projekt2 arek druk

Uniwersytet Zielonogórski Rok akademicki

Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska 2013/2014

Budownictwo

METODY OBLICZENIOWE

Ćw. nr 2. Metoda elementów skończonych dla zadania jednowymiarowego.

Dominik Wasyłyk

Grupa 21B

1 . Sformułowanie teoretyczne problemu.

Metoda elementów skończonych (MES) jest obecnie powszechnie stosowanym narzędziem obliczeń inżynierskich. Rozwiązanie problemu za pomocą metody elementów skończonych można podzielić na następujące etapy:

Dyskretyzacja – konstrukcja zostaje myślowo podzielona na pewną liczbę elementów skończonych
Zakłada się, że te połączone są ze sobą w skończonej liczbie punktów znajdujących się na obwodach. Najczęściej są to punkty narożne. Noszą one nazwę węzłów. Poszukiwane wartości wielkości fizycznych stanowią podstawowy układ niewiadomych
Obiera się pewne funkcje jednoznacznie określające stan przemieszczeń analizowanej wielkości fizycznej wewnątrz elementów skończonych, w zależności od wartości tych wielkości fizycznych w węzłach. Funkcje te noszą nazwę funkcji węzłowych lub funkcji kształtu.
Przyjęte funkcje przemieszczeń definiują jednoznacznie stan odkształceń wewnętrznych elementu. Odkształcenia te łącznie z odkształceniami początkowymi i własnościami fizycznymi materiału określają stan naprężeń w całym elemencie
Zostaje określony układ sił skupionych w węzłach równoważący napięcia na brzegach elementu oraz wszelkie inne siły. Równoważne siły skupione są funkcjami przemieszczeń węzłowych i znanych obciążeń zewnętrznych działających na element
Zostaje utworzony podstawowy układ równań MES z przemieszczeniami węzłów dyskretyzowanej konstrukcji jako niewiadomymi

K • u = f

Gdzie:

K – macierz sztywności dla całej konstrukcji

u – macierz niewiadomych przemieszczeń węzłowych

f – macierz obciążeń węzłowych

Po rozwiązaniu układu równań obliczane są przemieszczenia, odkształcenia i naprężenia we wszystkich elementach skończonych.

2 . Przykład liczbowy bez użycia komputera (n=3) – zginanie belki (sześcienne funkcje kształtu)

Dane;

materiał – beton E = 30 000 MPa
przekrój

schemat

dyskretyzacja

przyjęcie elementu i funkcji kształtu

$$N_{1} = 2\frac{x^{3}}{l^{3}} - \ 3\frac{x^{2}}{l^{2}} + 1$$

$$N_{2} = \frac{x^{3}}{l^{2}} - \ 2\frac{x^{2}}{l} + x$$

$$N_{3} = - 2\frac{x^{3}}{l^{3}} + \ 3\frac{x^{2}}{l^{2}}$$

$$N_{4} = \frac{x^{3}}{l^{2}} - \ \frac{x^{2}}{l}$$

macierz sztywności pojedynczego elementu skończonego

$$K^{e} = \left| \begin{matrix} \begin{matrix} \frac{12EI}{l^{3}} & \frac{6EI}{l^{2}} \\ \frac{6EI}{l^{2}} & \frac{4EI}{l} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} - \frac{12EI}{l^{3}} & \frac{6EI}{l^{2}} \\ - \frac{6EI}{l^{2}} & \frac{2EI}{l} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} - \frac{12EI}{l^{3}} & - \frac{6EI}{l^{2}} \\ \frac{6EI}{l^{2}} & \frac{2EI}{l} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} \frac{12EI}{l^{3}} & - \frac{6EI}{l^{2}} \\ - \frac{6EI}{l^{2}} & \frac{4EI}{l} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right|$$

globalna macierz sztywności dla całego elementu skończonego i układ równań MES.

