Wojskowa Akademia Techniczna
Wydział Inżynierii Lądowej i Geodezji
Metody Obliczeniowe
Andrzej Krzyżański grupa B9K2N1
1. Opisz zasadę zachowania energii i budowę funkcjonałów energii.
Rozważamy model mechaniczny, jak na rys
Składa się on z masy B, na którą działa siła P(t), więzi liniowo-sprężystej o sztywności K i tłumika C. Przemieszczenie masy opisuje współrzędna q(t). R(t) jest reakcją podłoża. Układ ma być w równowadze dynamicznej.
Dane: P(t), B, C, K.
Szukane: q(t), R(t).
Potrzebujemy więc dwóch równań z dwiema niewiadomymi. Upraszczamy chwilowo przyjęty model, zakładając C=0. Przecinamy model przekrojem. Pojawia się siła przekrojowa FS.
Warunki równowagi dla takiego modelu to:
Równanie pierwsze daje nam: Fs = P. W wyniku działania na sprężynę siły P(t) powstaje przemieszczenie q(t). Rozważamy zależność P(q). Relacja między siłą a odpowiadającym jej przemieszczeniem jest liniowa.
Współczynnik K – sztywność (siła przypadająca na jednostkę przemieszczenia) równy jest tg kąta nachylenia. Mamy więc zbiór par (qi , Pi), wyznaczamy trajektorię położeń równowagi. Sztywność K jest operatorem stycznych do położeń równowagi. W przypadku dynamicznym trajektoria położeń równowagi nie jest prostą.
Rozważamy dalej przypadek statyczny
Liczymy przyrost pracy .
Drugi składnik prawej strony przyjmujemy równy 0 i otrzymujemy:
= (zakreskowany prostokąt na rys.)
Całkowita praca wynosi:
lub zapisując inaczej:
Praca sił zewnętrznych L równa jest energii potencjalnej odkształcenia Ep skumulowanej w elemencie sprężystym.
Jeżeli q jest wektorem (czyli dla układu o większej, niż 1 stopień swobody), mamy:
W przestrzeni wektorowej N-wymiarowej mamy:
Energia potencjalna odkształcenia jest formą kwadratową przemieszczeń uogólnionych q ; jądrem tej formy jest macierz sztywności K – kwadratowa i symetryczna.
Rozważając energię kinetyczną masy B mamy:
gdzie: - prędkość przemieszczenia.
Dla układu o N stopniach swobody wymiary wektora i macierzy B – analogicznie jak przy Ep. Energia kinetyczna jest formą kwadratową prędkości przemieszczeń , jej jądrem jest kwadratowa, symetryczna macierz bezwładności B.
Podobnie energia tłumienia:
gdzie: C – macierz tłumienia.
Praca zewnętrznych sił czynnych L wynosi:
Jest to forma liniowa przemieszczeń uogólnionych q. Jeżeli przemieszczenie q jest wektorem, czyli q=[q1,q2,...qN]T i mamy funkcję F(q), to F jest funkcją wielu zmiennych. F(q)= F[q1,...qN] Liczymy pochodne cząstkowe tej funkcji względem poszczególnych zmiennych:
i definiujemy gradient F(q)
,
Obliczamy gradienty energii:
oraz obliczamy
Rozważamy ciało sprężyste, dla którego przemieszczenia zmieniają się w sposób ciągły w czasie od t do t1.
2. Napis wzór Zasady Hamiltona
gdzie:
δ- znak wariacji (uogólnionej pochodnej)
Ep - energia potencjalna
Ek - energia kinetyczna
3. Metoda Elementów Skończonych MES
Definiujemy element skończony:
E={S, W(S), F(N)} ,gdzie:
S- zbiór obiektów typu Simplex( jest to zbiór wypukły, czyli dowolny odcinek łączący 2 punkty elementu mieści się w nim), jedno-, dwu- lub trójwymiarowy,
W- rodzina wielomianów (funkcje kształtu) tworzy bazę, względem których szukamy przemieszczeń punktów,
F- rodzina funkcjonałów (funkcji Ek, Ep, Et) określona na bazie wielomianów
W metodzie elementów skończonych ustalamy model mechaniczny w postaci układu elementów skończonych. Następnie dzielimy układ na zbiór węzłów i zbiór elementów skończonych. Między przemieszczeniami węzła i przemieszczeniami przylegających elementów skończonych nie ma nieciągłości.
Kolejnym krokiem jest wyprowadzenie równań opisujących transformację przemieszczeń końców elementu na siły działające na końcach elementu skończonego.
Ostatni krok, to rozpatrzenie równań równowagi węzła i obliczenie pola przemieszczeń układu.