Wymiarowanie schodów drewnianych ze względu na SGN i SGU.

(Część obliczeniowa).

1. Sprawdzenie SGN dla stopnia. (na podstawie EC0 EC5).

1.1 Schemat stopnia.

1.2 Charakterystyki geometryczne przekroju.

b :=

s

30cm

h :=

s

4cm

2

b ⋅

s hs

3

W

:=

= ⋅

y_s

80 cm

6

1.3 Współczynniki potrzebne do wyznaczenie wytrzymałości obliczeniowej.

stopień wykonany z drewna litego C20

f

:=

(tab.1 EN:338:2009)

md90k

20MPa

f

⋅k ⋅

md90k kh k

h mod

f

:=

md90d

γM

k :=

EC 5 pkt 3.2 str 28

h

1.3

Współczynniki k

określone przy założeniu pierwszej klasy użytkowania dla mod drewna litego EC5 tab. 3.1

k

:=

Działanie stałe

mod1

0.6

k

:=

Działanie stałe + zmienne krótkotrwałe mod2

0.9

k

:=

Działanie stałe + zmienne chwilowe mod3

1.1

Częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla drewna litego na podst. EC5 tab. 2.3

γ

:=

M

1.3

1.4 Obliczenie wytrzymałości obliceniowej dla trzech wariantów obciążęnia stopnia Wariant 1

Wariant 2

Oddziaływanie od ciężaru własnego

Suma oddziaływań od ciężaru własnego i zmiennego - tłum

f

⋅ ⋅

⋅ ⋅

md90k kh kmod1

fmd90k kh kmod2

f

:=

= ⋅

:=

= ⋅

md90d1

12 MPa

f

18 MPa

γ

md90d2

M

γM

Wariant 2

Suma oddziaływań od ciężaru własnego i zmiennego - montażowego

f

⋅ ⋅

md90k kh kmod3

f

:=

= ⋅

md90d3

22 MPa

γM

1.5 Masymalne naprężenia w zależności od przypadku obciążeniowego.

1.5.1 Przypadek 1 - obciążenie ciężarem własnym.

kN

G := 0.063

obciążenie stałe

m

kN

2

0.063

⋅(1.1m)

m

M

:=

=

⋅ ⋅

max1

0.01 kN m

8

Mmax1

σ

:=

=

⋅

md901

0.119 MPa

Wy_s

σ

<

md901

fmd90d1

warunek SGN spelniony.

1.5.2 Przypadek 2 - obciążenie ciężarem własnym oraz Q1 - ciężar tłumu.

Q1 = 0.9kN/m

G = 0.063kN/m

1.1

kN

2

kN

2

0.063

⋅(1.1m)

0.9

⋅(1.1m)

m

m

M

:=

+

=

⋅ ⋅

max2

0.146 kN m

8

8

Mmax2

σ

:=

=

⋅

md902

1.821 MPa

Wy_s

σ

<

md902

fmd90d2

warunek SGN spelniony.

1.4.3 Przypadek 3 - obciążenie ciężarem własnym G oraz Q2 - obciążenie montażowe.

Q1 = 3kN/m

G = 0.063kN/m

1.1

kN

2

0.063

⋅(1.1m)

m

3kN⋅1.1m

M

:=

+

=

⋅ ⋅

max3

0.835 kN m

8

4

Mmax3

σ

:=

=

⋅

md903

10.432 MPa

Wy_s

σ

<

md902

fmd90d2 warunek SGN spelniony.

