Mateusz Piszczygłowa
Paweł Zieliński
M2 MiBM

ZADANIE nr 5

Dla podanego układu składającego się z belki zginanej oraz 2 prętów pracujących na ściskanie wyznaczyć współczynnik zapasu wytrzymałości (bezpieczeństwa) ze względu na wyboczenie.

Dane:
E_I=E_II=2*10⁵ MPa
l=1000 mm
Materiał: stal St3
α=30⁰

OBLICZANIE SIŁY WEWNĄTRZ PRĘTA ŚCISKANEGO

P_b = P − P_p P_b- siła działająca na belkę

P_p-siła działająca na pręty

f_b = f_p f_b-ugięcie belki

f_p-przesunięcie prętów

$$f_{b} = \frac{P_{b}l^{3}\ }{48EI}$$

$$f_{b} = \frac{(P - P_{p})l^{3}\ }{48EI}$$

$\Delta l = \frac{\text{Nl}}{\text{EA}}$ N-siła wewnętrzna w pręcie

$cos\alpha = \frac{\text{Δl}}{f_{p}}\ = > \ f_{p} = \frac{\text{Δl}}{\text{cosα}}$ l- długość pręta

E-moduł Younga

1. pole przekroju poprzecznego pręta

N = N₁ = N₂ = P_p * cosα

$$f_{p} = \frac{P_{p}l\cos\alpha}{\text{EA}\cos\alpha}$$

f_b = f_p

$$\frac{(P - P_{p})l^{3}\ }{48EI}\ = \frac{P_{p}l}{\text{EA}}\text{\ \ \ \ }{/ \bullet E\ \ /:l}^{3}$$

$$\frac{P - P_{p}\ }{48I}\ = \frac{P_{p}}{Al^{2}\alpha}{\text{\ \ \ }/ \bullet 48I\ \bullet \ /Al}^{2}$$

(P−P_p)Al²  = 48P_pI

PAl² − P_pAl²  = 48P_pI

PAl² = 48P_pI + P_pAl²

PAl² = P_p(48I + Al² )

$P_{p} = \frac{\text{PA}l^{2}}{(48I + Al^{2}\ )}$

$A = \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi \bullet 30^{2}}{4} = 706,9\ \lbrack\text{mm}^{2}\rbrack$ I_min= minimalny moment bezwładności belki

$I_{\min} = \frac{bh^{3}}{12} = \frac{20 \bullet 5^{3}}{12} = 208,3\ \lbrack\text{mm}^{4}\rbrack$

$P_{p} = \frac{20000 \bullet 706,9 \bullet 1000^{2}}{48 \bullet 208,3 + 706,9{\bullet 1000}^{2}\text{\ \ }\ } = 19999\ \left\lbrack N \right\rbrack = 19,99\lbrack kN\rbrack$

$N = \frac{P_{p}}{2cos\alpha}$

$$N = \frac{19,99}{2cos30^{o}} = 11,54kN$$

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA BEZPIECZEŃSTWA ZE WZGLĘDU NA WYBOCZENIE

$s = \frac{l_{w}}{i_{\min}}$ l_w-długość wyboczeniowa (dla danego przypadku wyboczenia l_w = l)

s- smukłość

i_min- promień bezwładności

$i_{\min} = \sqrt{\frac{I_{\min}}{A}}$ I_min-minimalny moment bezwładności

$$I_{\min} = \frac{\pi d^{4}}{64} = \frac{\pi \bullet 30^{4}}{64} = 39760,8\left\lbrack \text{mm}^{4} \right\rbrack$$

$$A = \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi \bullet 30^{2}}{4} = 706,9\left\lbrack \text{mm}^{2} \right\rbrack$$

$$i_{\min} = \sqrt{\frac{I_{\min}}{A}} = \sqrt{\frac{39760,8}{706,9}} = 7,5\lbrack mm\rbrack$$

$$s = \frac{l_{w}}{i_{\min}} = \frac{1000}{7,5} = 133,3$$

s > s_gr(dla stali ok 100) s_gr-smukłość graniczna

$\sigma_{\text{kr}}^{E} = \frac{\pi^{2}E}{s^{2}} = \frac{\pi^{2} \bullet 2 \bullet 10^{5}}{{133,3}^{2}} = 111,09\lbrack\text{MPa}\rbrack \cong 111\lbrack\text{MPa}\rbrack$ σ_kr^E-naprężenia krytyczne

$n_{w} = \frac{\sigma_{\text{kr}}^{E} \bullet A}{P_{\text{dop}}}$ n_w- współczynnik bezpieczeństwa P_dop- dopuszczalna siła w pręcie P_dop = 11, 5[kN]

$$n_{w} = \frac{111*406,9}{11500} = \mathbf{6,82}$$