ZAGADNIENIA TEORETYCZNE NA EGZAMIN Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Podać wzory na osiowe i odśrodkowe momenty bezwładności dla prostokąta.

$$I_{x} = \frac{bh^{3}}{3}\text{\ \ \ }I_{\text{xo}} = \frac{bh^{3}}{12}\text{\ \ \ }I_{y} = \frac{hb^{3}}{3}\text{\ \ \ }I_{\text{yo}} = \frac{hb^{3}}{12}\text{\ \ \ }I_{\text{xy}} = \frac{b^{2}h^{2}}{4}\text{\ \ \ }I_{\text{xoyo}} = 0$$

Podać wzory na osiowe i odśrodkowe momenty bezwładności dla trójkąta.

$$I_{x} = \frac{bh^{3}}{12}\text{\ \ \ }I_{\text{xo}} = \frac{bh^{3}}{36}\text{\ \ \ }I_{y} = \frac{hb^{3}}{12}\text{\ \ \ }I_{\text{yo}} = \frac{hb^{3}}{36}\text{\ \ \ }I_{\text{xy}} = \frac{b^{2}h^{2}}{24}\text{\ \ \ }I_{\text{xoyo}} = \pm \frac{b^{2}h^{2}}{72}$$

Co to są główne centralne osie bezwładności?

Główne centralne osie bezwładności są to osie przechodzące przez środek ciężkości i mające taką własność, że liniowe momenty bezwładności obliczone względem tej osi uzyskują wartości ekstremalne. Są to osie szczególne. Moment dewiacji obliczony względem nich jest zawsze równy 0. Oś symetrii przekroju jest zawsze główną centralną osią bezwładności.

Cechy teorii belek.

• Korzystamy z obserwacji doświadczeń na zajęciach laboratoryjnych;

• Wprowadzamy szereg założeń upraszczających (nieraz sprzecznych ze sobą) np. płaski stan naprężenia występuje razem z płaskim stanem odkształcenia;

• Techniczna teoria belek jest normą przybliżonych, ale dla celów projektowych konstrukcji budowlanych na ogół wystarczająco dokładną.

Kiedy mamy do czynienia ze zginaniem prostym?

Jeżeli linia działania obciążeń pokrywa się z główną centralną osią bezwładności. Wówczas ekstremalne naprężenia normalne występują w dolnych i górnych włóknach belki, a na jednych z głównych centralnych osi bezwładności naprężenia normalne są równe 0.

Zdefiniuj oś obojętną przy zginaniu ukośnym i podaj jej cechy.

Jest to oś (prosta), leżąca w płaszczyźnie rozpatrywanego przekroju, na której naprężenia normalne są równe 0. W punktach najbardziej oddalonych od tej osi naprężenia normalne osiągają największe wartości. Oś obojętna oddziela włókna rozciągane od ściskanych. Pokrywa się z główną centralną osią bezwładności.

Zdefiniuj oś obojętną przy zginaniu ukośnym i podaj jej cechy.

Jest to oś (prosta), leżąca w płaszczyźnie rozpatrywanego przekroju, na której naprężenia normalne są równe 0. W punktach najbardziej oddalonych od tej osi naprężenia normalne osiągają największe wartości. Oś obojętna oddziela włókna rozciągane od ściskanych. Przechodzi zawsze przez środek ciężkości i przez tą samą ćwiartkę co wypadkowy moment M, ale nie pokrywa się z linią działania tego momentu. Pokryje się tylko wtedy, gdy I_x = I_y.

Kiedy mamy do czynienia ze zginaniem ukośnym?

Jeżeli linia działania obciążenia czynnego i biernego nie pokrywa się z żadną z głównych centralnych osi bezwładności, ale przechodzi przez środek ciężkości. Każde zginanie ukośne można zawsze sprowadzić do dwóch zginań prostych.

Podać wzory na naprężenia normalne i styczne w zginaniu ukośnymi opisać je.

