Test sumy rang – Kruskalla Wallisa:
Założenia: wartości analizowanej cechy w kilku populacjach wyrażone są w skali co najmniej porządkowej

Dane: wyniki prób
liczebność prób
liczba populacji
poziom istotności alfa

Cel: na podstawie wyników k zweryfikować H0 względem H1

Hipotezy: H0: wyniki k próby nie różnią się istotnie (próby należą do jednej populacji)
H1: wyniki k prób różnią się istotnie (próby nie należą do jednej populacji)

Obliczenia (przykład dla k=3):
-wyniki pomiarów: x11 x12 … x1j … x1n1
x21 x22 … x2j … x2n2
x31 x32 … x3j … x3n3
-wyniki pomiarów do uporządkowania
x3n3, x12, x22, x11, ……………………………………………….
-Rangi 1,2,3,4,…………………………………………,n1+n2+n3
-Statystyka kW
kW = $\frac{12}{n(n + 1)}\sum_{i = 1}^{k}{\frac{Ri^{2}}{\text{ni}} - \ 3(n + 1)}$

Wnioskowanie:
przy założeniu prawdziwości H0 statystyka kW ma rozkład zależny jedynie od k oraz oraz liczebności ni (tablice wartości krytycznych).
Jeżeli kW>=kWα,_{k, n1-nk} to przyjmujemy H1
gdy kW<kWα,_{k, n1-nk} to nie mamy podstaw do odrzucenia H0

Przy założeniu prawdziwości H0 gdy k>3 i/lub choć jedna z liczebności ni>5 statystyka kW ma rozkład zbliżony do rozkładu hi^2 o df=k-1 stopniach swobody.
Decyzje o odrzuceniu bądź braku podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej podejmuje się na identycznych zasadach jak w przypadku każdego testu wykorzystującego statystyke hi^2.

Poprawka na rangi mieszane:
jeżeli w trakcie „rangowania” zachodzi konieczność obliczenia uśrednionych wartości rang (rangi wiązane) wzór do obliczenia wartości statystki kW przyjmuje postać:
kWp=kW/PkW
przy czym wartość PkW oblicza się ze wzoru:
PkW=1-$\frac{\sum_{j = 1}^{g}{(t^{3}j - tj)}}{n^{3} - n}$ (wartość poprawki w przedziale 0-1)
Jeżeli występują rangi wiązane to sprzyja to odrzuceniu hipotezy zerowej.
Jeżeli odrzucamy H0 na poziomie istotności alfa istnieje możliwość uzyskania odpowiedzi na pytanie która(e) próba(y) wykazuje(ą) odstępstwo od pozostałych (nie należy(ą) do tej samej populacji) ????

Odpowiedź na tak postawione pytanie uzyskuje się po zastosowaniu wielokrotnych porównań parami średnich rang w analizowanych próbach.

Jeżeli liczba prób wynosi k, to liczba wszystkich możliwych porównań to:
x=[k(k-1)]/2

Hipotezy:
H0: Mev=Mew (mediany w próbach v i w są jednakowe)
H1: Mev różne od Mew (: Mev<Mew lub : Mev>Mew)

Obliczenia: $\overset{\overline{}}{\mathbf{R}}\mathbf{= \ }\frac{\sum_{\mathbf{j = 1}}^{\mathbf{\text{ni}}}\mathbf{\text{Rij}}}{\mathbf{\text{ni}}}$
jeżeli: H1: : Mev różne od Mew
v=1,…,k
w=1,…,k u=$\frac{|\overset{\overline{}}{\text{Rv}} - \ \overset{\overline{}}{Rw|}}{\sqrt{\frac{n(n + 1)}{12}}\ \bullet (\frac{1}{\text{nv}} + \ \frac{1}{\text{nw}})}$
v różne od w

Mev<Mew u=$\frac{\overset{\overline{}}{\text{Rv}} - \ \overset{\overline{}}{\text{Rw}}}{\sqrt{\frac{n(n + 1)}{12}}\ \bullet (\frac{1}{\text{nv}} + \ \frac{1}{\text{nw}})}$

: Mev>Mew u=$\frac{\overset{\overline{}}{\text{Rv}} - \ \overset{\overline{}}{\text{Rw}}}{\sqrt{\frac{n(n + 1)}{12}}\ \bullet (\frac{1}{\text{nv}} + \ \frac{1}{\text{nw}})}$

Zmodyfikowany poziom istotności:
H1: : Mev różne od Mew alfa zm = alfa/2lp
H1: (: Mev<Mew lub : Mev>Mew) alfa zw= alfa / lp

Wnioskowanie:
jeżeli u>= u1-alfa zw lub p<=alfa zm to odrzucamy H0, w odwrotnej sytuacji nie mamy podstaw do jego odrzucenia.

