Torem elementu płynu nazywa się krzywą opisywaną przez poruszającą się cząstkę.

Po oznaczeniu elementu toru przez dr ≡ (dx, dy, dz)1), a czasu potrzebnego na

przebycie drogi dr przez dt otrzyma się równanie toru przez scałkowanie następującego

równania różniczkowego

Po wprowadzeniu współrzędnych elementu toru równanie (2.18) można przedstawić

w postaci

Linią prądu nazywa się linię wektorowego pola prędkości, a zatem linię, która

w każdym swym punkcie jest styczna do wektora prędkości odpowiadającego temu

punktowi. Niech wektorowe pole prędkości v = v (x, y, z, t)

ma składowe, odpowiednio

v x = v x (x, y, z, t), v y = v y (x, y, z, t), v z = v z (x, y, z, t), (2.21)

a element linii prądu dr współrzędne dx, dy, dz.

Równanie linii prądu, wyrażające warunek równoległości wektorów v i dr1)

w każdym punkcie pola dla dowolnej chwili, można zapisać w postaci

W równaniu tym czas występuje jako parametr, od którego zależą wartości v x, v y, v z, ale nie jest zmienną niezależną.

Przyśpieszenie elementu płynu, traktowanego jako punkt, jest pochodną prędkości

elementu względem czasu i może być określone wzorem

Zmianę prędkości elementów przepływających w czasie

przez punkt M (rys. 2.1) z prędkością v (x, y, z, t) określają pochodne cząstkowe prędkości względem czasu t:

Są to zmiany lokalne prędkości w czasie i dlatego te pochodne nazywa się pochodnymi lokalnymi lub

miejscowymi.

Jakie będzie przyśpieszenie elementu płynu przechodzącego przez punkt M (x, y, z) do punktu N (x + dx, y + dy, z + dz)? W czasie dt element płynu przemieści się o vx dt, vy dy, vz dt odpowiednio w kierunkach osi x, y, z, a zarazem prędkość tej cząstki po czasie (t + dt) będzie wynosiła v (x + dx, y + dy, z + dz, t + dt), przy czym dx = vx dt, dy = vy dt, dz = vz dt.

Ruchem lokalnym płynu nazywa się ruch punktów elementu płynu względem dowolnie

wybranego bieguna zawartego w tym elemencie.

W obszarze wypełnionym płynem poruszającym się z prędkością v (x, y, z, t)

wprowadza się ortogonalny układ odniesienia o osiach x, y, z (rys. 2.7). Zakłada się, że

prędkość jest funkcją ciągłą i różniczkowalną zmiennych x, y, z. W położeniu, oznaczonym

cyfrą I, w chwili t = t1 w obszarze przepływu wybiera się płynny element

objętościowy ośrodka (spełniający warunki omówione w p. 1.1.3), w którym wyróżnia

się punkt P – biegun o promieniu wodzącym R oraz dowolny punkt M, o promieniu

wodzącym R + r ≠ R. Płyn jest w ruchu, element przesuwa się zatem względem układu

odniesienia, równocześnie zmieniając swój kształt. W chwili t = t2, tj. po upływie

czasu Δt, element znajdzie się w położeniu oznaczonym cyfrą II, w którym biegun

znajdzie się w punkcie P', a punkt M zajmie położenie M'.

Zgodnie z zasadą zachowania masy, w żadnym punkcie pola masa nie może się

tworzyć ani znikać. W płynie nieściśliwym (ρ = const) tylko takie pole prędkości będzie

spełniało tę zasadę, w którym w każdej chwili do obszaru ograniczonego powierzchnią

kontrolną będzie wpływało tyle płynu, ile w tej samej chwili wypływa.

Warunek ten jest zatem identyczny dla przepływów ustalonych i nieustalonych. Podczas

przepływu płynu ściśliwego (ρ ≠ const) w ruchu ustalonym musi być zachowany powyższy warunek, bo masa zawarta wewnątrz powierzchni kontrolnej jest niezmienna w czasie. W przepływie nieustalonym, z upływem czasu gęstość może ulegać lokalnym zmianom, co może wywołać zmianę masy płynu objętej powierzchnią kontrolną.

