Nr ćwiczenia: 11	Adrian Cholewa		Data wykonania: 4.06.2008r.
WB Gr. 2	Tytuł ćwiczenia: Zjawisko Halla	Ocena:	Podpis:

Celem ćwiczenia był pomiar napięcia Halla, wyznaczenie stałej Halla R oraz wyznaczenie koncentracji nośników prądu w półprzewodniku. Do przeprowadzenia ćwiczenia używaliśmy takich przyrządów jak, miliwoltomierz, miliamperomierz, amperomierz, zasilacz stabilizowany prądu stałego, autotransformator, prostownik, elektromagnes, przełącznik. Pomiarów dokonywaliśmy na próbce półprzewodnikowej.

II. Układ pomiarowy składał się z trzech obwodów:

- obwód do przepuszczania przez próbkę prądu sterującego Ix

- obwód służący do pomiaru napięcia Halla

- obwód służący do wytworzenia pola magnetycznego między biegunami elektromagnesu gdzie znajduje się badana próbka

Tabela pomiarowa

Natężenie prądu magnesującego  IM[A]	Wartośc indukcji pola magnetycznego  B[T]	Natężenie prądu sterującego  I[A]	Napięcie Halla	Średnie wartość napiecia  UH[V]
			UH1[V]	UH2[V]
1,2	0,48	0,54	0,026	0,025
		1,00	0,046	0,048
		1,50	0,067	0,073
		2,00	0,088	0,099
		2,50	0,111	0,124
		3,00	0,132	0,150
		3,50	0,153	0,175
		4,00	0,174	0,200
		4,50	0,194	0,224
		5,00	0,214	0,248
2,8	1,12	0,54	0,051	0,052
		1,00	0,096	0,101
		1,50	0,144	0,152
		2,00	0,191	0,203
		2,50	0,235	0,254
		3,00	0,284	0,304
		3,50	0,329	0,353
		4,00	0,376	0,403
		4,50	0,420	0,452
		5,00	0,463	0,500

d = 8 × 10⁻⁶

Wartość indukcji pola magnetycznego B[T]=0, 4I_M

1. Dla prądu magnesującego 1,2 B[T]=0, 48

2. Dla prądu magnesującego 2,8 [T]=1, 12

Obliczam stała Halla R $\left\lbrack \frac{m^{3}}{c} \right\rbrack$

$$R = \frac{U_{H} \times d}{I \times B}$$

1. $R_{1} = \frac{0,026 \times 8 \times 10^{- 6}}{0,54 \times 0,48} = 0,00000080246$

R₂ = 0, 00000078333

R₃ = 0, 00000077778

R₄ = 0, 00000077917

R₅ = 0, 00000078333

R₆ = 0, 00000078333

R₇ = 0, 00000078095

R₈ = 0, 00000077917

R₉ = 0, 00000077000

R₁₀ = 0, 00000077407

$$\overset{\overline{}}{R} = 0,00000078136$$

1. R₁ = 0, 00000068122

R₂ = 0, 00000070357

R₃ = 0, 00000070476

R₄ = 0, 00000070357

R₅ = 0, 00000069857

R₆ = 0, 00000070000

R₇ = 0, 00000069592

R₈ = 0, 00000069554

R₉ = 0, 00000069206

R₁₀ = 0, 00000068786

$$\overset{\overline{}}{R} = 0,00000069631$$

Obliczam niepewność od R

$$R = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{10}\left( R_{i} - R \right)^{2}}{n(n - 1)}}$$

1. u(R)=0,00000000271

2. u(R)=0,00000000239

Niepewność natężenia prądu sterującego [A]

u(I) = I_i × 0, 04 [A]

I1	0,54	×	0,04	=	0,0216
I2	1,00	×	0,04	=	0,04
I3	1,50	×	0,04	=	0,06
I4	2,00	×	0,04	=	0,08
I5	2,50	×	0,04	=	0,1
I6	3,00	×	0,04	=	0,12
I7	3,50	×	0,04	=	0,14
I8	4,00	×	0,04	=	0,16
I9	4,50	×	0,04	=	0,18
I10	5,00	×	0,04	=	0,2
I1	0,54	×	0,04	=	0,0216
I2	1,00	×	0,04	=	0,04
I3	1,50	×	0,04	=	0,06
I4	2,00	×	0,04	=	0,08
I5	2,50	×	0,04	=	0,1
I6	3,00	×	0,04	=	0,12
I7	3,50	×	0,04	=	0,14
I8	4,00	×	0,04	=	0,16
I9	4,50	×	0,04	=	0,18
I10	5,00	×	0,04	=	0,2

Niepewność Napięcia Halla [V]

u(U_H) = U_Hi × 0, 04 [V]

