Zadanie:
Przedsiębiorstwo zajmuje się wytwarzaniem i sprzedażą wyrobów w ramach dwóch grup asortymentowych:
I grupa wyroby A, B, C
II grupa wyroby D, E, F
Zestawienie przychodów i kosztów jest następujące:
| I grupa | II grupa | |
|---|---|---|
| A | B | |
| 1 | Przychody ze sprzedaży ( zł) | 1 500 |
| 2 | Koszty zmienne (zł) | 700 |
| 3 | Koszty stałe (zł) (3-4) | 100 |
Koszty stałe grup asortymentowych wynoszą:
I grupa 800 zł
II grupa 950 zł
Koszty stałe przedsiębiorstwa wynoszą 2 900 zł.
Należy przeprowadzić wielostopniowy rachunek kosztów i wyników. (możemy przeprowadzić wielostopniowy rachunek kosztów i wyników gdy są wyodrębnione koszty stałe)
Rozwiązanie etapami:
| 4 | Marża brutto Iº (1-2) | 800 | 1 300 | 1 800 | 900 | 1 500 | 1 700 | Rentowność produktów |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 | Marża brutto IIº | 700 | 1 150 | 1 550 | 800 | 1 350 | 1 500 | Rentowność grup |
| 6 | Koszty stałe grupy asortymentowej | 800 | 950 | |||||
| 7 | Marża brutto IIIº | 2 600 | 2 700 | Bardziej rentowna jest grupa II | ||||
| 8 | Koszty stałe przedsiębiorstwa | 2 900 | Rentowność przedsiębiorstwa | |||||
| 9 | Wynik finansowy brutto | 2 400 |
I etapem jest wyznaczenie marży brutto Iº . Daje nam to odpowiedź, które wyroby najlepiej produkować .
II etapem jest wyznaczenie marży brutto IIº
III etapem jest wyznaczenie marży brutto IIIº , w tym wypadku możemy powiedzieć, że bardziej rentowna jest grupa 2
Dla I grupy : 700 + 1 150 + 1 550 − 800 = 2 600
Dla II grupy: 800 + 1 350 + 1 500 − 950 = 2 700
IV etap – wyznaczamy wynik finansowy brutto
Koszty stałe przedsiębiorstwa 2900
Wynik finansowy = 2 600 + 2 700 − 2 900 = 2 400 zl
Powyższe są pomocne przy podejmowaniu decyzji krótkoterminowych.
Metody wyodrębnienia kosztów stałych i kosztów zmiennych:
metoda księgowa
metoda statystyczna
metoda matematyczna
Metoda księgowa – polega na tym, iż osoba zatrudniona w dziale księgowości bądź w dziale controllingu, lub ewidencji kosztów na podstawie swojego doświadczenia wiedzy oraz intuicji, w sposób arbitralny dokonuje podziału kosztów na koszty stałe oraz zmienne.
Należy ona do metod szacunkowych stąd nie nadaje się do oceny kosztów stałych i kosztów zmiennych jako jedyna metoda. Ponadto metoda ta jest rekomendowana tylko i wyłącznie dla przedsiębiorstw małych o nieskomplikowanym procesie wytwórczym. Jest to metoda która nie powinna być stosowana w dużych przedsiębiorstwach o złożonym procesie wytwórczym, im większe przedsiębiorstwo tym większe prawdopodobieństwo błędu. Osoba , która dokonuje podziału na koszty stałe i koszty zmienne powinna być dłuższy czas związana z przedsiębiorstwem.
Kolejne metody bazują na zależności liniowej miedzy kosztami, a wielkością produkcji.
Y = ax + b
Ki = ks + kjz × xi
Koszt calkowity = koszt staly + koszty jednostkowe zmienne × wielkosc produkcji
Dane:
|
|
|
|---|---|---|
|
80 | 10 200 |
|
90 | 10 900 |
|
100 | 12 100 |
|
80 | 10 800 |
|
120 | 13 700 |
|
110 | 12 500 |
| Razem | 580 | 70 200 |
Metoda statystyczna:
Graficzna metoda wyznaczenia linii regresji:
Z punktu najwyżej wysuniętego prowadzimy linię prostą (linię regresji) przez przynajmniej trzy punkty , miejsce przecięcia z osią y wyznacza nam poziom kosztów stałych.
Czyli Ks = 3150
Jest to również metoda szacunkowa
Możemy zapisać równanie
13 700 = 3 150 + 120 × kjz
kjz = 87, 92
Jak oszacować stopień dokładności – im więcej punktów umieściliśmy na lini regresji, tym bardziej wiarygodna wielkość Ks. Więc metoda ta również nie nadaje się , jako jedyna przy szacowaniu kosztów.
