Siatka ortograficzna jest siatką kartograficzną, płaszczyznową. Powstaje w wyniku puszczania wiązek światła równolegle do płaszczyzny spod kuli.

Cechy [edytuj]

• równoleżniki tworzą koła o wspólnym środku;

• równoleżniki coraz mniej zwiększają swoją średnicę;

• południki tworzą linie proste.

• Odwzorowanie Gaussa-Krügera oraz Uniwersalne Poprzeczne Mercatora (UTM – Universal Transverse Mercator)
  
  Wiernokątne odwzorowanie elipsoidy, które w późniejszych czasach zyskało nazwę Gaussa-Krügera, zostało opracowane przez matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa i użyte przez niego w latach 1820-30 do obliczenia wyników triangulacji Hanoweru. Na podstawie notatek i rękopisów Gaussa geodeta niemiecki Louis Krüger gruntownie dopracował metodę tego odwzorowania i opublikował w roku 1912. Stąd wzięła się nazwa odwzorowanie Gaussa-Krügera.
  Jest to odwzorowanie konforemne powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę spełniające dwa warunki:
  1. południk osiowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej osi rzędnych x,
  2. elementarna skala zniekształceń długości na południku osiowym jest stała i równa jedności, tzn., że południk osiowy odwzorowuje się bez zniekształceń (izometrycznie).
  Często w literaturze podawana jest interpretacja geometryczna tego odwzorowania, zgodnie z którą jest to wiernokątne, walcowe, styczne, poprzeczne odwzorowanie elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę.
  Zaproponowane w latach II wojny światowej w Ameryce odwzorowanie UTM stanowi pewną modyfikację odwzorowania Gaussa-Krügera. UTM jest także odwzorowaniem konforemnym elipsoidy w płaszczyznę z południkiem osiowym odwzorowującym się na odcinek linii prostej ze stałą skalą zniekształceń długości, lecz wartość tej skali jest mniejsza od jedności i równa m₀=0,9996. Zależność pomiędzy współrzędnymi w odwzorowaniu Gaussa-Krügera a współrzędnymi w odwzorowaniu UTM zgodnie z powyższym przedstawiają wzory:

•   x_UTM = m₀ × x_GK

•   y_UTM = m₀ × y_GK.
  
  Odwzorowanie UTM stosowane jest do 6-stopniowych stref południkowych pomiędzy równoleżnikami -80° do +80°.
  Odwzorowania Gaussa-Krügera i UTM – ze względu na duże zniekształcenia długości – stosowane są w kilkustopniowych pasach południkowych. Odwzorowania te są obecnie powszechnie stosowane w geodezji i topografii. W Polsce do tworzenia map topograficznych w układzie 1992 i UTM oraz mapy zasadniczej w układzie 2000.
  
  
  Odwzorowanie quasi-stereograficzne
  
  Metodę tworzenia odwzorowania stereograficznego dla elipsoidy podał w 1924 roku astronom francuski Roussilhe. Adaptując to odwzorowanie do obszaru Polski, profesor dr Lucjan Grabowski z Politechniki Lwowskiej zaproponował stosowne wzory matematyczne. W 1930 roku F. Biernacki i J. Słomczyński (oficerowie ówczesnego Wojskowego Instytutu Geograficznego) zastosowali to odwzorowanie w pracach geodezyjnych i kartograficznych obszaru Polski. Po II wojnie światowej znalazło zastosowanie przede wszystkim do tworzenia map topograficznych i zasadniczych w układzie 1965 (strefy odwzorowawcze 1-4) oraz map topograficznych w układzie GUGiK 80.Odwzorowanie quasi-stereograficzne jest odwzorowaniem konforemnym, azymutalnym powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę. W ograniczonym obszarze odpowiada ono stereograficznemu odwzorowaniu kuli o promieniu 
      
  wyznaczonym w punkcie głównym odwzorowania, tj. punkcie styczności płaszczyzny odwzorowania do elipsoidy.
  Prace teoretyczne nad własnościami odwzorowania Roussilhe’a wykazały, że może być ono powiązane z odwzorowaniem Gaussa-Krügera. Otrzymano prostą pojęciowo i sprawną numerycznie metodę bez konieczności rozwijania na szeregi. Metoda ta pozwala ponadto na odwzorowanie dowolnie dużego obszaru z całą elipsoidą włącznie.