0,026	×	0,040	=	0,001
0,047	×	0,040	=	0,002
0,070	×	0,040	=	0,003
0,094	×	0,040	=	0,004
0,118	×	0,040	=	0,005
0,141	×	0,040	=	0,006
0,164	×	0,040	=	0,007
0,187	×	0,040	=	0,007
0,209	×	0,040	=	0,008
0,231	×	0,040	=	0,009
0,052	×	0,040	=	0,002
0,099	×	0,040	=	0,004
0,148	×	0,040	=	0,006
0,197	×	0,040	=	0,008
0,245	×	0,040	=	0,010
0,294	×	0,040	=	0,012
0,341	×	0,040	=	0,014
0,390	×	0,040	=	0,016
0,436	×	0,040	=	0,017
0,482	×	0,040	=	0,019

Do obliczenia koncentracji elektronów posłużę się wzorem $n = \frac{1}{R \times e}$

koncentracja elektronw n × 10^24	kwadrat odchylenie od średniej $(n_{i} - \overset{\overline{}}{n}) \times 10^{24}$
7,7885	0,044327092
7,9787	0,000411278
8,0357	0,00134689
8,0213	0,00049729
7,9787	0,00041209
7,9787	0,00041209
8,0030	1,6E-05
8,0213	0,00049729
8,0741	0,00564001
8,1168	0,01387684
$\overset{\overline{}}{n} =$7,999
9,1474	0,02910436
8,8832	0,00876096
8,8682	0,01179396
8,8832	0,00876096
8,9468	0,0009
8,9285	0,00233289
8,9809	1,681E-05
8,9858	8,1E-05
9,0309	0,00292681
9,0861	0,01194649
$$\overset{\overline{}}{n} = 8,9768$$

Wnioski:

W ćwiczeniu wyznaczono koncentrację nośników prądu oraz stałą Halla. Znając koncentrację nośników prądu, a więc stałą Halla, oraz mierząc natężenie prądu płynącego przez próbkę o znanej grubości i napięcie Halla można wyznaczyć indukcję pola magnetycznego :

⇒

Napięcie Halla jest proporcjonalne do natężenia prądu płynącego przez próbkę i wartości indukcji pola magnetycznego oraz odwrotnie proporcjonalne do grubości próbki.

Wykres przedstawiający zależność U_H = f(I_X) , potwierdza powyższe stwierdzenie gdyż obrazem tej charakterystyki jest linia prosta.

Urządzenia półprzewodnikowe służące do pomiaru natężenia indukcji pola magnetycznego oparte na zjawisku Halla nazywamy halotronami.

Napięcie Halla:

$$U_{H} = \frac{U_{H1} + U_{H2}\ }{2}$$

$U_{H1} = \frac{0,026 + 0,025}{2} = 0,0255$ [V]

U_H2 = 0, 047 [V]

U_H3 = 0, 07 [V] 

U_H4 = 0, 0935[V]

U_H5 = 0, 1175[V]

U_H6 = 0, 141[V]

U_H7 = 0, 164[V]

U_H8 = 0, 187[V]

U_H9 = 0, 209[V]

U_H10 = 0, 231[V]

Wartość indukcji pola magnetycznego B obliczam ze wzoru:

B[T] = 0, 4I_M

Dla I_M = 1,2 [A] wartość indukcji wynosi: B[T] = 0,4*1,2 =0,48

Dla I_M = 2,8[A] wartość indukcji wynosi: B[T] = 0,4*2,8 =1,12

Grubość płytki półprzewodnikowej wynosi d = 8*10^-6m

Stałą Halla dla I_M = 1,2 [A] wyznaczam z zależności:

$$R = \frac{U_{H}*d}{I_{x}*B}$$

$$R_{1} = \frac{0,0255*8*10^{- 6}}{0,54*0,48} = 7,87*10^{- 7}$$

R₂=7,83*10^-7

R₃=7,77*10^-7

R₄=7,79*10^-7

R₅=7,83*10^-7

R₆=7,83*10^-7

R₇=7,81*10^-7

R₈=7,79*10^-7

R₉=7,74*10^-7

R₁₀=7,70*10^-7

R_śr.=1,41*10^-5

Koncentrację nośników prądu wyznaczam z zależności:

$$n = \frac{1}{e*R}$$

e = 1,6*10^-19 C

$$n_{1} = \frac{1}{1,6*10^{- 19}*7,87*10^{- 7}} = 7,94*10^{14}$$

n₂ = 7,98*10¹⁴

n₃ = 8,0410¹⁴

n₄ = 8,0210¹⁴

n₅ = 7,98*10¹⁴

n₆ = 7,98*10¹⁴

n₇ = 8,00*10¹⁴

n₈ = 8,02*10¹⁴

n₉ = 8,07*10¹⁴

n₁₀ = 8,12*10¹⁴

n_śr = 8,02*10¹⁵

Niepewność wielkości R wyznaczam ze wzoru:

$$u\left( R \right) = \sqrt{\left( \frac{d}{I_{x}*B}*u(U_{H}) \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}}{I_{x}*B}*u(d) \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}*d}{B*I_{x}^{2}}*u(I_{x)} \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}*d}{I_{x}*B^{2}}*u(B) \right)^{2}}$$