$$\frac{12EI}{l_{1}^{3}}$$	$$\frac{6EI}{l_{1}^{2}}$$	$$- \frac{12EI}{l_{1}^{3}}$$	$$\frac{6EI}{l_{1}^{2}}$$	0	0	0	0	w₁	0
$$\frac{6EI}{l_{1}^{2}}$$	$$\frac{4EI}{l_{1}}$$	$$- \frac{6EI}{l_{1}^{2}}$$	$$\frac{2EI}{l_{1}}$$	0	0	0	0	φ₂	0
$$- \frac{12EI}{l_{1}^{3}}$$	$$- \frac{6EI}{l_{1}^{2}}$$	$$\frac{12EI}{l_{1}^{3}} + \frac{12EI}{l_{2}^{3}}$$	$$- \frac{6EI}{l_{1}^{2}} + \frac{6EI}{l_{2}^{2}}$$	$$- \frac{12EI}{l_{2}^{3}}$$	$$\frac{6EI}{l_{2}^{2}}$$	0	0	w₃	52,5
$$\frac{6EI}{l_{1}^{2}}$$	$$\frac{2EI}{l_{1}}$$	$$- \frac{6EI}{l_{1}^{2}} + \frac{6EI}{l_{2}^{2}}$$	$$\frac{4EI}{l_{1}} + \frac{4EI}{l_{2}}$$	$$- \frac{6EI}{l_{2}^{2}}$$	$$\frac{2EI}{l_{2}}$$	0	0	φ₄	26,25
0	0	$$- \frac{12EI}{l_{2}^{3}}$$	$$\frac{6EI}{l_{2}^{2}}$$	$$\frac{12EI}{l_{2}^{3}} + \frac{12EI}{l_{3}^{3}}$$	$$- \frac{6EI}{l_{2}^{2}} + \frac{6EI}{l_{3}^{2}}$$	$$- \frac{12EI}{l_{3}^{3}}$$	$$\frac{6EI}{l_{3}^{2}}$$	w₅	0
0	0	$$- \frac{6EI}{l_{2}^{2}}$$	$$\frac{2EI}{l_{2}}$$	$$- \frac{6EI}{l_{2}^{2}} + \frac{6EI}{l_{3}^{2}}$$	$$\frac{4EI}{l_{2}} + \frac{4EI}{l_{3}}$$	$$- \frac{6EI}{l_{3}^{2}}$$	$$\frac{2EI}{l_{3}}$$	φ₆	-26,25
0	0	0	0	$$- \frac{12EI}{l_{3}^{3}}$$	$$\frac{6EI}{l_{3}^{2}}$$	$$\frac{12EI}{l_{3}^{3}}$$	$$- \frac{6EI}{l_{3}^{2}}$$	w₇	70
0	0	0	0	$$- \frac{6EI}{l_{3}^{2}}$$	$$\frac{2EI}{l_{3}}$$	$$- \frac{6EI}{l_{3}^{2}}$$	$$\frac{4EI}{l_{3}}$$	φ₈	0

e) uwzględnienie warunków brzegowych

K	*	u	=	f
1	0	0	0	0
0	1	0	0	0
0	0	$$\frac{12EI}{l_{1}^{3}} + \frac{12EI}{l_{2}^{3}}$$	$$- \frac{6EI}{l_{1}^{2}} + \frac{6EI}{l_{2}^{2}}$$	0
0	0	$$- \frac{6EI}{l_{1}^{2}} + \frac{6EI}{l_{2}^{2}}$$	$$\frac{4EI}{l_{1}} + \frac{4EI}{l_{2}}$$	0
0	0	0	0	1
0	0	$$- \frac{6EI}{l_{2}^{2}}$$	$$\frac{2EI}{l_{2}}$$	0
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0

0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0	0
0	26250	-11250	0	9000	0	0	w₃	52,5
0	-11250	45000	0	9000	0	0	φ₄	26,25
0	-0	0	1	39600	-12960	10800	w₅	0
0	9000	9000	0	-12960	10368	-12960	φ₆	-26,25
0	0	0	0	10800	-12960	21600	0	70
0	0	0	0	4800	-5760	9600	0	0

f) wyznaczenie nieznanych przemieszczeń węzłów wg wzoru

u = K⁻¹ * f

u =	0
	0
	-0,002597778
	-0,002198519
	0
	0,010662037
	0,053661265
	0,026865741

g) wyznaczenie sił wewnętrznych wg wzoru e¹ = K¹ * u¹, e² = K² * u², e³ = K³ * u³

