Temat: Liczba naturalna (kształtowanie pojęcia liczby, rozwój umiejętności liczenia, dziecięce liczenie, aspekty liczby naturalnej, zapis liczby naturalnej, system pozycyjny)
Kształtowanie pojęcia nowej liczby nazywane jest monografią liczby, czyli omówieniem liczby w sposób wyczerpujący. Przy monografii liczby powinny wystąpić następujące zagadnienia:
powstanie danej liczby przez powiększenie poznanej wcześniej liczby o 1 (doliczanie, odliczanie)
wyodrębnienie zbiorów o określonej liczbie elementów, dostrzeganie liczby jako wspólnej cechy zbiorów równolicznych określających moc zbioru (ASPEKT KARDYNALNY)
określanie ile razy w poznawanej wielkości mieści się wielkość jednostkowa (ASPEKT MIAROWY – przy pomocy kolorowych liczb)
określanie miejsca liczby w ciągu liczbowym, jej związku z liczbami sąsiednimi i poznania własności porządku w zbiorze liczb naturalnych (ASPEKT PORZĄDKOWY)
pisanie cyfry, jako znaku graficznego danej liczby (ASPEKT SYMBOLICZNY)
rozkład liczby najpierw na 2, później na większą liczbę składników (ASPEKT ALGEBRAICZNY)
zastosowanie danej liczby w praktyce, życiu (rozwiązywanie zadań tekstowych).
Aspekty liczby naturalnej
Kardynalny - określa, ile elementów ma dany zbiór. W tym ujęciu liczba jest wspólną własnością równolicznych zbiorów. Aspekt ten jest najłatwiejszy dla dziecka
i najwcześniej pojawia się w jego rozwoju. Odpowiada na pytanie: ile?
Porządkowy - oznacza miejsce danego elementu w uporządkowanym zbiorze przedmiotów. Wiąże się z nim wszelkie liczenie, ustawianie po kolei, umieszczanie. Liczba porządkowa mówi, o który element z kolei chodzi, który element z danego zbioru właśnie rozpatrujemy. Odpowiada na pytanie: który z kolei? Na jej określenie używamy liczebników porządkowych, np. Pomaluj pierwszy koralik na różowo, a czwarty na niebiesko.
Miarowy - jest najtrudniejszym aspektem dla dziecka. Jego trudność wiąże się
z tym, że pomiar jest zawsze przybliżony, a wynik pomiaru może nie być liczbą całkowitą, co zależy od tego, jaką jednostkę wybierzemy. Według Piageta aspekt miarowy kształtuje się
u dziecka około 6 miesięcy później niż aspekt kardynalny i porządkowy. W nim „suma liczb jest miarą wielkości powstałej przez dodanie dwóch wielkości o odpowiednio dobranych miarach”. Określa on, ile razy w danej wielkości mieści się wielkość jednostkowa. Do prawidłowego zrozumienia aspektu mierzalnego można w klasie I używać przy mierzeniu takich zwrotów jak „prawie cztery”, „cztery i jeszcze trochę”, „około czterech”. Mierząc różne przedmioty, uczniowie powinni czasem powtarzać pomiar ze zmianą jednostki, by mogli uprzytomnić sobie zależność wyniku od jej wyboru.
Algebraiczny - wiąże się nierozerwalnie z wyżej wymienionymi trzema aspektami, jest więc związany z działaniami na liczbach. Polega on na rozkładzie liczby na dwa lub więcej składników. Ma ogromne znaczenie przy poznawaniu struktury zbioru liczb naturalnych, przygotowuje uczniów do opanowania działań dodawania i odejmowania.
Kodowy - o nim mówi się, gdy wprowadzony zostaje zapis liczbowy w systemie pozycyjnym. „Kodem nazywamy każdą regułę umożliwiającą rejestrowanie lub przekazywanie informacji za pomocą znaków lub sygnałów. Zależnie od sposobu numerowania przedmiotów, czyli przyporządkowywanie im numerów, liczby użyte mogą mieć aspekt porządkowy, aspekt kodowy lub oba te aspekty równocześnie”. Użycie liczby w aspekcie kodowym znalazło zastosowanie np. w numerach telefonów, numerach autobusów. Przykładem występowania kodów są tablice rejestracyjne, w których występują litery, oznaczające miasto oraz cyfry.