Masa nie może powstawać ani zanikać w obszarze kontrolnym, dlatego bilans dopływu

i przyrostu masy musi być równy zeru, a zatem

Jest to całkowa postać równania wynikającego z zasady zachowania masy, zwanego

równaniem ciągłości.

Zgodnie z zasadą zachowania pędu: prędkość zmiany pędu płynu zawartego w poruszającej

się objętości V(t) równa się wypadkowej sił zewnętrznych działających na ten płyn. Przypomnijmy najpierw znane z fizyki równania ruchu układu wielu punktów materialnych zawartych w obszarze V odciętym od reszty otoczenia powierzchnią A. Równania ruchu jednej (i-tej) cząstki można zapisać następująco

gdzie:

Pio – siła zewnętrzna działająca na i-tą cząstkę o masie mi i przyśpieszenie ai,

Pij – siła wewnętrzna, z jaką j-ta cząstka działa na i-tą.

Gdy znane jest pole prędkości, można na podstawie równania Bernoulliego wyznaczyć pole ciśnień i otrzymujemy wówczas zależność, w której p∞, v∞ są wartościami odnoszącymi się do przepływu niezakłóconego:

Napór cieczy na ścianę płaską

Moduł naporu elementarnego a moduł naporu hydrostatycznego prostopadłego do ściany o polu A ponieważ przy czym zs – głębokość zanurzenia środka ciężkości rozpatrywanej ściany A.

Ze wzoru wynika, że napór hydrostatyczny na ścianę płaską o dowolnym

konturze i dowolnie nachyloną do płaszczyzny poziomej ma bezwzględną wartość

równą ciężarowi słupa cieczy, którego podstawą jest dana ściana, a wysokością głębokość

jej środka geometrycznego pod zwierciadłem cieczy.

Równanie (3.34), noszące nazwę równania Eulera, jest podstawowym równaniem określającym ruch płynu nielepkiego. Można je przedstawić w postaci wektorowej

lub w postaci trzech równań skalarowych

Równanie, które jest całką równania Eulera zwaną równaniem (całką) Bernoulliego, wyraża zasadę zachowania energii:

Warunek Wx = Wy = Wz = 0 określa przepływ potencjalny (niewirowy), a zatem

stała w równaniu Bernoulliego jest stała dla całego pola przepływu i równanie (5.20)

może być stosowane dla ustalonego przepływu potencjalnego w całej rozciągłości po

uwzględnieniu założeń 1. i 2.

Warunki przedstawiają kolejno równanie

linii prądu i równanie linii wirowej. Stała w równaniu Bernoulliego będzie zatem inna dla każdej linii prądu (lub linii wirowej), zachowując tę samą wartośćjedynie wzdłuż danej linii.

Zgodnie z warunkiem

równanie Bernoulliego można stosować dla całego pola przepływu wówczas, gdy kierunek linii wirowej jest zgodny z kierunkiem linii prądu (linie te się pokrywają), a zatem w ruchu śrubowym.

W ruchu laminarnym elementy płynu poruszają się po torach prostych lub łagodnie zakrzywionych, w zależności od kształtu ścian sztywnych, które nadają kształt wszystkim liniom prądu. Sprawia to wrażenie, jakby płyn poruszał się warstwami, miedzy którymi nie odbywa się wymiana płynu (stąd nazwa przepływ uwarstwiony). W rzeczywistości wymiana taka nie odbywa się tylko w skali makroskopowej, wiadomo natomiast, że poszczególne molekuły płynu wykonują bezładny ruch, dzięki któremu zmieniają swoje położenie (dyfuzja molekularna). W ruchu laminarnym mamy zatem do czynienia z wymianą masy, a z nią i pędu w skali mikroskopowej, co jest przyczyną występowania naprężeń stycznych, określonych wzorem Newtona (1.15). Podczas przepływu laminarnego, charakteryzującego się przewagą sił lepkości nad siłami bezwładności, wszelkie powstające przypadkowo zaburzenia są tłumione, zatem przepływ ten jest stateczny (stabilny). Jednym z najprostszych przypadków ruchu płynu lepkiego nieściśliwego jest ustalony ruch laminarny w rurze o stałym przekroju, podczas którego linie prądu są prostymi równoległymi do osi rury.

