1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest poznanie własności dynamicznych przetworników drugiego rzędu, czyli układu prądowego RLC, który jest odpowiednikiem tego typu przetwornika, w funkcji czasu i częstotliwości oraz wyznaczenie podstawowych parametrów tych przetworników na drodze pomiarowej.

1. Schemat badanego układu RLC

II. Wyznaczenie wartości parametrów przetwornika dla kombinacji wartości oporu i pojemności.

Transmitancja na podstawie odczytanych wartości:

$$\mathbf{G}\left( \mathbf{s} \right)\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{S}\mathbf{*}{\mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{s}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{*}\mathbf{\xi}\mathbf{*}\mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\mathbf{*}\mathbf{s}\mathbf{+}{\mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}}^{\mathbf{2}}}$$

S = 1 (czułość),

ω₀ - pulsacja drgań swobodnych,

ξ – współczynnik tłumienia bezwzględnego.

$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ }\mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\mathbf{*}\sqrt{\mathbf{1}{\mathbf{-}\mathbf{\xi}}^{\mathbf{2}}}$ => $\mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}}{\sqrt{\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{\xi}^{\mathbf{2}}}}$

$$\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{= \ \ }\frac{\mathbf{2}\mathbf{*}\mathbf{\pi}}{\mathbf{\tau}}$$

R=1kΩ

L=33mH

C=4,7Nf

τ = 80 μs,

∆y_m = 1,6 V,

y(t_u) = 3,16 V,

t_u = 270 μs.

S=1

$$\omega_{1} = \ \ \frac{2*3,14}{0,08} = 78,5\ \frac{1}{s}$$

$$\frac{{y}_{m}}{{y(t}_{u})} = \ \frac{1,6}{3,16} = 0,5$$

Na podstawie powyższej wartości odczytano z poniższego nanogramu:

ξ = 0,2

$\omega_{0} = \ \frac{78,5}{\sqrt{1{- 0,2}^{2}}}$= 80,1[$\frac{1}{s}\rbrack$

A więc:

$$G\left( s \right) = \ \frac{1*{80,1}^{2}}{s^{2} + 2*0,2*80,1*s + {80,1}^{2}} = \ \frac{6416,01}{s^{2} + 32,04*s + 6416,01}$$

Wyznaczenie ξ teoretycznego:

$$\mathbf{\xi}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{2}}\mathbf{*}\sqrt{\frac{\mathbf{C}}{\mathbf{L}}}$$

ξ =  0,19

Błąd względny:

$$\delta\xi = \left| \frac{0,19 - 0,2}{0,19} \right| = 0,053 = 5,3\%$$

• R = 5,6kΩ , C = 4,7nF

t_u = 110 μs.

Tłumienie jest ponad tłumieniem krytycznym, układ zachowuje się jak inercyjny II rzędu, nie można weryfikować

• R = 470 Ω , C = 4,7nF

τ = 80 μs,

∆y_m = 2,12V ,

y(t_u) =3,16 V,

t_u = 528μs,

S=1

$$\frac{{y}_{m}}{{y(t}_{u})} = \ \frac{2,12}{3,16} = 0,67$$

A więc:

ξ = 0,12

Wyznaczenie wartościξ teoretycznej:

$$\xi = \ \frac{R}{2}*\sqrt{\frac{C}{L}}$$

ξ =  0, 1

Błąd względny:

$$\delta\xi = \left| \frac{0,1 - 0,12}{0,1} \right| = 0,2 = 20\%$$

$$\omega_{1} = \ \ \frac{2*3,14}{0,080} = 78,,5\ \frac{1}{s}$$

$\omega_{0} = \ \frac{78,5}{\sqrt{1{- 0,12}^{2}}}$= 79[$\frac{1}{s}\rbrack$,

• R = 1Ω , C = 47nF

t_u = 252 μs.

Tłumienie jest ponad tłumieniem krytycznym, układ zachowuje się jak inercyjny II rzędu, nie można weryfikować.