Językowo-symboliczny - umiejętność zapisu liczby symbolem, słowne. Dziecko rozpoznaje i potrafi przeczytać liczbę, np. zadanie z treścią. W aspekcie językowo-symbolicznym uczniowie zapisują cyfrę po śladzie, przez łączenie elementów, przez dokańczanie zaczętej cyfry ( dla ułatwienia można zaznaczyć kierunek pisania ). Dzieci wykonują te ćwiczenia grafomotoryczne najpierw w większym formacie, z czasem przechodząc do ćwiczeń
i zeszytów.
Zapis liczby naturalnej
W przedszkolu dzieci uczą się rozpoznawania cyfr i przygotowują się do pisania, a bardzo często rozpoczynają naukę pisania cyfr, ponieważ dziecko na tym etapie kształcenia chce zdobywać nowe umiejętności, zwłaszcza pisania. Nie należy tego dziecku zabraniać, trzeba jednak je odpowiednio przygotować. Aby dziecko poprawnie i ładnie pisało, musi mieć opanowane umiejętności ruchowe, m.in. sprawne odtwarzanie kształtów. Ćwiczeniem przygotowawczym do pisania cyfr i liter jest rysowanie szlaczków, czyli powtarzanie różnych kształtów. Uzupełnieniem ćwiczeń mogą być tzw. kolorowanki. Dziecko rozwija umiejętność odwzorowywania kolorów i sprawność ręki. Należy pamiętać jednak, że są to ćwiczenia nużące i dziecko nie powinno przeznaczać na nie zbyt wiele czasu, bowiem spowoduje to zniechęcenie, a w konsekwencji niestaranne wykonanie. Lepiej mniej ćwiczeń, a staranniej wykonanych.
Należy uczyć pisania każdej cyfry oddzielnie, w kolejności ich wprowadzania, czyli od 1 do 9 oraz 0. Naukę pisania cyfr można przeprowadzić w etapach:
Pokazanie kształtu cyfry na tablicy.
Nauczyciel pokazuje prowadząc palcem po zapisanej cyfrze w jakiej kolejności należy pisać cyfrę.
Dzieci powtarzają za nauczycielem rysunek cyfry w powietrzu
Rysują cyfrę palcem na ławce.
Nauczyciel zapisuje wzór cyfry uczniom w zeszytach zwracając uwagę na kolejność prowadzenia pióra lub ołówka.
Uczniowie odwzorowują kształt pod okiem nauczyciela, a potem samodzielnie.
Na lekcjach matematyki dzieci powinny poznać różnicę między liczbą a cyfrą, która jest znakiem graficznym liczby.
Rozwój umiejętności liczenia, dziecięce liczenie.
Dziecięce liczenie jest jednym ze wskaźników dojrzałości do uczenia się matematyki. Podstawą dziecięcego liczenia są pewne intuicje matematyczne dostępne dzieciom bardzo wcześnie, już na początku okresu wyobrażeń przedoperacyjnych.
Umiejętności liczenia kształtuje się kilka lat i możemy tu wyróżnić co najmniej dwie fazy, nim stanie się integralną częścią nauczania matematyki.
Wcześnie rozwijającą się u dzieci zdolność do nadawania znaczenia prostym sytuacjom i rozumienia intencji dorosłych. Zdolność ta przejawia się w otoczeniu. W zakresie tej zdolności istnieją spore różnice indywidualne, dlatego jedne dzieci potrafią sobie wcześniej przyswoić prawidłowości będące podstawą liczenia i szybciej opanowują schemat czynności liczenia, inne nieco później.
Wpływ dorosłych, którzy przybliżają dzieciom proste intuicje matematyczne, ucząc je sposobów ustalania, gdzie jest więcej, a gdzie mniej, a także wyznaczania wyniku dodawania i odejmowania.