Ogólny wzory na naprężenia normalne i styczne dla osi xy mają następującą postać:

$$\sigma_{z} = \pm \frac{M_{x}}{I_{x}}y \pm \frac{M_{y}}{I_{y}}x$$

Gdzie:
M_x – wektor momentu gnącego względem osi x
M_y – wektor momentu gnącego względem osi y
I_x – główny centralny moment bezwładności względem osi x
I_y – główny centralny moment bezwładności względem osi y

$$\tau_{\text{zy}} = \frac{T_{y} \bullet S_{x}(y)}{I_{x} \bullet b(y)}$$

Gdzie:
T_y – siła tnąca/ścinająca/poprzeczna
S_x(y) – moment statyczny odciętej części przekroju policzony względem osi x
I_x – główny centralny moment bezwładności
b(y) – szerokość odciętej części przekroju

Jakimi metodami wyznaczamy linię ugięcia belki?

• Metody analityczne polegające na ścisłym rozwiązaniu równań różniczkowych:

• Klasyczne rozwiązywanie równań różniczkowych nazywane metodą Eulera;

• Metoda Clebscha;

• Metoda parametrów brzegowych;

• Metoda macierzy przemieszczenia.

• Metody graficzne (wykreślne), których obecnie w ogóle się nie stosuje;

• Metody mieszane (analityczno-wykreślne):

• Metoda Mohra (metoda belek fikcyjnych / metoda obciążeń wtórnych – synonimy)

• Metody przybliżone.

Co to są metody przybliżone?

Metody przybliżone polegają na przybliżonym rozwiązywaniu równań różniczkowych. Zwykle polega to na tym, że równania różniczkowe zamieniamy na bardzo duże lub ogromne równania algebraiczne. Taka zamiana wymaga zastosowania metod numerycznych. Stąd bardzo często metody przybliżone nazywa się numerycznymi. Żeby rozwiązać tak gigantyczne działania, wymagane jest zastosowanie komputera i stąd nazwa metody komputerowe. Metody przybliżone to najczęściej metody komputerowe. Wśród metod komputerowych wyróżniamy:

• Metoda różnic skończonych MRS

• Metoda elementów skończonych MES

• Metoda elementów brzegowych MEB

• Metoda elementów czasoprzestrzennych MECZ

Do czego służy metoda różnic skończonych? Jak jest istota tej metody?

Metoda różnic skończonych służy do przybliżonego rozwiązywania równań różniczkowych. Mogą to być pojedyncze równania lub układ równań. Mogą to być równania zwyczajne, cząstkowe, typu hiperbolicznego, parabolicznego. Prawie wszystkie zjawiska zachodzące w przyrodzie dają się opisać za pomocą równań różniczkowych lub całkowych, np. zginanie belek. Istota metody sprowadza się do zamiany równań różniczkowych na duży układ równań algebraicznych. Ten układ jest na tyle duży, że niezbędny jest komputer, stąd MRS należy do metod komputerowych.

Co to jest dyskretyzacja obszaru?

Jest to charakterystyczny element metody różnic skończonych. Jest to inaczej dzielenie obszaru, w którym poszukujemy rozwiązania (objętość, powierzchnia, element liniowy, czasoprzestrzeń). Dyskretyzacja w zasadzie może być dowolna, można powiedzieć, że im dyskretyzacja jest gęstsza, tym obliczenia MRS są dokładniejsze. Warto dyskretyzację tak zaprojektować, aby obciążenia skupione trafiały w punkt dyskretyzacyjny.

Algorytm stosowania metody różnic skończonych.

1. Dyskretyzacja belki i zamiana obciążeń skupionych na rozłożone;

2. Budowa równań MRS;

3. Uzupełnienie równań MRS warunkami brzegowymi;

4. Rozwiązywanie układu równań MRS (w wyniku tego rozwiązania uzyskamy rzędne ugięć belki w punktach dyskretyzacyjnych);

5. Wyznaczenie rzędnych φ, M, T w punktach dyskretyzacyjnych belki;

6. Sporządzenie wykresów w, φ, M, T.

Na czym polega metoda Mohra?