2. Sprawdzenie SGU dla stopnia. (na podstawie EC0 EC5).

2.1 Wartoś ci charakterystyczne oddziaływan.

kN

q

:=

oddzialywanie od ciezaru wlasnego stopnia G

0.05 m

kN

q

:=

oddzialywanie od obc. uzytkowego Q1

Q.1

0.6 m

q

:=

oddziaływanie od obc. uzytkowego Q2

Q.2

2kN

2.2 Okreslenie wartości liczbowych potrzebnych do wyznaczenia ugięc.

k

:=

(EC 5 tab. 3.2) - przyjmujemy klasę użykowania 1, drewno lite def

0.6

ψ

:=

:=

:=

(EC 0 tab.A 1.1)

21

0.3

ψ01

0.7

ψ02

0.7

l := 1.1m

l = 27.5

> 20

hs

kN

E

:=

0mean

10

2

mm

4

E

= ×

⋅

0mean

1

10 MPa

2.3 Obliczenie ugięcia belki.

3

b ⋅

s hs

4

I :=

=

⋅

y

160 cm

12

l > 20

dla obliczenia u

stosujemy wzór

EC5 - NA.1

inst

hs

4

⋅

5

qG l

u

:=

⋅

=

⋅

M1

0.06 mm

384 E

⋅

0mean Iy

u

:=

instG

uM1

4

⋅

5

qQ.1 l

u

:=

⋅

=

⋅

M2

0.071 cm

384 E

⋅

0mean Iy

u

:=

instQ1

uM2

3

⋅

1

qQ.2 l

u

:=

⋅

=

⋅

instQ2

0.347 cm

48 E

⋅

0mean Iy

u

:=

finG

uinstG

u

:=

⋅(

+

⋅

) =

⋅

finQ1

uinstQ1 ψ01 ψ21 kdef

0.063 cm

u

:=

⋅(

+

⋅

) =

⋅

finQ2

uinstQ2 ψ02 ψ21 kdef

0.305 cm

2.3 Obliczenie ugięcia belki.

warunek na dopuszczalne ugiecie bleki stropowej l/150<wfin (EC5 tab. 7.2)

u

:=

+

+

=

⋅

fin

ufinG ufinQ1 ufinQ2 0.374 cm

l

w

:=

=

⋅

fin.lim

0.44 cm

250

w

<

fin

wfin.lim

Warunek SGU spełniony

3. Sprawdzenie SGN dla belki policzkowej Przyjmujemy schemat statyczny z przesuwem na dole, co powoduje, że mamy zginanie z rozciąganiem osiowym

C

B

30°

A

3.1. Charakterystyki geoetryczne pzekroju: b :=

p

10cm

h :=

p

32cm

2

10cm⋅(32cm)

3

W :=

=

⋅

y

1706.667 cm

6

h =

- wysokość stopnia

s

0.04 m

s := 30cm - szerokość stopnia

n := 7

- ilość stopni

l

:= ( − ⋅ =

- długość rzutu belki policzkowej

rz

n

1) s

1.8 m

l :=

długość belki policzkowej

0

2.1m

3.2 Składowa obciążeń prostopadła i podłużna do belki, wyznaczenie max. momentów zginających, oraz naprężeń w środku rozpiętości belki i przy zamocowaniu do belki spocznikowej