Dziecięce liczenie wywodzi się z rytmu i gestu wskazywania, co daje początek intensywnych ćwiczeń, których celem jest ukształtowanie w umyśle dziecka następujących umiejętności:
liczenie obiektów i odróżnianie prawidłowego liczenia od błędnego;
dodawanie i odejmowanie, najpierw na konkretach, potem na palcach i wreszcie
w pamięci;
ustalenie gdzie jest więcej, a gdzie mniej przedmiotów.
Gdy dziecko potrafi dostrzec błędy w liczeniu to jednocześnie pojmuje jakie prawidłowości nim rządzą:
podczas liczenia trzeba wskazywać gestem kolejne obiekty i wypowiadać stosowny liczebnik (zasada „jeden do jednego”).
Licząc nie wolno pominąć żadnego obiektu, ani żadnego nie wolno liczyć kilkakrotnie.
Liczebniki należy wymieniać w stałej kolejności.
Ostatni liczebnik określa też liczbę wszystkich liczonych elementów.
Wynik liczenia nie zależy od tego z której strony zaczniemy liczyć.
Ważne jest, aby dziecko wiedziało, że ostatni wypowiadany liczebnik ma podwójne znaczenie:
Oznacza ostatni liczony przedmiot
Określa liczbę policzonych przedmiotów
Dziecko może liczyć wszystko dookoła: klocki na podłodze, książki na półce, jabłka na talerzu, drzewa przy drodze, ptaki w powietrzu… Można policzyć wszystko co się znajduje w domu, np: garnki, krzesła, ręczniki…. Warto też ćwiczyć z dzieckiem zrozumienie specjalnej roli ostatniego liczebnika. Np: liczenie "znikających" obiektów; przelatujących ptaków, przejeżdżających samochodów, wagonów przejeżdżającego pociągu, usłyszanych dźwięków, wkładanych do szuflady sztućców.
Liczone obiekty znikają z pola widzenia dziecka, ale w pamięci pozostaje ostatni wypowiadany liczebnik, który określa ile jest policzonych obiektów. Trzeba pomagać dziecku zrozumieć, że niezależnie z której strony i w jakim położeniu będziemy liczyć liczba liczonych obiektów się nie zmieni. Np. liczymy latarnie, drzewa, domy w drodze do przedszkola i w drodze powrotnej. Liczymy książki na półce ."Jest ich 6. Ciekawe czy jak je przestawimy też będzie 6? A może nie?"
Nie trzeba się spodziewać, że dziecko opanuje umiejętność liczenia przedmiotów w krótkim czasie. Trening liczenia będzie skuteczny jeśli będzie się liczyło każdego dnia, przy każdej okazji. Jednak dopiero w szóstym i siódmym roku życia większość dzieci sprawnie posługuje się umiejętnością liczenia. To od dorosłych zależy, ile dziecko umie. Nie należy ograniczać ilości liczonych obiektów ze względu na wiek dziecka, z obawy że sobie nie poradzi. Trudno jest się nauczyć liczenia mając do czynienia ze zbyt małą ilością obiektów. Dlatego należy wprawdzie dostosowywać zadania do rzeczywistych możliwości umysłowych dziecka, ale w miarę ich rozwoju poszerzać zakres liczenia. Jeżeli dziecko słabo liczy, świadczy to, że jest na niższym poziomie kompetencji niż wynika to z wieku. Nie trzeba się złościć, ale zwyczajnie zorganizować więcej okazji do liczenia (nawet kilka razy dziennie),chwalić za to, że dziecko liczy i podpowiadać „zapomniane” liczebniki. W kompetencjach składających się na dziecięce liczenie mieści się umiejętność porównywania liczebności dwóch i więcej zbiorów.
Można to robić na dwa sposoby:
Bazuje na umiejętności liczenia i polega na tym, że dziecko musi policzyć obiekty jednego zbioru i zapamiętać liczebnik. Potem policzyć obiekty drugiego zbioru, zapamiętać i porównać oba liczebniki.
Wymaga już operacyjnego rozumowania na poziomie konkretnym. Dziecko musi ustawić w pary obiekty porównywanych zbiorów (przyporządkować jeden do jednego)
i na tej podstawie stwierdzić czy zbiory są równoliczne, czy też nie. Np: guziki i dziurki, buty i nogi, podstawki i filiżanki, talerze i łyżki.