Metoda najmniejszych kwadratów
kjz jest wyznaczone formułą:
$$kjz = \frac{n \times \sum_{i = 1}^{n}{xi \times Ki - \sum_{i = 1}^{n}{xi \times \sum_{i = 1}^{n}\text{Ki}}}}{n \times \sum_{i = 1}^{n}\text{xi}^{2} - (\sum_{i = 1}^{n}{xi)}^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$
n – liczba obserwacji szeregu czasowego
|
xi × Ki |
xi2 |
|---|---|---|
|
|
6 400 |
|
|
8 100 |
|
|
10 000 |
|
|
6 400 |
|
|
14 400 |
|
|
12 100 |
$$\sum_{}^{}\mathbf{\ }$$ |
|
57 400 |
$$kjz = \frac{6 \times 6\ 890\ 000 - 580 \times 70\ 200}{6 \times 57\ 400 - {(580)}^{2}} = 78$$
$$Ks = \overset{\overline{}}{K} - \overset{\overline{}}{x} \times kjz$$
$$Ks = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\text{ki}}{n} - \ \frac{\sum_{i = 1}^{n}\text{xi}}{n} \times kjz$$
$$Ks = \frac{70200 - 580 \times 78}{6} = 4160$$
$$\hat{\text{Ki}} = 4\ 160 + 78 \times xi$$
Metoda najmniejszych kwadratów - jest to metoda najdokładniejsza, gdyż bazuje na wszystkich obserwacjach szeregu czasowego. Możemy bardzo dokładnie określić stopień kosztów stałych i kosztów zmiennych w przedsiębiorstwie.
Stopień dopasowania parametrów funkcji kosztów określamy za pomocą współczynnika indeterminacji liniowej (współczynnika zbieżności liniowej).
Współczynniki indenterminacji liniowej
φ2 ∈ <0; 1>
$$\varphi^{2}\ = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( Ki - \ \hat{K} \right)^{2}}{\sum_{i = 1}^{n}\left( Ki - \ \overset{\overline{}}{K} \right)^{2}}$$
Współczynnik indenterminacji liniowej informuje nas o tym jaka część zmienności kosztów całkowitych nie została wyjaśniona zmianami wielkości produkcji.
Im φ2 bliższe 0 , tym lepsze dopasowanie parametrów kosztów stałych i kosztów jednostkowych zmiennych.
| miesiąc | Ki |
$$\hat{K} = 4\ 160 + 78 \times xi$$ |
$$\left( Ki - \ \hat{K} \right)^{2}$$ |
$$\left( Ki - \ \overset{\overline{}}{K} \right)^{2}$$ |
|---|---|---|---|---|
| I | 10 200 | 10 400 | 40 000 | 2 250 000 |
| II | 10 900 | 11 180 | 78 400 | 640 000 |
| III | 12 100 | 11 960 | 19 600 | 160 000 |
| IV | 10 800 | 10 400 | 160 000 | 810 000 |
| V | 13 700 | 13 520 | 32 400 | 4 000 000 |
| VI | 12 500 | 12 740 | 57 600 | 640 000 |
| Razem | 70 200 | 70 200 | 388 000 | 8 500 000 |
$$\overset{\overline{}}{K} = \frac{\sum_{}^{}\text{ki}}{n} = \frac{70\ 200}{6} = 11\ 700$$
φ2= $\frac{388\ 000}{8\ 500\ 000} = 0,0456 = 4,56\%$ (do 4 miejsc po przecinku) – w ujęciu bezwzględnym
Wniosek: W 4,56% zmiany kosztów całkowitych nie są tłumaczone zmianami wielkości produkcji, lub w 95,44% zmiany kosztów całkowiych są tłumaczone zmianami wielkości produkcji.
METODY MATEMATYCZNE ( zwane schmalenbachowskimi)
Ujęcie statystyczne
Ujęcie dynamiczne
Ujęcie statyczne jest stosowane wówczas kiedy zależność pomiędzy kosztami i wielkością produkcji ma charakter liniowy.
Ujęcie dynamiczne ma zastosowanie wówczas kiedy zależność pomiędzy kosztami i wielością produkcji obejmuje inne funkcje niż funkcja liniowa tzn. funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna bądź w postaci wielomianu.
W takiej sytuacji do wyznaczenia kosztów stałych i zmiennych stosujemy pochodne pierwszego i drugiego stopnia.
kjz = k′
$$kjz = k' = \ \frac{k}{x} = \frac{K_{2} - K_{1}}{x_{2} - x_{1}}$$
k' – jednostkowy koszt krańcowy
X2 – wielkość produkcji największa w szeregu czasowym;
X1 – wielkość produkcji najmniejsza w szeregu czasowym ;
K2 – koszt poniesiony przy produkcji x2;
K1 – koszt poniesiony przy produkcji x1;
$$K' = \ kjz = \frac{13\ 700 - 10\ 200}{120\ szt - 80szt} = \ 87,5$$
10 200 bo bierzemy skrajnie dla najmniejszej, gdyby było dla większego to tam gdzie większe
Ks = KR = K(x) − K′(x) = 13 700zl − 87, 5zl/szt × 120szt = 3 200 zl
Całkowity koszt krańcowy tj. jednostkowy koszt krańcowy x ilość szt.