• Siatka pseudoazymutalna

• Siatka globularna Nicolosiego może być uważana za modyfikację siatki azymutalnej poprzecznej Postela. Odległości między obrazami poszczególnych południków na równiku oraz odległości między obrazami równoleżników na południku środkowym są jednakowe i zgodne z oryginałem. Siatki te różnią się jednak kształtem południków i równoleżników oraz rozkładem i wielkością zniekształceń. Zerowe zniekształcenia długościowe występują jedynie wzdłuż południka środkowego i równika. Im dalej od tych linii tym zniekształcenia większe. Ze względu na prostą konstrukcję nadaje się do celów dydaktycznych, ale obecnie nie jest tak ceniona jak dawniej, zwłaszcza że pod względem wielkości i rozkładu zniekształceń ustępuje odwzorowaniu Postela.

•  

• Odwzorowania pseudopłaszczyznowe (pseudoazymutalne) zostały pomyślane jako przekształcenia siatek azymutalnych na płaszczyźnie w celu umożliwienia prezentacji całego globu ziemskiego. Wielu twórców odwzorowań pracowało nad przekształceniem tradycyjnych siatek azymutalnych. Siatki przez nich przekształcone można podzielić na:

• -          siatki globularne (przedstawiające obraz półkuli w kole)

• -          siatki koliste (przedstawiające obraz całej kuli w kole)

• -          siatki azymutoidalne (przedstawiające całą kulę ziemską w postaci elipsy lub figury do niej zbliżonej)

• W przeciwieństwie do wyjściowych odwzorowań płaszczyznowych, siatki pseudopłaszczyznowe nie zachowują zgodności azymutów na kuli i na płaszczyźnie w punkcie głównym.

• Do najbardziej popularnych odwzorowań pseudoazymutalnych należą: siatka globularna Nicolosiego i jej modyfikacja autorstwa Nella, siatka kolista van der Grintena oraz siatki azymutoidalne Aitoffa, Hammera i Eckerta. Te siatki stosuje się najczęściej w położeniu poprzecznym; obrazami południków są w nich krzywe wypukłe na zewnątrz od południka środkowego, którego obrazem jest odcinek prostej. Równoleżniki odwzorowują się na krzywe wypukłe od biegunów w stronę równika, który także ma kształt linii prostej.

 Odwzorowania pseudowalcowe powstają w wyniku modyfikacji siatek walcowych. Na skutek bardzo silnego zniekształcenia pasów okołobiegunowych odwzorowania walcowe nie nadają się do prezentacji całego globu. Dążenie do zachowania prostoliniowości obrazów równoleżników oraz próby zmniejszenia zniekształceń w strefie podbiegunowej doprowadziły do opracowania szeregu siatek zwanych pseudowalcowymi. Podstawową cechą rozróżniającą siatki walcowe od siatek pseudowalcowych jest inny kształt biegunów – przedstawione są one w postaci punktu lub krótszego odcinka. Ponadto, południki w odwzorowaniach pseudowalcowych przedstawione są jako linie krzywe, łuki kół lub jako linie łamane, często zbiegające się w obrazach biegunów. Wspólną cechą obu grup odwzorowań jest prostoliniowość równoleżników, ale i w tym względzie siatki te łatwo rozróżnić, ponieważ w odwzorowaniach pseudowalcowych długość obrazów równoleżników jest zmienna, a nie stała jak w siatkach walcowych. Dzięki modyfikacjom zastosowanym przy konstrukcjach siatek pseudowalcowych deformacje konturów obszarów obrazów leżących w wyższych szerokościach geograficznych są znacznie mniejsze. Siatki pseudowalcowe są często stosowane na mapach przeglądowych i ściennych oraz w kartografii atlasowej, zwłaszcza dla prezentacji zjawisk globalnych. Najbardziej rozpowszechnione spośród nich są siatki: Sancona, Mollweidego i Eckerta.