Gdzie:

K¹, K³, K³ – macierz sztywności dla poszczególnego elementu skończonego

u¹, u², u³ – macierz wyznaczonych przemieszczeń węzłowych dla poszczególnego elementu skończonego

K¹	*	u¹	=	T/M
20250	20250	-20250	20250	*
20250	27000	-20250	13500
-20250	-9000	20250	-20250
20250	13500	-20250	27000

K²	*	u²	=	T/M
6000	9000	-6000	9000	*
9000	18000	-9000	9000
-6000	-9000	6000	-9000
9000	9000	-9000	18000

K³	*	u³	=	T/M
10368	12960	-10368	12960	*
12960	21600	-12960	10800
-10368	-12960	10368	-12960
12960	10800	-12960	21600

h) wykresy sił wewnętrznych

Momenty zginające [kNm]

Siły Tnące [kN]

3 . Program komputerowy

opis przygotowania danych do programu

Dane do programu są wprowadzane bezpośrednio w kodzie źródłowym programu

wektor długości elementów skończonych

l = (/2.0, 3.0, 2.5/)

wektor obciążeń

FG = (/0.0, 0.0, 52.5,26.25,0.0,−26.25,70.0,0.0/)

sztywność giętna dla danego przekroju betonowego

ej=13500

deklarowanie macierzy sztywności

Ke(1, :)=(/(12.0 * ej)/l(e)* * 3, (6.0 * ej)/l(e)* * 2, ( − 12.0 * ej)/l(e)* * 3, (6.0 * ej)/l(e)* * 2/)

Ke(2, :)=(/(6.0 * ej)/l(e)* * 2, (4.0 * ej)/l(e),(−6.0 * ej)/l(e)* * 2, (2.0 * ej)/l(e)/)

Ke(3, :)=(/(−12.0 * ej)/l(e)* * 3, ( − 6.0 * ej)/l(e)* * 2, (12.0 * ej)/l(e)* * 3, ( − 6.0 * ej)/l(e)* * 2/)

Ke(4, :)=(/(6.0 * ej)/l(e)* * 2, (2.0 * ej)/l(e),(−6.0 * ej)/l(e)* * 2, (4.0 * ej)/l(e)/)

deklarowanie warunków brzegowych

kg(1, :)=0.

kg(:, 1)=0.

kg(1, 1)=1.

kg(2, :)=0.

kg(:, 2)=0.

kg(2, 2)=1.

kg(5, :)=0.

kg(:, 5)=0.

kg(5, 5)=1.

fg(1)=0.

fg(2)=0.

fg(5)=0.

b) wydruk treści programu

MODULE ModMES

!------------------------

! modul ELF90

!------------------------

! SUBROUTINE agre(w1,w2,Ke,Kg)

! agreg. mac. Ke do Kg blokami odpowiadajacymiwezlom w1 i w2

! SUBROUTINE rozw(A,B)

! rozw. ukl. rownan A X = B i podstawienie B=X

!-----------------------------------------------------------

contains

SUBROUTINE agre(w1,w2,Ke,Kg)

! agreg. mac. Ke do Kg blokami odpowiadajacymiwezlom w1 i w2

IMPLICIT NONE

REAL, INTENT(IN) :: Ke(:,:)

REAL, INTENT(IN OUT):: Kg(:,:)

INTEGER, INTENT(IN) :: w1,w2

INTEGER:: i,j,lsw,nwg,nkg,nwe,nke,W(2)

lsw=UBOUND(Ke,1)/2

W(1)=w1

W(2)=w2

DO i=1,2

DO j=1,2

nwg= (W(i)-1)*lsw+1

nkg= (W(j)-1)*lsw+1

nwe= (i-1)*lsw+1

nke= (j-1)*lsw+1

Kg(nwg:nwg+lsw-1,nkg:nkg+lsw-1)= Kg(nwg:nwg+lsw-1,nkg:nkg+lsw-1)+&

Ke(nwe:nwe+lsw-1,nke:nke+lsw-1)

END DO

RETURN

END SUBROUTINE agre

!---------------------------------------

SUBROUTINE rozw(A,B)

IMPLICIT NONE

! argumenty

REAL, INTENT(IN OUT) :: A(:,:) ! macierz

REAL, INTENT(IN OUT) :: B(:) ! wek.prawych stron i rozw.

