Wykład III
2. Metoda siecznych (regóła fali),
Geometrycznie metoda ta polega na zastapieniu łuku krzywej, Y=f(x) w przedziale domknietym <a,b> sieczna przechodząca przez pkt A=(a,f(a)) B=(b,f(b)) wówczas pkt przeciecia sie prostej AB z osia OX jest pierwszym przyblizeniem x1 szukanego pierwiastka Alfa równania F(x)=0
Równanie prostej AB ma postać: przykład 1
Nastepnie obieramy na krzywej y=f(x) pkt c=x1,f(x1) i prowadzimy kolejne cięciwy.
załórzmy że funkcja f(x) spełnia na przedziale AB nastepujace warukni f’ oraz f’’ maja w tym przedziale stały znak (wówczas medote siecznych można stosowac bez komplikacji.)
Wobec tych załorzeń wykres funkcji Y=f(x) jest z jednym z czterech rodzajów przedstawionych poniżej.
WYKRESY I
Rozpatrzmy przypadek gdy F’>0 oraz F’’ >0 na przedziale <a,b>
Wykres II
Mając pierwsze przybliżenie X1 pierwiastka Alfa obieramy na krzywej Y=f(x) pkt C=(x1f(x1)) i prowadzimy kolejna cięciwe przez pkt B,C wówczas przykład 1.2
Kolejno wybieramy na krzywej f(x) pkt f(x2) D i prowadzimy prosta BD otrzymując trzecie przyblizenie x3 pierwiastka alfa.
Przyykład 1.3
Postepując w ten sposób otrzymujemy wzór określajaćy przyblizenie pierwiastka alfa w postaci (n+1) przykład 1.4
Kryterium wyboru pkt nieruchomego a w konsekfencji kryterium wyboru wzoru wg którego prowadzimy oblicznia.
Jeżeli f(b)*f’’(b)>0 to pkt nei ruchomynm jest pkt B (b,f(b)) i obliczenia prowadzimy wg wzroru ( Wzór I )
Aby uzyzkac przyblizenie pierwiastka alfa za dana z goru dokładnościa Epsylon należy dobrać „n” aby spełniona była nierówność |xn-x-n-1|<=m1/M1-m1*Epsylon E gdzie (Wyjaśnienie)
Przykład 2
Obliczyć pierwiastek równania :x3-2x-2=0