W kształtowaniu umiejętności porównywania liczebności zbiorów trzeba te dwie grupy doświadczeń połączyć w umysłach dzieci. Później w szkole, muszą je bowiem stosować równolegle.
W pojęciu dziecięce liczenie zawiera się też umiejętność ustalania wyniku dodawania
i odejmowania. Najpierw dziecko uczy się liczyć aby ustalić ile jest, a potem uczy się dodawać i odejmować.
Osiągnięcie wyższego poziomu umiejętności liczenia będzie dla dziecka łatwiejsze, jeżeli dorosły pokaże jak się liczy na palcach. To liczenie jest niezwykle ważne na drodze dziecka od liczenia na konkretnych obiektach do liczenia w pamięci. Jest w liczeniu początkiem przejścia ze świata konkretów na poziom świata umownego (symbolicznego). Trzeba pokazać dziecku, że liczone przedmioty można zastępować palcami.
Przejście na poziom liczenia na palcach to główny cel w kształtowaniu umiejętności dodawania i odejmowania w czwartym i piątym roku życia dziecka.
Następny próg, który musi pokonać dziecko to umiejętność doliczania i odliczania.
Zamiast liczyć wszystkie przedmioty (palce) dziecko może ująć liczebność globalnie i do niej doliczyć lub od niej odliczyć wskazaną ilość. Np: dziecko rzuca dwiema kostkami; globalnie ujmuje punkty na jednej kostce i do nich dolicza punkty z drugiej kostki.
Dziecko ma pięć guzików, partner zabiera, gdy dziecko zamknie oczy, dwa guziki. Na podstawie pozostałej ilości dziecko powinno zgadnąć ile guzików zabrano. Końcową oczekiwaną umiejętnością dziecka jest liczenie w pamięci . Dziecko nie musi już liczyć przedmiotów ani zbiorów zastępczych, nie potrzebuje doliczać lub odliczać aby ustalić wynik dodawania lub odejmowania. Przechodząc przez wszystkie opisane wyżej etapy, zanim dojdzie do liczenia w pamięci dziecko musi wykonać setki obliczeń.
System liczbowy (pozycyjny, addytywny)
Liczby a cyfry
Nieraz słyszymy, że ludzie używają słowa „cyfra” tam, gdzie powinno się mówić „liczba”, np. „te wielkie cyfry mówią same za siebie”.
Liczba jest pojęciem abstrakcyjnym określającym pewną ilość lub wielkość. Liczb jest nieskończenie wiele.
Cyfry są znakami graficznymi służącymi do zapisywania liczb. Cyfr – w powszechnie stosowanym systemie dziesiątkowym – jest tylko dziesięć: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Liczby mogą być np. trzycyfrowe (324).
Pewne cyfry mogą pojawić się kilkakrotnie w zapisie liczby, np. cyfra 5 występuje dwukrotnie w zapisie liczby 525.
Zmiana kolejności cyfr zmienia liczbę, np. 209 jest różne od 902.
Istnieją liczby jednocyfrowe, w których ciężko rozdzielić pojęcia „liczba” i „cyfra”. Gdy na tablicy jest 5, można powiedzieć „liczba 5” jak i „cyfra 5”, zależnie od kontekstu.
System liczbowy - sposób zapisywania liczb oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie działań na tych liczbach.