INTEGER:: i,j,n ! n -rzad macierzy A

LOGICAL:: ok

REAL :: element, Wiersz(SIZE(B,1)),pivtol

n=SIZE(B,1)

ok=SIZE(A,1)== n .AND. SIZE(A,2)== n

IF (.NOT.ok) THEN

WRITE(*,*)' ****** Niewlasciwe wymiary macierzy ****** '

STOP

END IF

pivtol=MAXVAL(A)*1e-10

DO j=1,n

DO i=1,j-1

A(i+1:n,j)=A(i+1:n,j)-A(i,j)*A(i+1:n,i)

END DO

i=MAXVAL(MAXLOC(ABS(A(j:n,j))))+j-1

IF (ABS(A(i,j)) <pivtol) THEN

ok=.FALSE.

RETURN

END IF

IF (i.NE.j) THEN

Wiersz=A(j,:)

A(j,:)=A(i,:)

A(i,:)=Wiersz

element=B(j)

B(j)=B(i)

B(i)=element

END IF

A(j+1:n,j)=A(j+1:n,j)/A(j,j)

END DO

DO i=1,n-1

B(i+1:n)=B(i+1:n)-B(i)*A(i+1:n,i)

END DO

DO j=n,1,-1

B(j)=B(j)/A(j,j)

B(1:j-1)=B(1:j-1)-B(j)*A(1:j-1,j)

END DO

RETURN

END SUBROUTINE rozw

!---------------------------------------

END MODULE ModMES

program belka

Use ModMES

IMPLICIT NONE

REAL:: Ke(4,4), Kg(8,8), Fg(8), p, EJ, l(3), qe(4), Q_0(4), s(4)

integer:: i

Kg=0.0

p=70.0

l=(/2.0,3.0,2.5/)

EJ =13500

Fg=(/0.0,0.0,52.5,26.25,0.0,-26.25,70.0,0.0/)

DO i=1,3

Ke(1,:)=(/12*EJ/l(i)**3,6*EJ/l(i)**2,-12*EJ/l(i)**3,6*EJ/l(i)**2/)

Ke(2,:)=(/6*EJ/l(i)**2,4*EJ/l(i),-6*EJ/l(i)**2,2*EJ/l(i)/)

Ke(3,:)=(/-12*EJ/l(i)**3,-6*EJ/l(i)**2,12*EJ/l(i)**3,-6*EJ/l(i)**2/)

Ke(4,:)=(/6*EJ/l(i)**2,2*EJ/l(i),-6*EJ/l(i)**2,4*EJ/l(i)/)

CALL agre (i,i+1,Ke,Kg)

end do

Kg(1,:)=0.0

Kg(:,1)=0.0

Kg(1,1)=1.0

Kg(2,:)=0.0

Kg(:,2)=0.0

Kg(2,2)=1.0

Kg(5,:)=0.0

Kg(:,5)=0.0

Kg(5,5)=1.0

CALL rozw ( Kg,Fg)

Write(*,*)'Przemieszczenia'

Write(*,*) Fg

write(*,*)'SilyPrzywezlowe'

Ke(1,:)=(/12*EJ/l(1)**3,6*EJ/l(1)**2,-12*EJ/l(1)**3,6*EJ/l(1)**2/)

Ke(2,:)=(/6*EJ/l(1)**2,4*EJ/l(1),-6*EJ/l(1)**2,2*EJ/l(1)/)

Ke(3,:)=(/-12*EJ/l(1)**3,-6*EJ/l(1)**2,12*EJ/l(1)**3,-6*EJ/l(1)**2/)

Ke(4,:)=(/6*EJ/l(1)**2,2*EJ/l(1),-6*EJ/l(1)**2,4*EJ/l(1)/)

qe= Fg(1:4)