• R = 1k Ω , C = 1nF

τ = 36,8μs,

∆y_m = 2,12V ,

y(t_u) = 3,16 V,

t_u = 256μs,

S=1

$$\frac{{y}_{m}}{{y(t}_{u})} = \ \frac{2,12}{3,16} = 0,67$$

A więc:

ξ = 0,1

Wyznaczenie wartości ξ teoretycznej:

$$\xi = \ \frac{R}{2}*\sqrt{\frac{C}{L}}$$

ξ =  0, 09

Błąd względny:

$$\delta\xi = \left| \frac{0,09 - 0,1}{0,09} \right| = 0,11 = 11\%$$

$$\omega_{1} = \ \ \frac{2*3,14}{0,0368} = 170,7\ \frac{1}{s}$$

$\omega_{0} = \ \frac{170,7}{\sqrt{1{- 0,1}^{2}}}$= 171,6[$\frac{1}{s}$

Wnioski

Badany układ RLC stanowi przetwornik oscylacyjny II rzędu. Badano własności dynamiczne układu takie jak: pulsacje drgań swobodnych ω_0, współczynnik drgań tłumionych ξ. Na wskutek zmian parametrów oporu (R) i pojemności (C), zmieniały się parametry opisujące odpowiedź na skokowy sygnał wymuszający, takie jak: czas odpowiedzi tu, okres drgań tłumionych τ, przeloty_m i wartość ustalona odpowiedzi y(t_u).

Podczas pomiaru zaobserwowano pewne rozbieżności przy wartościach współczynnika tłumienia względnego, dla jednego z pomiarów ma ono wartość w granicach 5%, dla innego ok 20%. Spowodowane może to być faktem, że przy wyznaczaniu wartości współczynnika na podstawie odczytów z laboratorium posłużono się nanogramem, a więc wartości przybliżono i odczytano tylko z pewną dokładnością. Należy także uwzględnić możliwość niedokładnego odczytu z ekranu oscyloskopu. Nawet gdyby wyeliminowano powyższe błędy, to należy wziąć pod uwagę fakt, że wzory teoretyczne nie uwzględniają takich czynników jak: opory w przewodach, na kondensatorze czy strat w urządzeniach tworzących badany układ. To powoduje, że wartości teoretyczne zawsze będą nieznacznie różnić się od tych zmierzonych.

II. Wyznaczenie wartości parametrów przetwornika dla określonej częstotliwości

W obliczeniach używamy następujących wzorów:

$$\mathbf{K}\mathbf{=}\frac{\mathbf{U}_{\mathbf{\text{wy}}}}{\mathbf{U}_{\mathbf{\text{we}}}}$$

L=20logK

$$\mathbf{\psi}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{t}}{\mathbf{T}}\mathbf{\ :}\mathbf{360}\mathbf{}$$

f = 1/T

• Dla f=20,16 kHz:

U_we=3,20

U_wy=3,28

$$K = \frac{3,28}{3,20} = 1,03$$

L = 20log1, 03 = 0, 21

$\psi = - \frac{0}{49,6}\ :360$ =0

Kolejne pomiary były wykonywane analogicznie.

Wykresy charakterystyk

a) Charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa
- teoretyczna, przedstawiona za pomocą transmitancji widmowej:

b) wykres:

- teoretyczny

- doświadczalny

a) Charakterystyka fazowo-częstotliwościowa

- teoretyczna (za pomocą transmitancji widmowej)

b)wykres:

-teoretyczny

- doświadczalny

Wnioski

Wykresy charakterystyk jakie na podstawie obliczeń udało nam się obliczyć różnią się nieznacznie od idealnych. Czynnikiem wpływającym na niedokładność może być niedokładny odczyt danych z oscyloskopu, jednak nie ma to aż tak dużego wpływu gdyż widać, że przebieg jest charakterystyczny dla badanych przetworników.

Obserwując charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową przetwornika II rzędu można zauważyć obszar nagłego zwiększenia amplitudy. Dla najwyższej możemy odczytać odpowiadającą jej częstotliwość i tym samym poznać częstotliwość rezonansu. Jest to o tyle ważne ze często chcemy uniknąć wprawienia uradzenia w stan rezonansu gdyż niesie to za sobą rożne skutki w tym niebezpieczne.

Wykres charakterystyki fazowo-częstotliwościowej jest zbliżony do przebiegów charakterystycznych danego przetwornika.