Sporządzamy wykres momentów zginających belki rzeczywistej. Następnie przyjmujemy belkę wtórną (fikcyjną) zgodnie z ogólnymi zasadami. Potem przyjmujemy obciążenie wtórne (jest nim wykres momentów sporządzony dla belki rzeczywistej podzielony przez sztywność). Kolejny krok to sporządzenie wykresów sił tnących wtórnych oraz momentów zginających sił wtórnych. Wykres sił tnących wtórnych jest jednocześnie wykresem kąta obrotu dla belki rzeczywistej, natomiast wykres momentów wtórnych jest jednocześnie wykresem linii ugięcia w belce rzeczywistej.

Kiedy mamy do czynienia z rozciąganiem/ściskaniem mimośrodowym?

Ściskanie/rozciąganie mimośrodowe zachodzi wówczas, gdy linia działania obciążenia ma kierunek osi pręta, ale się z tą osią nie pokrywa. Rozciąganie/ściskanie mimośrodowe sprowadza się do rozciągania/ściskania osiowego oraz do zginania ukośnego.
Zdefiniuj oś obojętną przy rozciąganiu/ściskaniu mimośrodowym i podaj jej cechy.

Jest to oś (prosta), na której naprężenia normalne są równe 0. W punktach najbardziej oddalonych od tej osi naprężenia normalne osiągają największe wartości. Oś obojętna oddziela włókna rozciągane od ściskanych. Równanie osi obojętnej nie zależy od wartości siły P oraz od tego czy jest ściskanie czy rozciąganie. Oś obojętna nigdy nie przechodzi przez środek ciężkości i zawsze przechodzi przez ćwiartkę naprzeciwko siły P.

Co to jest rdzeń przekroju?

Jest to obszar leżący w płaszczyźnie rozważanego przekroju i mający taką własność, że jeżeli siłę rozciągającą lub ściskającą przyłożymy w tym obszarze to naprężenia normalne w całym rozważanym przekroju będą jednakowego znaku, tzn. przy sile rozciągającej naprężenia będą dodatnie, przy ściskającej zaś – ujemne. Widać z tego, że sile przyłożonej w rdzeniu przekroju musi odpowiadać oś obojętna położona poza przekrojem poprzecznym, natomiast sile położonej na granicy rdzenia - oś obojętna styczna do konturu przekroju poprzecznego.

Dlaczego wyznaczamy rdzeń przekroju?

Jest to ważne zagadnienie w budownictwie, ponieważ niektóre konstrukcje są wrażliwe na rozciąganie bądź ściskani, np. filarek międzyokienny murowany ma bardzo niską wytrzymałość na rozciąganie stąd mimośród siły ściskającej musi być taki, aby dopuszczalne naprężenia na rozciaganie nie zostały przekroczone.

Co to jest siła krytyczna?

Jest to najmniejsza siła osiowo ściskająca, przy której pręt z postaci prostoliniowej przechodzi w krzywoliniową. Dana jest ona wzorem:

$$P_{E} = \frac{\pi^{2} \bullet E \bullet I_{\min}}{l_{w}^{2}}$$

E – moduł Young’a
I_min – najmniejszy moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta
l_w – długość wyboczeniowa pręta

Wzór ten jest słuszny dla wyboczenia sprężystego tzn. wtedy, gdy naprężenia krytyczne są mniejsze od granicy sprężystości (smukłość pręta jest większa od smukłości granicznej λ_gr)

$$\lambda_{\text{gr}} = \pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_{\text{proj}}}}$$

Co to jest wyboczenie pręta?

Jest to przejście pręta z postaci prostoliniowej do postaci krzywoliniowej.

Wymień imperfekcje stosowane w modelu matematycznym.

• Pręt jest doskonale prosty;

• Pręt wykonany jest z materiału jednorodnego i izotropowego;

• W tym materiale nie ma defektów;

• Siła przyłożona jest doskonale osiowo.

Co to jest naprężenie krytyczne?

Jest to iloraz wartości siły krytycznej przez pole przekroju poprzecznego pręta.

Definicje ważniejszych granic.

Granica proporcjonalności (R_H) – naprężenie umowne, największa wartość naprężenia normalnego, do którego przyrostom wydłużenia względnego odpowiadają jeszcze proporcjonalne przyrosty naprężenia.

