Równanie Bernoulliego-opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu. Obowiązuje w podstawowej wersji dla stacjonarnego przepływu nieściśliwego płynu idealnego, a w wersji rozszerzonej dla idealnego płynu barotropowego. Równanie Bernoulliego wynika z zasady zachowania energii i według intencji jego autora stanowić powinno jej zapis za pomocą parametrów hydrodynamicznych (p. zastrzeżenia podane poniżej w Uwagach dotyczących zastosowania równania Bernoulliego).

Szczególna postać równanie

Założenia:

ciecz jest nieściśliwa

ciecz nie jest lepka

przepływ jest stacjonarny i bezwirowy

Przy powyższych założeniach równanie przyjmuje postać:

gdzie:

- energia jednostki masy płynu,

- gęstość płynu,

- prędkość płynu w rozpatrywanym miejscu,

- wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia potencjalna,

- przyspieszenie grawitacyjne,

- ciśnienie płynu w rozpatrywanym miejscu.

Ogólna postać równania

Równanie Bernoulliego może być z pewną dokładnością stosowane także dla idealnych płynów ściśliwych ale tylko typu barotropowego. Opracowano również wersję równania dla płynów uwzględniającą zmianę energii wewnętrznej płynu w wyniku różnych czynników. Równanie to w ogólności ma postać:

Gdzie:

- energia potencjalna jednostki masy, której w warunkach ziemskich odpowiada

- entalpia przypadająca na jednostkę masy (entalpia właściwa)

przy czym - energia wewnętrzna płynu.

Uwzględniając właściwości gazów można przekształcić to równanie tak, by było spełnione także dla gazów. Choć pierwotne równanie Bernoulliego nie jest spełnione dla gazów, to ogólne wnioski płynące z niego mogą być stosowane również dla nich.

Z równania Bernoulliego dla sytuacji przedstawionej na rysunku zachodzi prawidłowość:

Jeżeli zaniedbać zmianę wysokości odcinków rury, to wzór upraszcza się do:

W rurze o mniejszym przekroju ciecz płynie szybciej (), w związku z tym panuje w niej mniejsze ciśnienie niż w rurze o większym przekroju.

Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku, gdzie przekrój jest mniejszy.

Ciecz opływając ciało zanurzone w cieczy wywołuje mniejsze ciśnienie od strony gdzie droga przepływu jest dłuższa.

Zastosowanie równania Bernoulliego

Równaniem Bernoulliego opisuje wiele na co dzień obserwowanych zjawisk:

• paradoks hydrodynamiczny

• zjawisko zrywania dachów, gdy wieje silny wiatr

• zasada działania rurki Pitota

• zasada działania Rurki Prandtla

• zasada działania zwężki Venturiego

• zasada działania palnika Bunsena

• pośrednio zasady powstawania siły nośnej w skrzydle samolotu

• pośrednio w powstawaniu efektu Magnusa

• przyczyna osiadania statków w ruchu na płytkim akwenie.

Rurka Prandtla – przyrząd do pomiaru prędkości przepływu płynu poprzez pomiar ciśnienia w przepływającym płynie.

Składa się on z dwóch osadzonych w sobie rurek, z czego pierwsza wewnętrzna służy do badania ciśnienia całkowitego płynu, natomiast zewnętrzna do badania ciśnienia statycznego.Rurka poprzez otworek na półkulistym nosku rurki mierzy ciśnienie całkowite p₁ (ciśnienie spiętrzenia), a poprzez otwór w powierzchni bocznej oddalony od przodu rurki, ciśnienie statyczne p₂.

Dla płynów nieściśliwych prędkość oblicza się ze wzoru:

gdzie: ρ – gęstość płynu.

Wzór ten można też stosować dla gazów przepływających z niewielką prędkością.

Dla gazów w tym i dla powietrza stosuje się wzór:

gdzie:

k – wykładnik adiabaty (dla powietrza ok. 1,4),

R – stała gazowa,

g – przyspieszenie ziemskie

T – temperatura gazu.

Wzoru tego nie można stosować dla przepływów naddźwiękowych.

Ciśnienie całkowite jest sumą ciśnienia statycznego i dynamicznego.

Zwężka Venturiego (lub "dysza Venturiego") – przyrząd służący do pomiaru prędkości przepływu cieczy lub gazu, stworzonym przez Giovanni Battista Venturiego. Zasada jej działania jest idealną ilustracją prawa Bernoulliego:

W pewnym miejscu kanału, w którym z prędkością v przemieszcza się płyn (gaz lub ciecz), znajduje się przewężenie o znacznie mniejszym przekroju. Z prawa Bernoulliego, oraz warunku ciągłości przepływu, wynika, że kwadrat prędkości płynu przed zwężką jest wprost proporcjonalny do różnicy ciśnień przed zwężką i na niej. W klasycznej zwężce Venturiego w celu pomiaru wykorzystuje się barometr różnicowy.

Efekt Magnusa to zjawisko z zakresu dynamiki płynów, polegające na powstawaniu siły prostopadłej do kierunku ruchu, działającej na obracający się walec lub inną bryłę obrotową, poruszającą się względem płynu..

Wartość siły określa prawo Kutty-Żukowskiego, mówiące, że jeżeli nieściśliwy płyn opływa nieskończenie długi walec, którego oś jest ustawiona prostopadle do kierunku przepływu niezaburzonego, to na jednostkę długości walca działa siła nośna określona wzorem:

W pobliżu powierzchni obracającego się walca na skutek adhezji prędkość obwodowa cząsteczek płynu jest taka sama jak prędkość obwodowa walca i wynosi dla walca o promieniu 'a'

cyrkulacja prędkości będzie równa:

a siła

gdzie

ρ - gęstość płynu,

V - prędkość płynu,

a - promień walca

Γ - oznacza cyrkulację prędkości wzdłuż dowolnego konturu zamkniętego obejmującego jeden raz walec.

Można też wyrazić siłę nośną za pomocą wzoru:

Z porównania wzorów wynika, że:

Wartości współczynnika siły nośnej uzyskane drogą pomiaru okazują się mniejsze od przewidzianych powyższym wzorem. Ruch cyrkulacyjny w płynach rzeczywistych, powodowany obrotem walca, nie jest bowiem identyczny z cyrkulacyjnym opływem walca płynem doskonałym, między innymi ze względu na występowanie tak zwanej warstwy przyściennej.