POLITECHNIKA OPOLSKA

METODY KOMPUTEROWE BADAŃ URZĄDZEŃ - LABORATORIUM

TEMAT: Aproksymacja sygnału

PROWADZĄCY: dr. inż. Andrzej Włóczyk

Adam Czech

W1L1P1

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynników trygonometrycznych Fourier’a a_k i b_k tak by możliwe stało się wyznaczenie poszczególnych harmonicznych dla k=1, k=2, k=3.

Ćwiczenie zostało wykonane w programie kalkulacyjnym Excel.

1. Teoria

• Teoria Aproksymacja (łać. approximare – przybliżać) – proces określania przybliżonych rozwiązań na podstawie rozwiązań znanych, a które są bliskie rozwiązaniom dokładnym. Często stosowana w przypadku szukania rozwiązań dla danych uzyskanych metodami empirycznymi, które mogą być obarczone błędami. Zazwyczaj aproksymuje się funkcje skomplikowane na funkcje prostsze.

• Transformata Foureria - rozkłada funkcję okresową na szereg funkcji okresowych tak, że uzyskana transformata podaje w jaki sposób poszczególne częstotliwości składają się na pierwotną funkcję.

• Ocena odkształcenia prądów i napięć - reprezentacje Fourier'a przebiegów okresowych.

Powszechną metodą reprezentacji przebiegów okresowych w elektrotechnice jest ich przedstawienie za pomocą trygonometrycznego lub wykładniczego szeregu Fourier'a. Powodem częstego wykorzystywania tego właśnie szeregu jest fakt, że te funkcje w sposób naturalny opisują oscylacje w obwodach elektrycznych LC, jak również właściwość domknięcia operacji mnożenia jego funkcji bazowych {sin(kϑ), - cos(kϑ)} lub {exp(j kϑ)}. Posługując się trygonometryczną postacią szeregu Fouriera, reprezentację przebiegu okresowego:

f(ϑ)=f(ϑ+2ϑ)

gdzie:

ϑ= ωst;

ωs=2ω/Ts;

Ts - okres, można określić wzorami:

1. 

2. 

gdzie:

A_k, ϕk, ak, bk, - współczynniki rzeczywiste, wyznaczane według zależności:

Pierwsze wyrazy $\ \frac{\mathbf{a}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{2}}$ i A0 są to składowe stałe, następne to kolejno:

• pierwsza harmoniczna (harmoniczna o częstotliwości podstawowej),

• druga harmoniczna, trzecia, itd.

• Współczynniki Ak i ϕk są to wartości amplitudy i fazy k-tej harmonicznej,

• ak oraz bk to amplitudy składowej cosinusoidalnej i sinusoidalnej.

Zbiory {Ak} i {ϕk}, oraz {ak} i {bk}, gdzie k=1,2,3,..., interpretuje się jako widma dyskretne przebiegu f(ϑ) bez składowej stałej, odpowiednio: amplitudowe i fazowe, oraz amplitudowe dla składowych cosinusoidalnych i sinusoidalnych. W przypadku, gdy występuje więcej niż jedno źródło prądu lub napięcia odkształconego, do analizy ich sumarycznego oddziaływania, oprócz amplitud Ak, należy również uwzględnić przesunięcia fazowe fik. W tym przypadku, wygodna w użyciu jest wykładnicza postać szeregu Fourier'a.

1. Dane

Otrzymane dane to 20 próbek przebiegu. Zostały one wykorzystane do wyznaczenia współczynników trygonometrycznych Fourier’a. Dane zostały przedstawione w tabeli poniżej (Tabela 1).

n	x[n]
0	29,72825
1	12,20399
2	-2,5601
3	-9,36836
4	-9,31524
5	-7,83805
6	-9,78751
7	-15,5929
8	-21,4686
9	-23,1468
10	-19,7282
11	-14,2946
12	-10,8225
13	-10,1946
14	-8,95566
15	-2,16195
16	11,87808
17	28,97549
18	41,03152
19	41,41775

1. Obliczanie współczynnika a_k i b_k

Pierwszym krokiem jest podstawienie naszych danych wejściowych do odpowiedniego wzoru:

a_k $\sum_{}^{}{\cos\frac{k*n\ }{20}}*2\pi$

Formuła użyta do obliczeń w programie excel:

=COS((1*A2/20)*2*PI())