KR ( koszty rezydualne) – różnica pomiędzy całkowitymi kosztami przy danej wielkości produkcji ekstrem, a kosztami końcowymi przy danej wielkości produkcji ekstrem.
$$\hat{\text{Ki}} = 3\ 200 + 87,5xi$$
Metoda opiera się na dwóch wielkościach skrajnych szeregu czasowego. Stopień dopasowania parametrów funkcji nie jest zbyt dokładny.
Najlepsza metoda najmniejszych kwadratów .
Współczynnik elastyczności kosztów
$$E = \frac{\frac{K}{K}}{\frac{X}{X}}$$
LUB
$$E = \frac{kjz \times xi}{ks + kjz \times xi}$$
$\frac{K}{K}$ – relatywny przyrost kosztów
$\frac{X}{X}$ – relatywny przyrost produktów
KOSZTY PROGRESYWNE - koszty, które rosną szybciej niż koszty produkcji
E > 1
KOSZTY ZMIENNE PROPORCJONALNIE – zależność liniowa
E = 1
KOSZTY DEGRESYWNE – koszty rosną ale wolniej niż wzrasta wielkość produkcji
0 < E < 1
KOSZTY REGRESYWNE – koszty maleją wraz ze wzrostem wielkości produkcji
E < 0
Zadanie:
Na podstawie funkcji kosztów K = 1926, 28 + 21, 61xi. Proszę wyznaczyć współczynnik elastyczności kosztów przy produkcji 46 szt. oraz 58 szt. wyrobów. Proszę dokonać oceny tych kosztów.
$$E = \frac{kjz \times xi}{ks + kjz \times xi}$$
Ks = 1 926, 28
kjz = 21, 61
X1 = 46 szt
$$E_{1} = \frac{21,61 \times 46}{1\ 926,28 + 21,61 \times 46} = 0,3404$$
Ks = 1 926, 28
kjz = 21, 61
X1 = 58 szt
$$E_{2} = \frac{21,61 \times 58}{1926,28 + 21,61 \times 58} = 0,3942$$
KOSZTY DEGRESYWNE < 0;1> wzrost produkcji o 1% powyżej 46 szt. / 58 szt. powoduje wzrost kosztów o 0,3404 – 34,04 %
Zadanie 2
Na podstawie danych proszę przeprowadzić analizę współczynnika elastyczności kosztów:
|
|
|
xi × Ki |
xi2 |
|---|---|---|---|---|
|
45 | 2 400 | 108 000 | 2 025 |
|
50 | 2 700 | 135 000 | 2 500 |
|
55 | 2 980 | 163 900 | 3 025 |
|
60 | 3 240 | 194 400 | 3 600 |
|
65 | 3 450 | 224 250 | 4 225 |
|
70 | 3 640 | 254 800 | 4 900 |
| Razem | 345 | 18 410 | 1 080 350 | 20 275 |
$$kjz = \frac{n \times \sum_{i = 1}^{n}{xi \times Ki - \sum_{i = 1}^{n}{xi \times \sum_{i = 1}^{n}\text{Ki}}}}{n \times \sum_{i = 1}^{n}\text{xi}^{2} - (\sum_{i = 1}^{n}{xi)}^{2}}\ $$
$$kjz = \frac{6 \times 1\ 080\ 350 - 345 \times 18\ 410}{6 \times 20\ 275 - {(345)}^{2}} = \frac{6\ 482\ 100 - 6\ 351\ 450}{121\ 650 - 119\ 025} = \frac{130\ 650}{2\ 625} = 49,77$$
$$Ks = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\text{ki}}{n} - \ \frac{\sum_{i = 1}^{n}\text{xi}}{n} \times kjz$$
$$Ks = \frac{18\ 410 - 345 \times 49,77}{6} = \frac{1\ 239,35}{6} = 206,56$$
$$\hat{\text{Ki}} = 206,56 + 49,77 \times xi$$
$$E = \frac{kjz \times xi}{ks + kjz \times xi}\ $$
$$E = \frac{49,77 \times 70}{206,56 + 49,77 \times 70} = \frac{3483,90}{3690,46} = 0,944$$
LUB
$$E = \frac{\frac{K}{K}}{\frac{X}{X}}\ \rightarrow \ \frac{\frac{K_{2} - K_{1}}{K}}{\frac{X_{2} - X_{1}}{X}}$$
$$E = \frac{\frac{3\ 650 - 2\ 400}{18\ 410}}{\frac{70 - 45}{345}} = 0,937$$