kN

q := 0.24

obciążenie stałe, składowa prostopadła do belki m

kN

Q :=

obciążenie zmienne - tłum składowa prostopadła do belki 1

1.22 m

Q :=

obciążenie zmienne - montażowe, składowa prostopadła do belki 2

2.58kN

2

q⋅l0

M

:=

=

⋅ ⋅

max1

0.132 kN m

8

2

Q

( + )⋅

1

q l0

M

:=

=

⋅ ⋅

max2

0.805 kN m

8

Q ⋅

2 l0

M

:=

+

=

⋅ ⋅

max3

Mmax1

1.487 kN m

4

Naprężenia w środku ozpiętośći od

Naprężenia przy połączeniu z belką momentów zginających

spocznikową od momentów zginających Mmax1

0

σ

:=

=

⋅

:=

= ⋅

myd1B

77.52 kPa

σmyd1C

0 kPa

Wy

Wy

0

Mmax2

σ

:=

= ⋅

myd2C

0 kPa

σ

:=

=

⋅

myd2B

471.577 kPa

Wy

Wy

0

Mmax3

σ

:=

= ⋅

myd3C

0 kPa

σ

:=

=

⋅

myd3B

871.172 kPa

Wy

Wy

2

Siła rozciągająca przy połączeniu z belką A := 10cm⋅32cm = 0.032 m

spocznikową od sił podłużnych

kN

N :=

⋅ =

⋅

q

0.13

l0 0.273 kN

m

kN

N

:=

+

⋅ =

⋅

Q1

Nq 0.71

l0 1.764 kN

m

N

:=

+

=

⋅

Q2

Nq 1.5kN 1.773 kN

Napężenia przy połączeniu z belką

spocznikową od sił podłużnych

Nq

σ

:=

=

⋅

t0d1C

8.531 kPa

A

NQ1

σ

:=

=

⋅

t0d2C

55.125 kPa

A

NQ2

σ

:=

=

⋅

t0d3C

55.406 kPa

A

Siła rozciągająca w środku rozpiętości belki od sił podłużnych Nq

2

σ

:=

=

⋅

t0d1B

4.266 kPa

A

NQ1

2

σ

:=

=

⋅

t0d2B

27.563 kPa

A

NQ2

2

σ

:=

=

⋅

t0d3B

27.703 kPa

A

b =

<

uwzględniamy dodatkowo współczynnik wysokości p

0.1 m

bp 15cm

kh





0.2



150 

k



:=

,  =

h

min 



1.3

1.084



 100 



f

:=

wytrzymałość charakterystyczna na rozciąganie t0c

12MPa

f

:=

wytrzymałość charakterystyczna na zginanie myc

20MPa

Wyznaczenie wytrzymałości obliczeniowych - współczynniki k

jak dla stopni

mod

ft0c

f

:=

⋅

⋅

=

⋅

t0d1

kh kmod1

6.006 MPa

γM

ft0c

f

:=

⋅

⋅

=

⋅

t0d2

kh kmod2

9.009 MPa

γM

ft0c

f

:=

⋅

⋅

=

⋅

t0d3

kh kmod3

11.012 MPa

γM

fmyc

f

:=

⋅

=

⋅

myd1

kmod1

9.231 MPa

γM

fmyc

f

:=

⋅

=

⋅

myd2

kmod2

13.846 MPa

γM

fmyc

f

:=

⋅

=

⋅

myd3

kmod3

16.923 MPa

γM

1.5 Masymalne naprężenia w zależności od przypadku obciążeniowego.

1.5.1 Przypadek 1 - obciążenie ciężarem własnym.

G = 0.09kN/m

C

B

.5221

30°

A

180

Do oblicznia SGN stosujemy wzór EC5 6.17, który ze względu na brak zginania belki policzkowej względem osi z ulega znacznemu uproszczeniu: σt0d1C

σmyd1C

+

< 1

ft0d1

fmyd1

Obliczenia przeprowadzono dla środka rozpiętości belki policzkowej (punkt B) i punktu oparcia (C):

