Wrocław 26.12.2013r.

Wydzial Budownictwa Lądowego i Wodnego

Politechnika Wrocławska

PODSTAWY STATYKI BUDOWLI

Projekt nr 2

Rama

Wykonał : Dominik Socha

Nr. Indeksu : 203160

Sprawdzający : Dr inż. Marek Kopiński, doc

Sprawdzenie geometrycznej niezmienności i statycznej wyznaczalności układu

Jako pierwszy sprawdźmy warunek ilościowy :

Ilość tarcz e=3

Ilość więzi zewnętrznych ez=2+1+2=5

Ilość więzi wewnętrznych ew=2+2=4

Warunek ilościowy

3e=ez+ ew

3*3=5+4

W takim wypadku układ jest statycznie wyznaczalny

Teraz sprawdzamy warunek jakościowy :

Tarcza numer 1 jest połączona z ostoją 3 nierównoległymi i niezbieżnymi więziami w takim wypadku jest ona połączona sztywno. Następnie korzystając z twierdzenia o 3 tarczach (Układ złożony z trzech tarcz (jedna podstawowa), w którym każda para tarcz, połączona jest za pomocą dwóch więzi elementarnych, jest geometrycznie niezmienny jeśli środki wzajemnych obrotów tych tarcz nie leżą na jednej prostej. ) możemy przyłączyć tarcze 2 i 3 ponieważ są one połączone z powstałym przed chwilą układem sztywnym przy pomocy przegubu łączącego tarcze 1 i 2/ przegubu łączącego tarcze 2 i 3 oraz 2 więzi między O a 3, a jako że nie leżą one na jednej prostej to cały układ jest sztywny – geometrycznie niezmienny.

W takim wypadku nasza rama jest SW i GN

Wyznaczenie reakcji podporowych

Zacznijmy może od rozłożenia siły P2 jako siłę działającą pionowo w górę oraz poziomą w lewo skierowaną zgodnie oczywiście z zasadami trygonometrii, siłę P2 o wartości 21kN rozłożyłem na dwie pomocnicze o wartościach około 14,85kN i takie 2 siły będę przyjmował do kolejnych obliczeń.

Tak wygląda nasza rama z zaznaczonymi niewiadomymi siłami oraz po zmianie zwrotu momentu tak wartość liczbowa była dodatnia.

Teraz wyliczamy nieznane Nam reakcje Va, Ma, Vb, Vc oraz Hc.

W kolejnych obliczeniach będziemy uwzględniali wyliczone uprzednio niewiadome. 

$$1.\ \ \Sigma M_{D}^{P} = 0 \Rightarrow \ - 6\ Hc + \frac{12*6}{2}*\ \frac{1}{3}*6 + Vc*0 = 0$$

Hc=12 kN

2. $\Sigma X = 0\ \Rightarrow \ Va - 14,85 - 16 + 12 - \frac{12*6}{2} = 0$

Va=54, 85 kN

3.   ΣM_F^L = 0 ⇒   − Ma + 14, 85 * 2, 5 + 44 + 3 * 16 + Va * 0 + Vb * 0 − 14, 85 * 0 = 0

Ma=129, 125kNm

$$4.\ \ \ \Sigma M_{B} = 0 \Rightarrow - 129.125 + 54,85*5 - 14,85*5 + 14,85*2,5 + 44 - 16*2 + Vb*0 + 12*4*\left( \frac{4}{2} + 4 \right) - 8Vc + 2*12 - \frac{12*6}{2}*6 = 0$$

Vc=27kN

5. ΣY = 0  ⇒  14, 85 + Vb − 12 * 4 + 27 = 0

Vb=6, 15 kN

Tabela z wynikami

Hc=12 kN
Va=54, 85 kN
Ma=129, 125kNm
Vc=27kN
Vb=6, 15 kN

Sprawdzenie

$$\Sigma M_{e} = - 129,125 - 54,85*3 + 14,85*6,5 + 14,85*3 + 44 + 6,15*4 + 16*6 + 48*2 - 12*6 - 27*4 + 12*\frac{6}{2}*2 = 0$$

Po wyliczeniu reakcji nasza rama wygląda tak

Wyznaczanie przepisów funkcyjnych sił osiowych, tnących oraz momentów zginających

SIŁY OSIOWE

Przedział A;G ⇒ x∈(0;2,5)

N (A;G) = −V_a= -54,85kN

Przedział G;F ⇒ x∈(0;2,5)

N (G;F) = −V_a + 14,85 = -54,85kN +14,85 = - 40kN

Przedział B;H ⇒ x∈(0;2)

N (B;H) = −Vb = - 6,15kN

Przedział H;F ⇒ x∈(0;3)

N (H;F) = N (B;H) = −Vb = - 6,15kN

Przedział C;D ⇒ x∈(0;6)

N (C;D) = -Vc = -27kN

Przedział D;E ⇒ x∈(0;4)

N (D;E) = T_D^P= 12 – $\frac{12*6}{2}$ = 24kN

Przedział F;E ⇒ x∈(0;3)

Dla tego przedziału przyjmuje inny układ współrzędnych, obliczenia dotyczące sił osiowych, sił tnących oraz momentów zginających dla tego przedziału wykonam osobno pod obliczeniami dla pozostałych przedziałów

SIŁY TNĄCE

Przedział A;G ⇒ x∈(0;2,5)

T(A;G) = 0kN

Przedział G;F ⇒ x∈(0;2,5)