Q_0=(/0,0,0,0/)

s= MATMUL(qe,Ke)- Q_0

write(*,*)'Numer elementu 1'

write(*,*)s

Ke(1,:)=(/12*EJ/l(2)**3,6*EJ/l(2)**2,-12*EJ/l(2)**3,6*EJ/l(2)**2/)

Ke(2,:)=(/6*EJ/l(2)**2,4*EJ/l(2),-6*EJ/l(2)**2,2*EJ/l(2)/)

Ke(3,:)=(/-12*EJ/l(2)**3,-6*EJ/l(2)**2,12*EJ/l(2)**3,-6*EJ/l(2)**2/)

Ke(4,:)=(/6*EJ/l(2)**2,2*EJ/l(2),-6*EJ/l(2)**2,4*EJ/l(2)/)

qe = Fg(3:6)

Q_0=(/52.5,26.25,52.5,-26.25/)

s= MATMUL(qe,Ke)- Q_0

write(*,*)'Numer elementu 2'

write(*,*)s

Ke(1,:)=(/12*EJ/l(3)**3,6*EJ/l(3)**2,-12*EJ/l(3)**3,6*EJ/l(3)**2/)

Ke(2,:)=(/6*EJ/l(3)**2,4*EJ/l(3),-6*EJ/l(3)**2,2*EJ/l(3)/)

Ke(3,:)=(/-12*EJ/l(3)**3,-6*EJ/l(3)**2,12*EJ/l(3)**3,-6*EJ/l(3)**2/)

Ke(4,:)=(/6*EJ/l(3)**2,2*EJ/l(3),-6*EJ/l(3)**2,4*EJ/l(3)/)

qe= Fg(5:8)

Q_0=(/0,0,0,0/)

s= MATMUL(qe,Ke)- Q_0

write(*,*)'Numer elementu 3'

write(*,*)s

Read(*,*)

End Program belka

3 . Rozwiązanie numeryczne zadania

PRZEMIESZCZENIA I KATY OBROTU

0.0000000 0.0000000 -2.59777601E-03 -2.19851732E-03 0.0000000

1.06620332E-02 5.36612533 E-02 2.68657357E-02

WARTOŚCI SIL WEWNETRZNYCH

1 8.0849895 22.924982 -8. 0849895 -6.7550025

2 8.0849876 6.7550011 -113.08499 174.99995

3 -70.000000 -174.99998 70.000000 2.43186951E-05

4 . Porównanie wyników

	Bez użycia komputera	Rozwiązanie numeryczne
Przemieszczenia
w₁	0	0.0000000
φ₂	0	0.0000000
w₃	-0,002597778	-2.59777601E-03
φ₄	-0,002198519	-2.19851732E-03
w₅	0	0.0000000
φ₆	0,010662037	1.06620332E-02
w₇	0,053661265	5.36612533 E-02
φ₈	0,026865741	2.68657357E-02
Siły wewnętrzne
e¹	T₁	8.085
	M₁	22.925
	T₂	-8.085
	M₂	-6.755
e²	T₂	8.085
	M₂	6.755
	T₃	-113.085
	M₃	175,00
e³	T₃	-70,00
	M₃	-175,00
	T₄	70,00
	M₄	0,00

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
projekt v3 druk
Podejście projektowe nr 3 Druk
Mathcad Projekt Schody druk
Mathcad, Projekt Schody druk
beton projekt arek
Projekt 2 na druk
DRUK, Projekt budynku wilorodzinnego w technologii tradycyjnej
inst-str1, druk projekt2
KARTA instrukcyjna - DRUK, dokumenty, technologia i materiałoznawstwo, PROJEKTY
pkm druk, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, PKM Projekty, PKM
projekt ustawy emerytalnej druk Nieznany
insobs-str1, druk projekt2
strona tyt, druk projekt2
karta technologiczna - DRUK, dokumenty, technologia i materiałoznawstwo, PROJEKTY
Geomechanika - projekt 4 - DRUK, Geomechanika

więcej podobnych podstron