(D) podobieństwo macierzy maciez kwadratowa /A nazywamy podobna do macierzy kwadratowej |B jeżeli istnieje nieosobliwa macierz |P taka, ze : |B=|P^-1/A|P Macierz |P nazywamy macierza podobieństwa (D)macierz nieosobliwa det |P ≠0 -> posiada macierz odwrotna. (TW) podobieństwo macierzy Jeżeli macierz A jest podobna do macierzy B z macierza podobieństwa P to macierz B jest podobna do macierzy A z macierza podobieństwa P1=P^-1czyli : B=P^-1AP /// PB=PP^-1AP /// PB=AP PBP^-1=APP^-1 // A= PBP^-1 (D) macierz ortogonalna macierz kwadratowa i nieosobliwa A nazywamy ortogonalna jeżeli AA^T=E własności macierzy ortogonalnych W.1 macierz A jest ortogonalna AT=A-1 Dowod AAT=E // AA-1=A-1A=E // AAT= AA-1 // A-1AAt=A-1AA-1 // AT=A-1 // AA-1=AAT=E W.2 jeżeli macierz jest ortogonalna to AAT=ATA // AT=A-1// AA-1=A-1A=E AAT=ATA W.3 jeżeli macierz A jest ortogonalna to det A=+/- 1 Dowod AAT=E det (AAT=detE det E=1 detA=detAT dla macierzy kwadratowych det (AB)=det A * det B det (AAT)=1 -> det(AAT)=detA*detAt=1 (detA)2=1 -> detA=+/-1 W.4 macierz Aij jest ortogonalna ∑aik*ajk=δij ; ∑aki*akj=δij gdzie δij={ 1 dla i=j; 0 dla i≠j Wzor 1 mowi ze w macierzy ortogonalnej suma kwadratow wyrazow dowolnego wiersza wynosi 1, suma iloczynow odpowiednich wyrazow dwoch roznych wierszy wynosi 0. Przestrzenie dowolny wektor aEv2 możemy zawsze zapisac w postaci a=a1e1+a2e2 gdzie a1,a2- stale liczbowe zwane współrzędnymi wektora a w bazie B (D) baza ortonormalna jeżeli jej elementy SA do siebie wzajemnie prostopadle i maja długość 1. V2 -> e1 _|_ e2 i |e1|=|e2|=1 v3-> |e1|=|e2|=|e3|=1 wszystkie prostopadle uzasadnienie aEv2; a=a1e1+a2e2 B={e1,e2} Jak zmienia się współrzędne wektora jeżeli zmienimy baze ? B={ e1,e2,e3} B’={ e1’,e2’,e3’}; e1,e2,e3Ev3 ; e1’,e2’,e3’Ev3 ; e1’=p11’e1+p21’e2+p31’e3 e2=…; e3=…;([e1’ e2’ e3’] = [e1 e2 e3]P) (D) macierz przejscia P=[Pij’]=[p11’ p21’ p31’……] nazywamy macierza przejscia od bazy B do bazy B’ (TW) macierz przejscia P od bazy ortonormalnej do bazy ortonormalnej jest zawsze macierza ortogonalna. Praktyka P-1=PTczyli [e1 e2 e3][x1 x2 x3]TB=[e1 e2 e3]P[x1’ x2’ x3’]TB(TW) ortogonalność bazy |e1|=|e2|=|e3|=1 |ei|=pierw(x2+y2+z2) oraz e1 ºe1’=0; e2 ºe2’=0; e3 ºe3’=0 (D) operacja liniowa A:v3->v3 nazywamy liniowa jeżeli jest ona: addytywna : /x1,x2EV3\ A(x1+ x2)=A(x1)+A(x2) ; jednorodność /xEV3\/αER\ A(αx)=αA(x) (D) operacja identycznosciiowa operacje E:V3->V3 nazywamy operacja jednostkowa identycznosciowa lub tożsamościowa gdy /xEV3\ E(x)=x działania na operacjach liniowych A,B: V3->V3 i niech A,b – dowolne operacje liniowe suma: A+B:V3->V3 /xEV3\ (A+B)x=A(x)+B(x) iloczyn αA:V3->V3 /xEV3\ (αA)x=αA(x) Kazdej operacji liniowej w danej bazie B={e1, e2, e3} odpowiada macierz operacji, która będziemy oznaczali symbolem AB. wyznaczanie macierzy operacji AB V3->V3 macierz stopnia 3; V2->V2 macierz stopnia 2;A(e1)=f1=α11e1+ α21e2+ α31e3; A(e2)…;A(e3)… AB=[αij]B=[ ]B Postas macierzowa [ ]=[ ] *[ ] -> [ ]=ABT[ ] wyznaczyc obraz wektora x przy operacji A?1) ze wzoru na operacje A mp. Y=A(x)=a(aºx); 2) wykorzystującmacierzoperacji yB=AB*xB [ ]=AB[ (TW)macierz podobieństwa danej operacji liniowej