T(G;F) = 14, 85kN

Przedział B;H ⇒ x∈(0;2)

T(B;H) = 0kN

Przedział H;F ⇒ x∈(0;3)

T(H;F) = P1 = 16kN

Przedział C;D ⇒ x∈(0;6)

T(C;D) = - Hc + Qx

Qx wyliczamy z zależności

Gdzie

$$\frac{\text{qx}}{x} = \frac{q}{6}$$

Z tego qx = $\frac{12}{6}x = 2x$

A nasze Qx

Qx = 0.5*qx*x = x²

Dlatego też

T(C;D) = - Hc + Qx = - 12 + x²

T(x=0) = - 12 kN +(0)² = - 12 kN

T(x=2$\sqrt{3}$) = - 12 kN + ${(2\sqrt{3})}^{2}$ = 0kN

T(x=6) = - 12 kN + (6)² = 24kN

Przedział D;E ⇒ x∈(0;4)

T(D;E) = - N (C;D) + q*x

T(D;E) = -27 + 12*x

T(x=0) = - 27kN

T(x=2,25) = -27 + 12 * 2,25 = 0kN

Przedział F;E ⇒ x∈(0;3)

Obliczenia dla tego przedziału także znajdą się poniżej

MOMENTY ZGINAJĄCE

Przedział A;G ⇒ x∈(0;2,5)

M (A;G) = − Ma + Va * 0 =   − 129, 125kNm + 54,85 * 0 = - 129.125kNm

Przedział G;F ⇒ x∈(0;2,5)

M (G;F) = M (A;G) + 14,85 * x +Va * 0 – 14,85 * 0

M (G;F) = -129,125 + 14,85 * x + 54,85 * 0 – 14,85 * 0 = -129,125 + 14,85 * x

M (x=0) = - 129.125kNm

M (x=2,5) = - 129.125 +14,85 * 2.5 = -92kNm

Przedział B;H ⇒ x∈(0;2)

M (B;H) = - Vb * 0

M (B;H) = -6,15 * 0 = 0kNm

Przedział H;F ⇒ x∈(0;3)

M (H;F) = M (B;H) + M +P1*x

M (H;F) = 0 + 44 + 16 * x

M (x=0) = 44kNm

M (x=3) = 92kNm

Przedział C;D ⇒ x∈(0;6)

M(C;D) = Vc*0 + Hc * x – Qx * $\frac{1}{3}x$ = 12*x - $\frac{x^{3}}{3}$

M (x = 0 ) = 0kNm

M (x=2$\sqrt{3}$) = 12* 2$\sqrt{3}$ - $\frac{{(2\sqrt{3})}^{3}}{3}$ = 16$\sqrt{\mathbf{3}}$kNm ⇒ekstremum

M (x=6) = 0kNm

Przedział D;E ⇒ x∈(0;4)

M(D;E) = M(C; D)_x = 6 - N (C; D) * x - q * x *$\ \frac{x}{2}$

M(D;E) = 0 – ( -27) * x – 12 * x *$\ \frac{x}{2}$

M(x=0) = 0kNm

M(x=2,25) = 27 * 2,25 – 12 * 2,25 *$\ \frac{2,25}{2}$ = 30,375kNm ⇒ ekstremum

M(x=4) = 12kNm

Przedział F;E ⇒ x∈(0;3)

Sprawdźmy na początku jak wyglądają wypadkowe reakcji działających na ramę w punkcie F po lewej stronie przegubu

Ustalając nowe, odwrócone osie współrzędnych nasz kawałek po paraboli wygląda tak

Dla f = 4 a l = 2*3 = 6, nasze równanie paraboli będzie miało zatem postać

$$Y = \frac{4fx}{l^{2}}\left( l - x \right) = \frac{4*4*x}{6^{2}}\left( 6 - x \right) = \frac{4x}{9}\left( 6 - x \right)$$

SIŁY OSIOWE I TNĄCE

N (F;E) = -24 * sin α – 21 cos α

T (F;E) = + 21 * sin α – 24 cos α

x	tgα	α	cosα	sinα	N(x) [kN]	T(x) [kN]
0	2,666667	69,443955	0,351131	0,936349	-29,8461	11,23619
0,5	2,222222	65,772255	0,410365	0,911922	-30,5038	9,301607
1	1,777778	60,642246	0,490261	0,871575	-31,2133	6,536813
1,5	1,333333	53,130102	0,6	0,8	-31,8	2,4
2	0,888889	41,633539	0,747409	0,664364	-31,6403	-3,98618
2,5	0,444444	23,962489	0,913812	0,406139	-28,9374	-13,4026
3	0	0	1	0	-21	-24

MOMENTY ZGINAJĄCE

M (F;E) = 24 * x – 21 * y = 24 * x – 21 * $\frac{4x}{9}\left( 6 - x \right)$ = 24 * x – $\frac{28x}{3}\left( 6 - x \right)$

M (x=0) = 0kNm

M (x=0,5) = -13,66kNm

M (x=1) = -22,66kNm

M (x=1,5) = -27kNm

M (x=2) = -26,66kNm

M (x=2,5) = -21,66kNm

M (x=3) = -12kNm

Moment ekstremalny wyliczony z T=0 wyszedł w miejscu x=1,7143 i wynosi

M_ekstr. = −27, 43kNm

Ze względu na czytelność wykresów, zaznacze wartości tylko dla punktów x= (0,1,2 i 3)

Wykresy