Przepływ turbulentny

Większość występujących w przyrodzie i interesujących nas pod względem technicznym typów przepływów stanowią przepływy turbulentne. Najbardziej znamienną i dominującą cechą tych przepływów jest chaotyczny i nieregularny ruch elementów płynu, wskutek czego wszystkie wielkości, charakteryzujące dany przepływ, wykazują zmienność zarówno w czasie, jak i w przestrzeni. Elementy płynu przemieszczają się zgodnie z głównym kierunkiem transportu masy, wykonując równocześnie nieuporządkowane ruchy fluktuacyjne, poprzeczne w stosunku do kierunku ruchu głównego, wywołujące wymianę masy i pędu między poszczególnymi rurkami prądu. Zachodzi tutaj, w skali makroskopowej, wymiana elementów płynu – zjawisko podobne do mechanizmu tarcia wewnętrznego. Turbulencja jest zatem zjawiskiem charakteryzującym się występowaniem w przepływającym płynie chaotycznych fluktuacji parametrów hydro- i termodynamicznych (prędkości przepływu, ciśnienia, gęstości, temperatury). Duża intensywność procesów transportu wynika ze złożonego ruchu wirów o różnej skali i energii. Największe wiry, charakteryzujące się najniższą częstotliwością, pobierają energię od przepływu średniego, a następnie przekazują ją wirom coraz mniejszym (kaskady energii). W wirach o najmniejszych rozmiarach występują największe zmiany prędkości oraz największe naprężenia styczne. Badanie ruchu turbulentnego opiera się zwykle na hipotezie Reynoldsa, według której przepływ turbulentny może być przedstawiony jako superpozycja przepływu uśrednionego i fluktuacyjnego.

Przejście ruchu laminarnego w turbulentny następuje wskutek utraty stateczności przepływu laminarnego. Wzrost sił bezwładności, np. wskutek przyrostu prędkości przepływu, powoduje, że tłumiące działanie lepkości jest niewystarczające, co wywołuje utratę stateczności ruchu laminarnego i jego przejście w ruch turbulentny

Dowolny parametr f (x, y, z, t) ruchu turbulentnego można przedstawić w postaci Sumy:

f (x, y, z, t) = f (x, y, z) + f ′(x, y, z, t),

w której:

f (x, y, z) – wartość uśredniona funkcji f,

f ′ (x, y, z, t) – fluktuacja będąca wielkością małą i szybkozmienną w porównaniu z f .

Dla turbulentnego przepływu płynu nieściśliwego możemy więc zapisać

v =v + v′ , p = p + p′

Liczba Reynoldsa

Kryterium decydującym o rodzaju ruchu jest bezwymiarowa liczba ρvd/μ utworzona z tych parametrów i nazwana później liczbą Reynoldsa (Re). Ta

liczba pozwala scharakteryzować przepływ w przewodzie kołowym. Jeżeli Re < 2300,

przepływ pozostaje laminarny, a zatem są tłumione ewentualne lokalne niestabilności

przepływu. Liczba Reynoldsa Re wyraża stosunek siły bezwładności do siły lepkości (tarcia)

Małym wartościom liczb Reynoldsa odpowiadają przepływy, w których dominują siły lepkości, nazwane przepływami laminarnymi. Duże wartości liczby Re są natomiast związane z przepływami, w których siły lepkości są małe w porównaniu z siłami bezwładności – nazwanymi przepływami

turbulentnymi.

Równanie Bernoulliego

Równanie Bernoulliego określa przemiany energetyczne wzdłuż strugi elementarnej o przekroju poprzecznym nieskończenie małym i jest szczególnym przypadkiem zasady zachowania energii w przepływie płynu nielepkiego. Mimo wyraźnej rozbieżności tego twierdzenia z doświadczeniem, stwierdzającym powstawanie strat energetycznych podczas przepływów płynów rzeczywistych, znaczenie i zakres zastosowań równania Bernoulliego są rozległe. Można je stosować z przybliżeniem do zjawisk ruchu swobodnego cieczy rzeczywistych, w których poruszająca się masa ciekła graniczy z powietrzem (np. wypływy przez otwory).