w roznych bazach odpowiadaja zawsze macierze podobne. Jeżeli operacji liniowej A w bazie B odpowiada macierz tej operacji AB, natomiast w bazie B’ odpowiada macierz operacji AB’ i P jest macierza przejscia z bazy B do B’ to AB’=P-1ABP (TW) wlasnosci operacji liniowych 1)jeżeli operacji liniowejA w bazie B odpowiada macierz AB, operacji liniowej B w bazie B odpowiada macierz BB, to operacji A+B w bazie B odpowiada macierz AB+BB 2) operacji αA w bazie B odpowiada macierz αAB 3) aby dodac dwie operacje do siebie wystarczy dodac macierze tych oepracji. 4) jeżeli chcemy przemnożyć operacje przez liczbe wystarczy przemnożyć macierz operacji przez liczbe. (D)= wartość wlasna Licybe λ nazywamy wartością wlasna operacji liniowej jeżeli istnieje niezerowy wektor x taki ze : A(x)=λx Niezereowy wektorX który spelnia powyzsza równość nazywamy wektorem wlasnym operacji A odpowiadającym wartości wlasnej λ interpretacja geometryczna wartości wlasnej A(x)=λx x≠0 λ>0 zwrot wektora λx zachowany; λ<0 - przeciwny (TW) własności wektorow wlasnych jeżeli x jest wektorem wlasnymoperacji liniowej A, to każdy wektor y=αx, α≠0 jest tez wektorem wlasnym tej operacji odpowiadającym tej samej wartości wlasnej λ. Dowod A(x)=λx -> αA(x)=αλx (operacja jest liniowa)-> A(αx)=λαx ->A(y)=λy, y wektor wlasny dla wartosci wlasnej λ danemu wektorowi wlasnemu, który odpowiada wartości wlasnej λ odpowiada nieskonczenie wiele wektorow wlasnych. ;wektory leza na prostej L- nazywamy ja kierunkiem wlasnym, odpowiada on danej wartości wlasnej. (TW) własności wartości wlasnej) jeżeli danej wartości wlasnej λ odpowiadaja wektory wlasne x1 oraz x2 (liniowo niezależne) to dowolny niezerowy wektor x=αx1+βx2, α,β stale, jest także wektorem wlasnym odpowiadającym tej samej wartosci wlasnej λ. Dowod A(x)=λx ; a(x)=A(αx1+βx2)=A(αx1)+A(βx2)= αA(x1)+ βA(x2)=λ(αx1+βx2)=λx wyznaczanie wartości wlasnych i wektorow wlasnych operacji liniowej (AB-λE)xB=0 (y=A(x) o yB=ABxB i A(x)=λx) rownanie to ma niezerowe rozwiązanie gdy det (Ab- λE)xB=0 jest to rownanie charakterystyczne operacji A lub macierzy AB. Pierwiastki tego równania będą wartościami wlasnymi operacji A. Rozwiazania układu rownan (AB λE)[x1 x2 x3]=0 będą składowymi odpowiednich wektorow wlasnych. (D) operacja symetryczna i antysymetryczna) operacje A:V3-> V3 nazywamy: a) symetryczna /x,yEV3\ yºA(x)=xºA(y); b)antysymetryczna /x,yEV3\ yºA(x)=-xºA(y) (TW) macierz symetryczna Macierz A jest symetryczna gdy dla dowolnej ortogonalnej macierzy P, macierz B=P-1AP jest tez symetryczna. dowodA –symetryczna A=AT; PT=P-1 ; BT=(P-1AP)T=PTAT(P-1)T=P-1AT(PT)T= P-1ATP=P-1AP=B <= B symetryczn czyli B=BTpokazac ze A=AT; P-1AP=P-1ATP -> A=ATwniosek jeżeli macierz AB danej operaci liniowej jest symetryczna w jednej bazie, to jest ona symetryczna we wszystkich bazach. (TW) wektory wlasne operacji symetrycznej odpowiadające roznym wartością wlasnym SA ortogonalne dowod A(x1)=λ1x1 ; A(x2)=λ2x2 ; λ1≠ λ2 ; x2 ºA(x1)=x2º(λ1x1) =λ1(x1ºx2) ; x1ºA(x2)=λ2(x1ºx2) ; x2 ºA(x1)- x1ºA(x2)= λ1(x1ºx2)- λ2(x1ºx2) ; yºA(x) = x ºA(y) ; x2ºA(x1)- x1ºA(x2)=(λ1-λ2) (x1ºx2) ; 0=(λ1-λ2) (x1ºx2) ; x1ºx2=0 ;x1_|_x2