σt0d1C

σmyd1C

+

= 0.001

ft0d1

fmyd1

σt0d1B

σmyd1B

+

= 0.009

ft0d1

fmyd1

1.5.1 Przypadek 2 - obciążenie ciężarem własnym oraz obciążeniem zmiennym - ciężar tłumu

Q1 = 3kN/m

G = 0.09kN/m

C

B

.5221

30°

A

σt0d2C

σmyd2C

+

= 0.006

ft0d2

fmyd2

σt0d2B

σmyd2B

+

= 0.037

ft0d2

fmyd2

1.5.1 Przypadek 3 - obciążenie ciężarem własnym oraz obciążeniem zmiennym -

montażowym

Q2 = 3kN

G = 0.09kN/m

C

B

.5221

30°

A

180

σt0d3C

σmyd3C

+

= 0.005

ft0d3

fmyd3

σt0d3B

σmyd3B

+

= 0.054

ft0d3

fmyd3

4. Sprawdzenie SGU dla belki policzkowej. (na podstawie EC0 EC5).

3.1 Wartoś ci charakterystyczne oddziaływan, składowe prostopadłe do belki polic zkowej.

kN

q

:=

oddzialywanie od ciezaru wlasnego stopnia G

0.17 m

kN

q

:=

oddzialywanie od obc. uzytkowego Q1

Q.1

0.81 m

q

:=

oddziaływanie od obc. uzytkowego Q2

Q.2

1.72kN

3.2 Okreslenie wartości liczbowych potrzebnych do wyznaczenia ugięc.

k

:=

(EC 5 tab. 3.2 - 1 klasa użytkowania dla drewna litego def

0.6

ψ

:=

:=

:=

(EC 0 tab.A 1.1)

21

0.3

ψ01

0.7

ψ02

0.7

l := 2.1m

l = 52.5

> 20

hs

kN

E

:=

0mean

10

2

mm

4

E

= ×

⋅

0mean

1

10 MPa

3.3 Obliczenie ugięcia belki.

l > 20

dla obliczenia u

stosujemy wzór

EC5 - NA.1

inst

hs

3

b ⋅

p hp

4

I :=

=

⋅

y

27306.667 cm

12

4

⋅

5

qG l

u

:=

⋅

=

⋅

M1

0.016 mm

384 E

⋅

0mean Iy

u

:=

instG

uM1

4

⋅

5

qQ.1 l

u

:=

⋅

=

⋅

M2

0.075 mm

384 E

⋅

0mean Iy

u

:=

instQ1

uM2

3

⋅

1

qQ.2 l

u

:=

⋅

=

⋅

instQ2

0.122 mm

48 E

⋅

0mean Iy

u

:=

finG

uinstG

u

:=

⋅(

+

⋅

) =

⋅

finQ1

uinstQ1 ψ01 ψ21 kdef

0.066 mm

u

:=

⋅(

+

⋅

) =

⋅

finQ2

uinstQ2 ψ02 ψ21 kdef

0.107 mm

3.4 Obliczenie ugięcia belki.

warunek na dopuszczalne ugiecie bleki stropowej l/150< wfin u

:=

+

+

=

⋅

fin

ufinG ufinQ1 ufinQ2 0.189 mm

l

w

:=

=

⋅

fin.lim

8.4 mm

250

w

<

Warunek SGU spełniony

fin

wfin.lim

Belka spocznikowa SGN.

1. Charakterystyki geometryczne przekroju.

b := 16cm

h := 28cm

2

16cm⋅(28cm)

3

W :=

=

⋅

y

2090.667 cm

6

2. Wytrzymałość obliczeniowa na zginanie.

Współczynniki k

i

przyjmujemy jak dla stopnia:

mod

γM

k

:=

:=

:=

mod1

0.6

kmod2

0.9

kmod3

1.1

N

f

:=

= ⋅

mk

20

20 MPa

2

mm

γ

:=

M

1.3

Wyznaczenie wytrzymałości obliczeniowych: k

⋅

mod1 fmk

f

:=

=

⋅

md1

9.231 MPa

γM

k

⋅

mod2 fmk

f

:=

=

⋅

md2

13.846 MPa

γM

k

⋅

mod3 fmk

f

:=

=

⋅

md3

16.923 MPa

γM

3. Wyznaczenie maksymalnych naprezeń. (w zaleznosci od przypadku).

P := 2.2⋅2kN

siła stałą od schodów

kN

q := 0.477

obciążenie stałe spocznika

m

kN

Q := 1.65

obciążenie zmiene - tłum

m

P :=

obciążenie zmienne - montażowe

q

3kN

l := 265cm

l :=

⋅

0

1.05 l

Przypadek 1 - obciążenie stałe - siły skupione od obciążenia stałego schodów +

obciążenie stałe socznika

Zakładamy uproszczenie - cztery siły od belek policzkowych, zastępujemy jedną

umieszczoną w środku rozpiętości belki spocznikowej równą co do wartości podwojonej sile od pojedynczego spocznika