Umowna granica sprężystości (Rs = R_0,05) – taka wartość naprężenia, przy której odkształcenie trwałe osiąga wartość 0,05%.

Umowna granica plastyczności (R_0,2) – taka wartość naprężenia, przy której odkształcenie trwałe osiąga wartość 0,2%

Wyraźna granica plastyczności (R_e) – naprężenie, przy osiągnięciu którego występuje wyraźny wzrost wydłużenia rozciąganej próbki.

Górna granica plastyczności (R_eH) – wartość naprężenia w momencie, kiedy następuje pierwszy spadek siły.

Dolna granica plastyczności (R_eL) – najmniejsze naprężenie podczas płynięcia, z pominięciem ewentualnego początkowego okresu przejściowego.

Wytrzymałość na rozciąganie (R_m) – naprężenie odpowiadające największej sile.

Naprężenie rozrywające (R_u) - naprężenie, przy którym następuje rozerwanie próbki.

Co się stanie, jeżeli na pręt zadziała siła krytyczna?

Pręt się wyboczy albo nie wyboczy.

Kiedy stosujemy wzór Eulera?

Kiedy mamy do czynienia z wyboczeniem sprężystym (λ ≥ λgr)

Kiedy nie stosujemy wzoru Eulera?

Kiedy mamy do czynienia z wyboczeniem niesprężystym (λ ≤ λgr).

Przedstaw wykres б_KR od λ.

Co to jest moduł Young’a?

Moduł Young’a inaczej współczynnik sprężystości podłużnej E jest jedną z najważniejszych stałych materiałowych. Charakteryzuje on opór jaki element stawia siłom odkształcającym w zależności od własności fizycznych materiału. Jest to wielkość mianowana i ma wymiar naprężenia. Wartość jego ustalamy doświadczalnie. Można go wyznaczyć m.in. poprzez pomiar przemieszczeń zginanej belki. Zakładamy, że występuje czyste zginanie. Przybliżoną wartość można wyznaczyć ze wzoru:

$$E = \frac{l^{3} \bullet P}{48 \bullet I \bullet f}$$

Istota hipotez wytrzymałościowych.

W laboratoriach przeprowadzamy elementarne badania dla osiowego stanu naprężenia. W rzeczywistości mamy do czynienia ze złożonym stanem naprężenia. Istotnym problemem do rozwiązania pozostaje jak elementarne badania laboratoryjne przetransformować do sytuacji rzeczywistych. Takie przeniesienie nie jest jednoznaczne stąd powstało wiele hipotez na ten temat. Nazywa się je hipotezami wytrzymałościowymi lub hipotezami wytężeniowymi. Dzięki nim można wyznaczyć największe nośności konstrukcji.

Jakie wyróżniamy hipotezy wytrzymałościowe?

• Hipoteza o największym naprężeniu normalnym (hipoteza Galileusza);

• Hipoteza o największym wydłużeniu względnym (hipoteza Saint-Venanta);

• Hipoteza o największym naprężeniu stycznym (hipoteza Coulomba lub hipoteza Treski);

• Hipoteza o największej energii odkształcenia postaciowego (hipoteza Hubera).

Nowsze uogólnione hipotezy powstałe na bazie hipotezy Hubera np. hipoteza Druckera-Pragera służąca do analizy tzw. geomateriałów.

Scharakteryzuj hipotezę Galileusza.

Mówi ona, że stan bezpieczny konstrukcji występuje wtedy, gdy naprężenia główne (ekstremalne naprężenia normalne występujące na płaszczyznach, na których naprężenia styczne są zerowe) są mniejsze lub równe naprężeniom granicznym (niszczącym, wynikającym z badań laboratoryjnych przeprowadzonych dla osiowego stanu naprężenia). Ta hipoteza, mimo, że najstarsza, jest dosyć często stosowana.

Scharakteryzuj hipotezę Saint-Venanta.

