3. Lokalizacja pierwiastków metodą Struma

Ciąg struma:

Ciągiem struma dla wielomianu P(x) stopnia „n” nazywamy ciąg w postaci :

1. P(x) P₁(x) P₂(x)…. P_m(x) m <= „n” takie że:

2. P₁(x) = P’(x) oraz dla k=>2

3. P_k-2 przez P_k-1 wziętą ze znakiem przeciwnym

P_k(x) jest reszta dzielenia P_k-2 (x) _Pk-1(x) wziętą ze znakiem przeciwnym do momentu aż ostatni wyraz struma jest liczba rzeczywista P(x) nie ma pierwiastków wielokrotnych to ostatni wyraz ciągu struma jest liczbą różna od zera.

Przykład 1 :

P(x)=(x³-2x+1) Budujemy Ciąg struma:

W ciągu struma wyrazy oblicza się z dokładnością do dodatniego czynnika liczbowego w praktyce sprowadza się to do tego że wszystkie współczynniki w wyrazach ciągu struma są całkowite,

Przykład 2 :

P(x)=x⁴-x-1 budujemy ciąg struma :

Zastosowanie ciągu struma do określania liczby pierwiastków wielomianu. (ciąg dalszy przykładu 2)

Twierdzenie sturma:

Jeżeli wielomian P(x) nie ma pierwiastków wielokrotnych oraz P(a)≠0 i P(b)≠0 to liczba N(a, b) pierwiastków wielomianu należących do przedziału (a, b) wyraża się wzorem N(ab)=N(a)-N(b)

gdzie N(a) (odpowiednio N(b)) jest liczba zmian znaków w ciągu otrzymanym z ciągu Sturma przez podstawienie x= a(odpowiednio x= b).

Przykład 2.2 : Wyznaczyć liczbę pierwiastków wielomianu p(x)=x⁴-x-1 oraz :

1. N(0,1)

2. N(-2,1)

3. N(1,2)

Mając określoną liczbę pierwiastków wielomianu lokalizujemy pierwiastki korzystając ze znanego wzoru : |X_k|<=1+A/|a_n|

W powyższym przykładzie wiedząc że wielomian P(x) ma dwa pierwiastki szukamy tych pierwiastków korzystając z powyższego wzoru zatem : A= max{1,1} = 1

|X_k|<=1+1/1=2
X_k należy <-2,2>

II. Obliczanie pierwiastków za dana dokładnością:

1. Metoda połowienia przedziału

Załóżmy ze (a,b) jest przedziałem w którym istnieje dokładnie jeden pierwiastek równania F(x), oznacza to że F(a) *F(b)<0 wówczas za pierwsze przybliżenie szukanego pierwiastka przyjmujemy środek przedziału czyli x~= a+b /2 ± b-a /2 następnie obliczamy F(x₁) i z przedziałów (a₁,x₁)(b₁,x₁) wybieramy ten na końcach którego funkcja przyjmuje wartości różnych znaków procedurę powtarzamy dla tego przedziału przyjmując x₂

równe a+x₁/2±x₁-a/2 przy założeniu ze F(a)*f(x₁)<0 obliczanie kończymy gdy połowa długości przedziału jest mniejsza lub równa ɛ gdzie ɛ - z góry zadana dokładność

Przykład 2.3

Obliczyć jeden z pierwiastków wielomianu P(x)=x⁴-x-1 metoda połowienia przedziału