Schemat statyczny dla wariantu 1:

Q1 = 2x(2.2kN)=4.4kN

G = 0.477kN/m

2.65

2

P⋅l

⋅

0

q l0

M

:=

+

=

⋅ ⋅

max1

3.522 kN m

4

8

Przypadek 2 - obciążenie stałe jak dla przypadku 1 + obciążenie zmienne użytkowe -

tłum:

Q1 = 1.65kN/m

G = 0.477kN/m

2.65

2

2

Q⋅l

⋅

⋅

0

P l0

q l0

M

:=

+

+

=

⋅ ⋅

max2

5.119 kN m

8

4

8

Przypadek 3 - obciążenie stałe jak dla przypadku 1 + obciążenie zmienne - montażowe: Pq = 3kN

Q1 = 2x(2.2kN)=4.4kN

G = 0.477kN/m

2.65

2

P ⋅

⋅

⋅

q l0

P l0

q l0

M

:=

+

+

=

⋅ ⋅

max3

5.609 kN m

4

4

8

Sprawdzenie warunku SGN:

Mmax1

σ

:=

=

⋅

<

warunek SGN spelniony

1m

1.685 MPa

σ1m fmd1

Wy

σ

<

warunek SGN spelniony

2m

fmd2

Mmax2

σ

:=

=

⋅

2m

2.449 MPa

Wy

σ

<

warunek SGN spelniony

3m

fmd3

Mmax3

σ

:=

=

⋅

3m

2.683 MPa

Wy

SPRAWDZENIE SGU.

1.1 Wartoś ci charakterystyczne oddziaływan.

kN

q

:=

oddzialywanie od ciezaru wlasnego belki G

0.353 m

q

:=

⋅

oddziaływanie od belek policzkowych GS

2.2 2kN

kN

q

:=

oddzialywanie od obc. uzytkowego Q1

Q.1

1.1 m

q

:=

oddziaływanie od obc. uzytkowego Q2

Q.2

2kN

1.2 Okreslenie wartości liczbowych potrzebnych do wyznaczenia ugięc.

k

:=

(EC 5 tab. 3.2 dla drewna litego, klasa użytkowania 1) def

0.6

ψ

:=

:=

:=

(EC 0 tab.A 1.1)

21

0.3

ψ01

0.7

ψ02

0.7

l := 2.65m

l = 9.464

< 20

h

kN

E

:=

=

⋅

0mean

10

E0mean 10000 MPa

2

mm

1.3 Obliczenie ugięcia belki.

l > 20

dla obliczenia u

stosujemy wzór

EC5 - NA.1

inst

hs

3

b⋅h

4

4

I :=

=

×

⋅

y

2.927

10 cm

12

4

⋅

3

⋅

5

qG l

qGS l

u

:=

⋅

1

+

⋅

=

⋅

M1

0.66 mm

384 E

⋅

⋅

0mean Iy

48 E0mean Iy

u

:=

instG

uM1

4

⋅

5

qQ.1 l

u

:=

⋅

=

⋅

M2

0.024 cm

384 E

⋅

0mean Iy

u

:=

instQ1

uM2

3

⋅

1

qQ.2 l

u

:=

⋅

=

⋅

instQ2

0.026 cm

48 E

⋅

0mean Iy

u

:=

finG

uinstG

u

:=

⋅(

+

⋅

) =

⋅

finQ1

uinstQ1 ψ01 ψ21 kdef

0.021 cm

u

:=

⋅(

+

⋅

) =

⋅

finQ2

uinstQ2 ψ02 ψ21 kdef

0.023 cm

warunek na dopuszczalne ugiecie bleki stropowej l/150<wfin

u

:=

+

+

=

⋅

fin

ufinG ufinQ1 ufinQ2 1.106 mm

l

= 10.6⋅mm

250