Grubość płytki półprzewodnikowej przyjmuje jako wartość nie obarczoną błędem, dlatego u(d) = 0. Z tego względu powyższe równanie otrzymuje postać:

$$u\left( R \right) = \sqrt{\left( \frac{d}{I_{x}*B}*u(U_{H}) \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}*d}{B*I_{x}^{2}}*u(I_{x)} \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}*d}{I_{x}*B^{2}}*u(B) \right)^{2}}$$

u(B) = 0,02

$$u\left( R_{1} \right) = \sqrt{\left( \frac{8*10^{- 6}}{0,54*0,48}*0,083 \right)^{2} + \left( \frac{0,0255*8*10^{- 6}}{0,48*{0,54}^{2}}*0,47 \right)^{2} + \left( \frac{0,0255*8*10^{- 6}}{0,54*{0,48}^{2}}*0,02 \right)^{2}} = 2,651*10^{- 6}$$

u(R₂)= 1,432*10^-6

u(R₃)= 2,460*10^-6

u(R₄)= 7,162*10^-6

u(R₅)= 5,545*10^-6

u(R₆)= 8,425*10^-6

u(R₇)= 4,057*10^-6

u(R₈)= 2,106*10^-6

u(R₉)= 7,869*10^-6

u(R₁₀)= 1,736*10^-6

Niepewność u(n) wyznaczam z zależności:

$$u\left( n \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{e*R^{2}}*u(R) \right)^{2}}$$

$$u\left( n_{1} \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{1,6*10^{- 19}*7,87*10^{- 7}}*2,651*10^{- 6} \right)^{2}} = 2,105*10^{19}$$

u(n₂)=1,143*10¹⁹

u(n₃)=1,978*10¹⁹

u(n₄)=5,746*10¹⁹

u(n₅)=4,426*10¹⁹

u(n₆)=6,725*10¹⁹

u(n₇)=3,247*10¹⁹

u(n₈)=1,689*10¹⁹

u(n₉)=6,354*10¹⁹

u(n₁₀)=1,409*10¹⁹

Stałą Halla dla I_M = 2,8 [A] wyznaczam z zależności:

$$R = \frac{U_{H}*d}{I_{x}*B}$$

$$R_{1} = \frac{0,0515*8*10^{- 6}}{0,53*1,12} = 6,94*10^{- 7}$$

R₂=7,03*10^-7

R₃=7,05*10^-7

R₄=7,03*10^-7

R₅=7,03*10^-7

R₆=6,57*10^-7

R₇=6,97*10^-7

R₈=6,96*10^-7

R₉=6,92*10^-7

R₁₀=6,88*10^-7

R_śr.=6,24*10^-5

Koncentrację nośników prądu wyznaczam z zależności:

$$n_{1} = \frac{1}{1,6*10^{- 19}*6,94*10^{- 7}} = 9,01*10^{14}$$

n₂ = 8,89*10¹⁴

n₃ = 8,8710¹⁴

n₄ = 8,8910¹⁴

n₅ = 8,89*10¹⁴

n₆ = 9,51*10¹⁴

n₇ = 8,97*10¹⁴

n₈ = 8,98*10¹⁴

n₉ = 9,03*10¹⁴

n₁₀ = 9,08*10¹⁴

n_śr = 9,01*10¹⁵

Niepewność wielkości R wyznaczam ze wzoru:

$$u\left( R \right) = \sqrt{\left( \frac{d}{I_{x}*B}*u(U_{H}) \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}*d}{B*I_{x}^{2}}*u(I_{x)} \right)^{2} + \left( \frac{U_{H}*d}{I_{x}*B^{2}}*u(B) \right)^{2}}$$

u(B) = 0,02

Obliczam niepewność u( R )

$$u\left( R_{1} \right) = \sqrt{\left( \frac{8*10^{- 6}}{0,53*1,12}*0,046 \right)^{2} + \left( \frac{0,0515*8*10^{- 6}}{1,12*{0,53}^{2}}*0,47 \right)^{2} + \left( \frac{0,0515*8*10^{- 6}}{0,53*{1,12}^{2}}*0,02 \right)^{2}} = 8,736*10^{- 6}$$

u(R₂)= 4,662*10^-6

u(R₃)= 3,112*10^-6

u(R₄)= 2,334*10^-6

u(R₅)= 1,364*10^-6

u(R₆)= 8,425*10^-6

u(R₇)= 1,686*10^-6

u(R₈)= 8,624*10^-6

u(R₉)= 1,035*10^-6

u(R₁₀)= 9,334*10^-6

Niepewność u(n) wyznaczam z zależności:

$$u\left( n \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{e*R^{2}}*u(R) \right)^{2}}$$

$$u\left( n_{1} \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{1,6*10^{- 19}*6,94*10^{- 7}}*8,736*10^{- 6} \right)^{2}} = 7,867*10^{19}$$

u(n₂)=4,145*10¹⁹

u(n₃)=2,759*10¹⁹

u(n₄)=2,075*10¹⁹

u(n₅)=1,213*10¹⁹

u(n₆)=8,015*10¹⁹

u(n₇)=1,512*10¹⁹

u(n₈)=7,744*10¹⁹

u(n₉)=9,347*10¹⁹

u(n₁₀)=8,479*10¹⁹