Siatka Mollweidego jest skonstruowana na następujących, przyjętych z góry założeniach: odwzorowanie ma być wiernopowierzchniowe, półkula ma być przedstawiona w formie koła, równoleżniki mają być liniami prostymi, cała kula ziemska ma być przedstawiona w formie elipsy o równikowej osi 2 razy dłuższej od południkowej. Odstępy między równoleżnikami rosną ku biegunom.

SIATKA RÓWNOPOWIERZCHNIOWA SANSONA - FLAMSTEEDA
Siatkę tę zaczęto stosować

null

• już w XVII w. Modyfikacje polegają nie tylko na tym, że obrazem biegunów są punkty, lecz także na wprowadzeniu południków w postaci linii krzywych przecinających równoleżniki w wiernie zachowanych odstępach. Południki przedstawiają się jako sinusoidy, ściślej cosinusoidy, tj. przesunięte sinusoidy. Stąd pochodzi nieraz spotykana nazwa: siatka pseudowalcowa sinusoidalna (sinusoida jest to obraz funkcji y = sin x w prostokątnym układzie współrzędnych).
  Odstępy pomiędzy równoleżnikami na wiernie odtworzonym południku środkowym są równe, a długość ich, podobnie jak długość równika, odpowiada danym wartościom na kuli. Siatka jest równopowierzchniowa. Astronomowie w. XVIII połączyli siatkę z nazwiskiem Flamsteeda, który użył jej w swym atlasie astronomicznym.
  Zniekształcenia nie są równomiernie rozmieszczone i nie przebiegają wzdłuż równoleżników. Siatka jest co prawda równopowierzchniowa, lecz wykazuje silne zniekształcenia zarysów lądów i mórz.
  
  ZASTOSOWANIE
  Z racji swych zniekształceń siatka Sansona - Flamsteeda mniej nadaje się do przedstawienia całej powierzchni Ziemi, a szczególnie krajów położonych na wyższych szerokościach. Natomiast siatka ta ma zastosowanie dla przedstawienia krajów położonych bliżej równika. Dlatego też spotyka się w atlasach mapy Polinezji, części Ameryki a szczególnie Afryki wykonane w tej siatce. Siatka ta znalazła także zastosowanie w Wielkim Atlasie, wydanym w Związku Radzieckim.
  
  KONSTRUKCJA
  Narysować równik i prostopadły do niego południk środkowy o długości wynikającej z iloczynu wartości rzeczywistych i obranej podziałki. Z kolei wykreślić proste równoleżnikowe prostopadłe do południka środkowego w równych odstępach i o wiernie zachowanej długości. Po podzieleniu poszczególnych równoleżników na równe odcinki (np. przyjąwszy południki co 10o, należy równoleżniki podzielić na 18 części po każdej stronie południka środkowego, czyli otrzymamy w sumie długość równającą się łukowi wynoszącemu 180o), połączyć odpowiadające sobie punkty na poszczególnych równoleżnikach za pomocą krzywika. Otrzymamy w ten sposób obraz południków.
  Siatka stożkowa powstaje przez zrzutowanie siatki geograficznej na pobocznicę stożka stykającego się z modelem kuli ziemskiej wzdłuż wybranego równoleżnika. Służy do od-wzorowania strefy klim. umiarkowanego. Południki równej długości i w równych odległo-ściach. Równoleżnik styczny do stożka jest idealnie odwzorowany.

• Odwzorowania pseudostożkowe charakteryzują się pewnymi cechami upodabniającymi je do siatek stożkowych i często powstają jako ich modyfikacje. Podstawowe podobieństwo to przede wszystkim kształt równoleżników odwzorowujących się w postaci łuków kół współśrodkowych. Wszystkie siatki pseudostożkowe, podobnie jak siatki stożkowe, są symetryczne względem prostoliniowego obrazu południka środkowego. Obrazy pozostałych południków, w przeciwieństwie do siatek stożkowych, nie są prostymi, lecz moją kształt linii krzywych.

• Odwzorowanie Staba-Wernera (sercowe) – siatka pseudostożkowa z wierzchołkiem stożka w biegunie. Południki są liniami krzywymi, obraz całej kuli ziemskiej przyjmuje charakterystyczną postać sercową, skąd pochodzi inna nazwa tego odwzorowania – siatka sercowa. Siatka ta jest wiernopolowa, lecz wykazuje duże zniekształcenia kątowe, które spowodowały wyeliminowanie jej z nowoczesnej praktyki kartograficznej. Bez zniekształceń jest odwzorowany środkowy południk, a ze wzrostem długości geograficznej zniekształcenia rosną.

• Siatka Bonne’a nerkowata 

siatka Bonne?a, powstała z przekształcenia siatki stożkowej Ptolemeusza. Zachowuje wierną długość południków odpowiadającą ich długości na kuli;

Siatka stożkowa powstaje przez zrzutowanie siatki geograficznej na pobocznicę stożka stykającego się z modelem kuli ziemskiej wzdłuż wybranego równoleżnika. Służy do od-wzorowania strefy klim. umiarkowanego. Południki równej długości i w równych odległo-ściach. Równoleżnik styczny do stożka jest idealnie odwzorowany.

Siatki walcowe

Uzyskuje się je przez rzutowanie siatki geograficznej na pobocznicę walca. W położeniu normalnym południki i równoleżniki są liniami proste przecinającymi się pod kątem prostym; odstępy między południkami są równe, między równoleżnikami zależą od typu odwzorowania, biegun odwzorowuje się jako linia prosta:

• siatka wiernokątna Merkatora (właśc. Gerhard Kremer, 1512-1594); nie odwzorowuje się na niej biegun, wiernie zostaje przedstawiony równik. Odległości między równoleżnikami wzrastają w miarę oddalania się od bieguna. Siatkę tę stosuje się na mapach nawigacyjnych, a także do przedstawiania stref czasowych na kuli ziemskiej; Jest rzutem siatki geograficznej globusa na powierzchnię boczną walca stycznego do globusa wzdłuż równika. Odstępy między południkami są stałe, a odstępy między równoleżnikami rosną w miarę zbliżania się do biegunów. Obszarów podbiegunowych wykreślić się nie da. wiernokątna Merkatora do konstrukcji map morskich i lotniczych.

• siatka wiernopowierzchniowa Lamberta (1728-1777) służąca do przedstawiania stref subtropikalnych. Odwzorowuje wiernie równik, biegun ma postać linii prostych. SIATKA WALCOWA KWADRATOWA
  
  Cechą charakterystyczną siatki walcowej kwadratowej (równoodległościowej) są proste południki i równoleżniki, przecinające się pod kontem prostym i tworzą kwadratowe pola. Wynika to z faktu, że odstępy dzielące równoleżniki, podobnie jak odstępy między południkami na równiku są równe i odpowiadają rzeczywistym odległością na powierzchni kuli.Odległości między równoleżnikami zmniejszają się wraz z oddalaniem od równik
  Siatka Mercutora prostokątna jest siatką równoodległościową. Z tego założenia wynika kształt i wzajemne ułożenie południków i równoleżników ich sieci tworzy kształt coraz wyższych prostokątów. Południki kształtują się jako linie proste, równoległe względem siebie i prostopadłe do równika. Odstępy odpowiadają odstępom południków na równiku kuli. Równoleżniki natomiast tworzą proste równoległe, przy czym odstępy między nimi wzrastają gwałtowanie wraz ze wzrostem szerokości geograficznej. a.

SSiatkistożkowe:

Siatka stożkowa Ptolemeusza w położeniu biegunowym (oś stożka pokrywa się z osią biegunową Ziemi) powstaje w wyniku odwzorowania siatki geograficznej na pobocznicę stożka stycznego z kulą ziemską na wybranym równoleżniku o szerokości geograficznej φ₀ (najczęściej środkowym równoleżniku przedstawianego obszaru). Jest to odwzorowanie równodługościowe w kierunku południków, których obrazami są odcinki linii prostych przecinających się w obrazie wierzchołka stożka W’ (ryc. 1). Kąty zawarte między poszczególnymi południkami są pomniejszone w stosunku do oryginału (Δλ’< Δλ). Obrazami równoleżników w tej siatce są łuki kół współśrodkowych względem punktu W’. Równoleżnik styczny o szerokości geograficznej φ₀ ma wymiar rzeczywisty. Pozostałe równoleżniki ulegają wydłużeniu, ale odległości między nimi, ze względu na wierne długości południków, są takie same jak na kuli. Bieguny odwzorowują się także w postaci łuków kół i nie pokrywają się z wierzchołkiem W’. W odwzorowaniu tym można przedstawić całą kulę w wycinku koła, którego wielkość i kształt zależą od doboru równoleżnika stycznego φ₀.

W małych skalach siatkę Ptolemeusza można narysować wykorzystując układ współrzędnych biegunowych (cyrklem i kątomierzem). W większych skalach, ze względu na niedogodności związane z kreśleniem łuków kół bardzo dużymi promieniami wodzącymi, bardziej uniwersalne jest posługiwanie się układem współrzędnych prostokątnych.

Odwzorowania stożkowe są to odwzorowania na pobocznicę stożka stycznego do kuli lub siecznego, którą następnie rozwija się na płaszczyznę. Odwzorowania stożkowe można podzielić na styczne, kiedy pobocznica stożka styka się z kulą wzdłuż pewnego równoleżnika oraz sieczne, gdy pobocznica stożka przecina kulę w dwóch równoleżnikach. Odwzorowania stożkowe bardzo dobrze nadają się do przedstawiania obszarów rozciągających się wzdłuż równoleżników o średnich szerokościach geograficznych. Po rozwinięciu pobocznicy stożka na płaszczyznę  powstaje siatka, w której południki są liniami prostymi rozchodzącymi się z wierzchołka stożka. Równoleżniki są natomiast łukami kół. Zniekształcenia w siatkach stożkowych przebiegają wzdłuż równoleżników. Jednym z najbardziej popularnych a zarazem najprostszych w konstrukcji odwzorowaniem stożkowym jest siatka stożkowa prosta Ptolemeusza. Odwzorowanie to znane było już w II w. Jest to rzut siatki geograficznej na powierzchnię stożka stycznego do globusa wzdłuż równoleżnika środkowego odwzorowywanego obszaru. Głównym założeniem tej siatki jest wierne odtworzenie wszystkich południków, oraz wierne odtworzenie środkowego równoleżnika. Biegun odwzorowuje się w tej siatce jako łuk koła, zniekształcenia są natomiast niewielkie. Siatka ta służy  do przedstawiania obszarów o średnich szerokościach geograficznych i jest często spotykana w atlasach szkolnych. Inne odwzorowanie stożkowe to siatka stożkowa Lamberta wiernopowierzchniowa. Wierzchołek stożka w tej siatce został przyjęty na biegunie Ziemi. Stożek nie jest wtedy styczny lecz sieczny wzdłuż równoleżnika środkowego, który jest odwzorowany wiernie. Odwzorowanie to jest łatwo rozpoznawalne, gdyż odstępy pomiędzy równoleżnikami rosną w miarę zbliżania się do bieguna. Kolejną o wiele bardziej rozpowszechnioną od poprzedniej siatką stożkową jest siatka stożkowa Albresa wiernopowierzchniowa. Została ona skonstruowana w 1805 roku. Podobnie jak w poprzednim przypadku odwzorowanie to nie zachowuje zniekształceń powierzchni. Konstrukcja tej siatki przebiega w oparciu o dwa równoleżniki „sieczne”. Pomiędzy równoleżnikami siecznymi występuje wydłużenie wzdłuż południków, natomiast na zewnątrz obserwuje się skrócenie. Siatka Albersa jest jedną z najlepszych siatek stożkowych do przedstawiania średnich szerokości geograficznych.

Lamberta- Gaussa wiernokątna