Otrzymane wyniki:

k=1	k=2	k=3
1	1	1
0,951056516	0,809016994	0,587785252
0,809016994	0,309016994	-0,309016994
0,587785252	-0,309016994	-0,951056516
0,309016994	-0,809016994	-0,809016994
6,12574E-17	-1	-1,83772E-16
-0,309016994	-0,809016994	0,809016994
-0,587785252	-0,309016994	0,951056516
-0,809016994	0,309016994	0,309016994
-0,951056516	0,809016994	-0,587785252
-1	1	-1
-0,951056516	0,809016994	-0,587785252
-0,809016994	0,309016994	0,309016994
-0,587785252	-0,309016994	0,951056516
-0,309016994	-0,809016994	0,809016994
-1,83772E-16	-1	5,51317E-16
0,309016994	-0,809016994	-0,809016994
0,587785252	-0,309016994	-0,951056516
0,809016994	0,309016994	-0,309016994
0,951056516	0,809016994	0,587785252

Następnym etapem ćwiczenia jest pomnożenie wyników przez x[n]

Otrzymane wyniki:

k=1	k=2	k=3
29,72825	29,72824704	29,72824704
11,60669	9,873239176	7,173328151
-2,07117	-0,791114974	0,791114974
-5,50659	2,894983501	8,909843061
-2,87857	7,53619116	7,53619116
-4,8E-16	7,838049933	1,44042E-15
3,024506	7,918259234	-7,918259234
9,165262	4,818463137	-14,82970467
17,36844	-6,634152394	-6,634152394
22,01396	-18,72618905	13,60537274
19,72825	-19,72824704	19,72824704
13,59494	-11,56454524	8,402133931
8,755595	-3,344339601	-3,344339601
5,992229	3,150301131	-9,695629928
2,767453	7,245284848	-7,245284848
3,97E-16	2,161950067	-1,19192E-15
3,670527	-9,609565296	-9,609565296
17,03136	-8,953917715	-27,55732514
33,1952	12,67943703	-12,67943703
39,39062	33,50766506	24,34474368

Później następuje zsumowanie wyników dla każdego k oraz pomnożenie tej sumy przez wartość 0,1.

Otrzymane wartości po wymnożeniu:

a1	a2	a3
22,65769	5	2,070552362

Te same czynności wykonujemy by obliczyć współczynnik b_k, jednakże stosujemy następujący wzór:

b_k $\sum_{}^{}{\sin\frac{\mathbf{k*n\ }}{\mathbf{20}}}\mathbf{*2}\mathbf{\pi}$

Formuła użyta do obliczeń w programie excel:

=COS((1*A2/20)*2*PI())

Otrzymane wyniki:

k=1	k=2	k=3
0	0	0
0,309017	0,587785	0,809017
0,587785	0,951057	0,951057
0,809017	0,951057	0,309017
0,951057	0,587785	-0,58779
1	1,23E-16	-1
0,951057	-0,58779	-0,58779
0,809017	-0,95106	0,309017
0,587785	-0,95106	0,951057
0,309017	-0,58779	0,809017
1,23E-16	-2,5E-16	3,68E-16
-0,30902	0,587785	-0,80902
-0,58779	0,951057	-0,95106
-0,80902	0,951057	-0,30902
-0,95106	0,587785	0,587785
-1	3,68E-16	1
-0,95106	-0,58779	0,587785
-0,80902	-0,95106	-0,30902
-0,58779	-0,95106	-0,95106
-0,30902	-0,58779	-0,80902

Tak jak wcześniej następuje zsumowanie wyników dla każdego k oraz pomnożenie tej sumy przez wartość 0,1.

Otrzymane wartości po wymnożeniu:

b1	b2	b3
-10,5655	-8,66025	-7,72741

Po podstawieniu do wzoru:

y = $\sqrt{{\mathbf{(}\mathbf{a}_{\mathbf{k}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+ \ }{\mathbf{(}\mathbf{b}_{\mathbf{k}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}}$

otrzymujemy wynik:

y1	y2	y3
25	10	8

1. Wnioski

Za pomocą odpowiednich wzorów dokonaliśmy obliczeń wartości harmonicznych 1, 2 i 3. Wynoszą one 25, 10 i 8, co pokazuje że nie potrzebny nam drogi sprzęt, a wyłącznie odpowiednie wiedza matematyczna. Jako, że harmoniczne napięć i prądów to jeden z najstarszych zaburzeń w systemach elektroenergetycznych, a w ciągu lat ich wartość wzrastała z powodu rosnących liczb odbiorników nieliniowych. Skutkiem tego wzrostu było wymuszenie na producentach wprowadzenia do swych urządzeń odpowiednich norm. Producenci oferują również urządzenia o sinusoidalnych prądach wejściowych. Jednakże problem, choć zjawisko samo w sobie maleje, nie jest jeszcze do końca rozwiązany. Dlatego właśnie wykonane ćwiczenie jest dosyć istotne.