Mówi ona, że ze stanem bezpiecznym konstrukcji mamy do czynienia wtedy, gdy odkształcenia główne (ekstremalne wydłużenia względne występujące na płaszczyznach, na których odkształcenia postaciowe są zerowe) są mniejsze lub równe odkształceniom granicznym (wynikającym z badań laboratoryjnych przeprowadzonych dla osiowego stanu naprężenia). Istotne jest to, że kierunki naprężeń głównych i odkształceń głównych są takie same, dlatego można zapisać równania fizyczne. Wiadomo, że dla osiowego stanu naprężenia występującego na kierunku x₁ możemy zapisać zwykłe prawo Hooke’a.

Scharakteryzuj hipotezę Treski.

Mówi ona, że ze stanem bezpiecznym mamy do czynienia wtedy, gdy ekstremalne naprężenia styczne są mniejsze lub równe naprężeniom stycznym głównym. Ekstremalne naprężenia styczne występują na płaszczyznach, które są obrócone o kąt 45° w stosunku do płaszczyzn, na których występują naprężenia główne.

Scharakteryzuj hipotezę Hubera.

Mówi ona, że ze stanem bezpiecznym mamy do czynienia wtedy, kiedy spełniona jest następująca nierówność:

φ_p ≤ φ₀

Φ₀ – energia określona dla osiowego stanu naprężen.

Zgodnie z hipotezą Hubera o wytężeniu materiału (stopniu zbliżenia się do stanu niebezpiecznego) decyduje tylko ta część energii nagromadzonej w materiale podczas odkształcania jednostki objętości ciała, która po usunięciu sił zewnętrznych zużywana jest na odzyskanie przez ciało początkowej postaci, a nie jego objętości. Hipoteza Hubera została sformułowana w 1904r przez polskiego i niezależnie, na podstawie ich własnych badań, przez R. von Misesa (1913r) i H. Hencky'ego (1924r), stąd często nazywana jest hipotezą Hubera-Misesa-Hencky'ego, a w literaturze zachodniej także z pominięciem nazwiska Hubera.

Jakie trzy metody wymiarowania konstrukcji wyróżniamy?

• Metody deterministyczne (wśród nich wyróżniamy metodę naprężeń dopuszczalnych, obecnie nie jest ona powszechnie stosowana);

• Metody półpropabilistyczne (wśród nich wyróżniamy metodę stanów granicznych);

• Metody probabilistyczne.

Scharakteryzuj metody półpropabilistyczne na przykładzie metody stanów granicznych.

Metoda stanów granicznych to jedna z metod półpropabilistycznych. Bazuje ona na nośności granicznej. Wszystkie parametry podawane w normach do projektowania (obecnie w Polsce obowiązują tzw. eurokody), w których wyróżniamy dwa stany graniczne: stan graniczny nośności i stan graniczny użytkowalności. Wszystkie parametry podawane w normach są ustalane z zachowaniem wszelkich zasad rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej. Dalszy etap projektowania odbywa się w sposób deterministyczny. Stąd nazwa metody półpropabilistyczne.

Wymień przypadki następowania przekroczenia stanu granicznego nośności.

• Nastąpiło przekształcenie konstrukcji, układ geometrycznie zmienny. Mówi się, że konstrukcja przekształciła się w mechanizm;

• Nastąpiła utrata stateczności np. siła osiowo ściskająca działająca na pręt osiągnęła wartość siły krytycznej;

• Nastąpiło duże przemieszczenie konstrukcji, wyraźnie zmieniła się jej konfiguracja;

• Nastąpiło zjawisko rezonansu, czyli zjawisko nakładania się drgań, prowadzące do nieograniczonego zwiększenia amplitudy i doprowadzenia do zniszczenia.

Wymień przypadki następowania przekroczenia stanu granicznego nośności.

• Przekroczenie dopuszczalnego przemieszczenia;

• Zarysowanie konstrukcji żelbetowej przekraczające dopuszczalne;

• Obniżenie komfortu użytkowania lub utrudnienie użytkowania:

• Strop w mieszkaniu nadmiernie ugiął się – trudno ustawić meblowanie;

• Strop uległ zarysowaniu.

