Akademia Górniczo-Hutnicza

Im. Stanisława Staszica w Krakowie

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Temat nr 26:

Rozwiązać ramę statycznie niewyznaczalną.

1. Schemat ramy:

1. Sprawdzam wyznaczalność ramy:

1. Wewnętrznie:

Nw=3*t-3*(p+w-1)

t=4

p=3

w=2

Nw=3*4-3*(3+2-1)=0

1. Zewnętrznie:

Nz=n-3

N=4

Nz=4-3=1

Rama jest jednokrotnie zewnętrznie niewyznaczalna.

1. Schemat zastępczy oraz obliczenia reakcji zastępczych w podporach:

$${\sum_{}^{}M_{\text{iB}} = {V'}_{A}*4,5 - P*7 = 0\backslash n}{V_{A} = \frac{7}{4,5}*P = 93,33kN\backslash n}{\sum_{}^{}{P_{\text{ix}} = {H'}_{A} - P = 0 = > {H'}_{A} = 60kN}\backslash n}{\sum_{}^{}{P_{\text{iy}} = {V'}_{A} - {V'}_{B} = 0 = > {V'}_{B} = {V'}_{A} = 93,33kN}}$$

1. Obliczenie momentu gnącego:

1. Lewy słup:

0 ≤ z < 7

M′(z) = −H^′_A * z ∖ nM′(z=0) = 0 ∖ nM′(z=7) = −420 kNm

1. Rygiel:

0 ≤ z < 4, 5

M′(z) = −H^′_A * 7 + V^′_A * z ∖ nM′(z=0) = −420 kNm ∖ nM′(z=4,5) = 0 kNm

1. Prawy słup:

0 ≤ z < 7

M′(z) = 0

1. Wykres momentów gnących od sił zastępczych:

1. Schemat ramy z jednostkową siła X₁=1:

2. Obliczanie momentu gnącego:

1. Lewy słup:

0 ≤ z < 7

M″(z) = −H^″_A * z ∖ nM″(z=0) = 0 ∖ nM″(z=7) = −7 kNm

1. Rygiel:

0 ≤ z < 4, 5

M^″(z)= − H^″_A * 7 = −7kNm ∖ n

1. Prawy słup:

0 ≤ z < 7

M″(z)= − X₁ * z ∖ nM″(z=0) = 0 ∖ nM″(z=7) = −7 kNm

1. Wykres momentów gnących od jednostkowej siły X₁:

1. Wyznaczam nieznaną reakcję w podporze B:

Używam do tego równania kanonicznego. Do wyznaczenia poszczególnych elementów równania korzystam z wykresów obciążeń.

δ₁₁*X₁+δ_1P=0

$$\delta_{11} = \frac{1}{\text{EI}}*\left\lbrack \left( \frac{1}{2}*\left( - 7 \right)*7 \right)*( - \frac{2}{3}*7) \right\rbrack*2 + \left( - 7 \right)*4,5*\left( - 7 \right) = 449,17*\frac{1}{\text{EI}}$$

$$\delta_{1P} = \frac{1}{\text{EI}}*(\frac{1}{2}*\left( - 420 \right)*7*\left( - \frac{2}{3}*7 \right) + \frac{1}{2}*\left( - 420 \right)*4,5*\left( - 7 \right) = 13475*\frac{1}{\text{EI}}$$

$$\mathbf{\delta}_{\mathbf{11}}\mathbf{*}\mathbf{X}_{\mathbf{1}}\mathbf{+}\mathbf{\delta}_{\mathbf{1}\mathbf{P}}\mathbf{= 0 =} > \mathbf{X}_{\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\delta}_{\mathbf{1}\mathbf{P}}}{\mathbf{\delta}_{\mathbf{11}}}\mathbf{=}\frac{\frac{1}{\text{EI}}*13475}{\frac{1}{\text{EI}}*449,17} = 30kN$$

X₁=30kN

1. Wyznaczam resztę reakcji w podporach:

$${\sum_{}^{}M_{\text{iB}} = V_{A}*4,5 - P*7 = 0\backslash n}{V_{A} = \frac{7}{4,5}*P = 93,33kN\backslash n}{\sum_{}^{}{P_{\text{ix}} = H_{A} - H_{B} - P = 0 = > H_{A} = 90kN}\backslash n}{\sum_{}^{}{P_{\text{iy}} = V_{A} - V_{B} = 0 = > V_{B} = V_{A} = 93,33kN}}$$

1. Obliczam moment gnący, siłę poprzeczną i normalną:

Momenty gnące:

1. Lewy słup:

0 ≤ z < 7

M(z) = −H_A * z ∖ nM(z=0) = 0 ∖ nM(z=7) = −210 kNm

1. Rygiel:

0 ≤ z < 4, 5

M(z) = −H_A * 7 + V_A * z

M(z=0) = −210 kNm ∖ nM(z=4,5) = 210 kNm ∖ n

1. Prawy słup:

0 ≤ z < 7

M(z)=H_B * z ∖ nM(z=0) = 0 ∖ nM(z=7) = 210 kNm

Siły poprzeczne:

1. Lewy słup:

0 ≤ z < 7

T(z)=−H_A = −30 kN

1. Rygiel:

0 ≤ z < 4, 5

T(z)=V_A = 93, 33 kN ∖ n

1. Prawy słup:

0 ≤ z < 7

T(z)=−H_B = −30 kN

Siły normalne:

1. Lewy słup:

0 ≤ z < 7

N(z) = −V_A = −93, 33 kN

1. Rygiel:

0 ≤ z < 4, 5

N(z) = −P + V_A = −30 kN ∖ n

1. Prawy słup:

0 ≤ z < 7

N(z)=V_B = 93, 33 kN

1. Wykresy momentów gnących, sił poprzecznych i sił normalnych:
   

1. Wykres sił normalnych:
   

1. Wykres sił poprzecznych:
   

1. Wykres momentów gnących: