,x₉,x₁₀

$\frac{n}{4}$ = $\frac{10}{4}$ = 2,5 ---- > Q₁ = $\frac{x_{2 + \ x_{5}}}{2}$ = $\frac{5 + 15}{2}$ = 10

$\frac{3\ x\ n}{4}$ = $\frac{30}{4}$ = 7,8 ---- > Q₃ = $\frac{x_{7 + \ x_{8}}}{2}$ = $\frac{21 + 23}{2}$ = 22

Interpretacja kwantyli

- patrz definicja

Zakres stosowania kwartyli

• Są przydatne szczególnie w przypadku szeregów dla których nie można policzyć średniej arytmetycznej ani dominanty

• Rzadsze podziały stosujemy dla zbiorów o większej liczbie jednostek (decyle , centyle)