Jakie ma powiązanie Rudolf Modrzejewski z Mostem Fordońskim?

Most Fordoński otrzymał w marcu 2008r imię Rudolfa Modrzejewskiego. Konstruktor jest także patronem Zespołu Szkół Geodezyjno-Drogowych w Poznaniu.

Podaj 5 przykładów mostów zaprojektowanych przez Rudolfa Modrzejewskiego.

• Trans-Bay Bridge w San Francisco

• Ambassador Bridge w Detroit

• Benjamin Franklin Bridge w Filadelfii

• Harahan Bridge w Memphis

• Quebec Railway w Kanadzie

Życiorys Rudolfa Modrzejewskiego.

Rudolf Modrzejewski (ur. 27 stycznia 1861 w Bochni, zm. 26 czerwca 1940 w Los Angeles) – inżynier. Był synem pary aktorskiej Heleny Modrzejewskiej i Gustawa Zimajera. W wieku piętnastu lat wraz z matką emigrował do USA. Obywatelstwo amerykańskie uzyskał podczas studiów w paryskiej Państwowej Szkole Dróg i Mostów, w 1883 (od tego czasu używał oficjalnie nazwiska Ralph Modjeski, ale nigdy nie zerwał swoich kontaktów z Polską - dużo pisał po polsku i zawsze podkreślał swoje pochodzenie). Do USA wrócił z Paryża – ukończywszy tam studia z wyróżnieniem – w 1885 i podjął pracę inżyniera najpierw pod okiem konstruktora, "ojca budownictwa mostów amerykańskich", George S. Morisona. W 1893 założył w Chicago własne biuro projektowe (istniejące do dziś pod nazwą Modjeski & Masters, po dołączeniu do niej w 1924 Franka M. Mastersa). W 1911 otrzymał doktorat inżynierii w Illinois State University, w 1922 Medal Franklina, w 1929 roku złoty John Fritz Medal. Światowej sławy inżynier, budowniczy linii kolejowych i mostów. Pionier w budownictwie mostów wiszących. Zbudował prawie 40 mostów na największych rzekach Ameryki Północnej. Odegrał znaczącą rolę jako wychowawca następnych pokoleń amerykańskich konstruktorów i budowniczych mostów. Jego uczniem był m.in. twórca słynnego mostu Golden Gate w San Francisco - Joseph B. Strauss.

Co wiesz o Maksymilianie Tytusie Huberze?

Maksymilian Tytus Huber (ur. 4 stycznia 1872, zm. 9 grudnia 1950) – polski naukowiec, inżynier mechanik. Prowadził teoretyczne prace badawcze z zakresu mechaniki klasycznej i wytrzymałości materiałów. Sformułował hipotezę wytężenia materiału, będącą obecnie jednym z podstawowych wzorów we wszelkich obliczeniach wytrzymałościowych. Ukończył szkołę średnią we Lwowie i studia na Wydziale Inżynierii Lwowskiej Szkoły Politechnicznej. Obronił pracę doktorską z teorii sprężystości ciał stałych. Od 1908 był profesorem Politechniki Lwowskiej. Po dramatycznych przeżyciach w okupowanej Warszawie (powstanie warszawskie) znalazł się w obozie przejściowym dla ludności Warszawy w Pruszkowie, a później w Zakopanem. W 1945 zamieszkał w Gdańsku i organizował Politechnikę Gdańską. Podjął się kierowania dwiema katedrami oraz urządzenia laboratorium wytrzymałości i mechaniki. W 1949 zamieszkał w Krakowie i przyjął funkcję kierownika specjalnie dla niego utworzonej Katedry Wyższych Zagadnień Mechaniki w AGH. Położył również wielkie zasługi dla rozwoju polskiej nauki i kultury, pracując społecznie w Zarządzie Kasy im. Józefa Mianowskiego, która odegrała tak doniosłą rolę w życiu społeczeństwa polskiego na przełomie XIX i XX wieku. Był doktorem honoris causa Akademii Górniczo-Hutniczej (1945), Politechniki Warszawskiej (1948) i Gdańskiej (1950).