Systemy pozycyjne
cyfry są kolejno umieszczane w ściśle określonych pozycjach i są mnożone przez odpowiednią potęgę
wyróżnia się m.in. system pozycyjny:
jedynkowy: w systemie tym kolejne liczby są tworzone przez proste powtarzanie znaku 1 lub pionowej kreski, np. 3 w tym systemie jest równe 111, a pięć 11111. Systemem takim posługują się np. Pigmeje
dwójkowy: z racji reprezentacji liczb w pamięci komputerów za pomocą bitów jest najbardziej naturalnym systemem w informatyce. Do zapisu liczb potrzebne są tylko dwie cyfry: 0, 1, np. 1101(2)= 13(10)
1101(2)= 1 • 23 + 1 • 22 + 0 • 21 + 1 • 20 = 8 + 4 + 1 = 13(10)
dziesiętny, zwany arabskim: podstawą pozycji są kolejne wielokrotności liczby 10; do zapisu liczb potrzebne jest w nim 10 cyfr. Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie na świecie podstawowym systemem stosowanym niemal we wszystkich krajach. Oryginalnie pochodzi z Indii, z których przedostał się do Europy za pośrednictwem Arabów. Od XVI wieku stosowano go obok systemu rzymskiego, w nauce, księgowości oraz tworzącej się właśnie bankowości, gdyż system ten znacznie upraszcza operacje arytmetyczne. W oficjalnych dokumentach jednak nadal zamieniano liczby w zapisie arabskim na system rzymski. W końcu, dzięki praktycznym zaletom system rzymski został prawie zupełnie wyparty na korzyść arabskiego.
Na przykład liczbę 12345 można przedstawić następująco:
1 • 104 + 2 • 103 + 3 • 102 + 4 • 10 + 5
sześćdziesiątkowy system liczbowy: stosowany w Mezopotamii, w którym podstawowymi wielokrotnościami są 10 i 60. Jest on najstarszym znanym systemem. W życiu codziennym spotykamy ślady babilońskiego systemu w podziale godziny na 60 minut, a minuty na 60 sekund, oraz przy podawaniu miar kątowych, a zwłaszcza szerokości i długości geograficznej.
Systemy addytywne
liczby tworzy się przez dodawanie kolejnych symboli i stąd ich nazwa
systemem addytywnym dziesiątkowym był system egipski. Opierał się na liczbie 10. Do oznaczania kolejnych potęg liczby 10 istniały specjalne znaki - hieroglify.
Znak dla jedynki przedstawiał tyczkę do mierzenia, zapisywano zaś go jako pionową kreskę. Kreskami takimi oznaczano liczby od 1 do 9. Znak dla 10 przypominał podkowę. Znak dla 100 przedstawiał zwinięty liść palmy, zwiniętą linię do mierzenia albo - jak niektórzy twierdzą - laskę kapłańską. Znak dla 1000 przedstawiał kwiat lotosu, symbol Nilu. Znakiem 10 000 jest wskazujący palec, a 100 000 - żaba. Liczba stu tysięcy w ich pojęciu była czymś tak wielkim, jak ilość żab w błotach Nilu po jego wylewach. Znak dla miliona przedstawia postać z podniesionymi rękoma. Jest to najprawdopodobniej obraz boga podtrzymującego sklepienie niebieskie jako symbol "wszystkiego".
Liczby zapisywano w Egipcie tak jak u nas, od lewej do prawej, umieszczając obok siebie jednostki danego rzędu, aż do jego wyczerpania. Dodawanie liczebników hieroglifowych jest dość proste. Zliczamy poszczególne symbole, gdy zliczymy pełną dziesiątkę jednakowych symboli, to zastępujemy ją hieroglifem wyższego liczebnika.
Innym przykładem addytywnego systemu jest dobrze znany i wciąż stosowany rzymski system zapisywania liczb. Pierwotny rzymski system zapisywania liczb był prosty, ale dość niewygodny. Rzymianie zapisywali bowiem liczby za pomocą tylko pionowych kresek. Wprowadzono więc dla oznaczenia ważnych liczb znaki. W systemie rzymskim posługujemy się znakami: I, V, X, L, C, D, M, gdzie:
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.
Podczas zapisywania liczb w systemie rzymskim należy dążyć zawsze do tego, aby używać jak najmniejszej liczby znaków. Rzymski system ma jedną wadę, jest niewygodny w prowadzeniu nawet prostych działań arytmetycznych. Rzymianie jednak potrafili dość sprawnie wykonywać działania dodawania i odejmowania posługując się przy tym abakusem - pierwszą w świecie "maszyną do liczenia".
Runiczne cyfry w systemie piątkowym używane były w średniowieczu w Skandynawii do zapisu dat