Test rangowanych znaków Wilcoxona:

Założenia: -wartości analizowanej cechy wyrażone są w skali różnicowej/ilorazowej
-dwukrotny pomiar badanej cechy : przed i po
-zadziałanie czynnika zewnętrznego

Dane: -wyniki próby
-liczebność próby
-poziom istotności alfa

Cel: na podstawie wyników próby zweryfikować H0 względem H1

Hipotezy: H0: obydwie serie pomiarowe należą do jednej populacji (czynnik zewnętrzny nie wywołał istotnych zmian)
H1: między badanymi seriami wyników istnieje istotna różnica (istotny wpływ czynnika zewnętrznego)

Obliczenia: -różnice pomiarów (po – przed) z
-różnice z1 z2 0 … zi … Zn-2 … 0 zn
-różnice bezwzględne
PRZYPORZĄDKOWANIE RÓŻNIC BEZWZGLĘDNYCH W CIĄGU
NIEMALEJĄCYM
-Różnice 0 , Zn-2 ……………………
-Różnice bezwzględne
-Rangi
-Rangi (-)
-Rangi (+)

Wnioskowanie: Statystyka R(-) lub R(+) ma przy założeniu prawdziwości H0 rozkład zależny jedynie od liczebności próby n (tablice).
Z tablicy tego rozkładu….
Jeżeli p<=alfa to odrzucamy H0
gdy p>alfa nie mamy podstaw do odrzucenia H0
Jeżeli liczebność próby n (liczebność różnic różnych od zera) przekracza liczbę 15 to statystyka R ma asymptotyczny rozkład normalny N(m,σ) przy czym:
m=$\frac{n(n + 1)}{4}$ ; $\sigma = \sqrt{\frac{n\left( n + 1 \right)(2n + 1)}{24}}$

Weryfikacja hipotezy zerowej wymaga standaryzacji wartości statystycznych R wg wzoru:
u=(R-m)/sigma
Statystyka u ma rozkład normalny standaryzowany N(0,1).
Korekta na rangi wiązane:
sigma = $\sqrt{\frac{n\left( n + 1 \right)(2n + 1)}{24} - \ \frac{1}{48}\ \sum_{j = 1}^{g}{(t^{3}j + \ \ tj)}}$

Test Friedmana:

Założenia: -wartości analizowanej cechy wyrażone są co najmniej w skali porządkowej
-wartości badanej cechy (w próbie) wyznacza się k razy (k>2)

Dane: -wyniki próby
-liczebność próby
-poziom istotności alfa

Cel: weryfikacja H0 względem H1 na podstawie wyników pomiarów

Hipotezy: H0: k powtórzeń pomiarów (porównywalnych serii pomiarowych)pochodzi z jednej populacji (z populacji o tych samych medianach)
H1:porównywane serie pomiarów nie pochodzą z jednej populacji

Obliczenia (przykład dla n=3, k=3):
Zestawienie wyników:

Nr elementu	Nr serii pomiarowej
	1
1	12
2	9
3	11

Zestawienie rang:

Nr elementu	Nr serii pomiarowej
	1
1	4
2	3
3	4

Rij	11	5	4	10

Fr = [$\frac{12}{\text{nk}(k + 1)}\ \sum_{j = 1}^{k}{Rj^{2}\rbrack - 3n(k + 1)}$

Wnioskowanie: przy założeniu prawdziwości H0 statystyka Fr ma rozkład ściśle określony.
Gdy: k=3i 3<=n<=13 lub k=4 i 2<=n<=8 lub k=5 i 3<=n<=5 wnioskowanie przeprowadza się z wykorzystaniem tablic wartości krytycznych statystyki Fr.
W przypadku przeciwnym statystyka Fr ma rozkład ² o df=k-1 stopniach swobody.

Odczyt wartości krytycznych:
Gdy Fr>=Fr_{(alfa, n, k)} odrzucamy H0 i przyjmujemy H1
Gdy Fr<Fr_{(alfa, n, k)} brak podstaw do odrzucenia H0

Poprawka na rangi wiązane:

Fr = $\frac{12\sum_{j = 1}^{k}{Rj^{2} - \ 3n^{2}k(k + 1)^{2}}}{\text{nk}\left( k + 1 \right) + \ \frac{nk - \ \sum_{j = 1}^{g_{i}}{\text{ti}j^{3}}}{(k - 1)}}$