GGiIŚ	Imię i nazwisko: 1. Ledwoń Adam 2. Lis Sławomir	ROK I	GRUPA 4	ZESPÓŁ 3
PRACOWNIA FIZYCZNA	TEMAT: MODUŁ YOUNGA	NR ĆWICZENIA 11
Data wykonania: 2.04.2011	Data oddania: 4.04.2011	Zwrot do poprawy:	Data oddania:	Data zaliczenia:

Cel doświadczenia:

Wyznaczenie modułu Younga metodą statyczną za pomocą pomiaru wydłużenia drutu z badanego metalu obciążonego stałą siłą.

Wprowadzenie:

Rzeczywiste ciała zmieniają swój kształt pod wpływem przyłożonych sił. Jeżeli po usunięciu siły ciało wraca do pierwotnego kształtu, mówimy o odkształceniu sprężystym. Prawo Hooke’a mówi, że odkształcenie sprężyste ciała jest proporcjonalne do przyłożonej siły.

Prawo Hooke’a dotyczy dowolnego kształtu ciała i konfiguracji przyłożonych sił. Rozpatrzmy najprostszy przypadek rozciągania jednorodnego pręta. Przyrost długości pręta Δl jest proporcjonalny do jego długości l i siły F, a odwrotnie proporcjonalny do przekroju poprzecznego S.

$$l = \frac{\text{Fl}}{\text{ES}}$$

Stała materiałowa E nosi nazwę modułu Younga.

Prawo Hooke’a dla rozciągania lub ściskania może być też zapisane w postaci wzoru:

σ = Eε

gdzie:

σ – naprężenie normalne σ = F/S

ε – normalne odkształcenie względne ε = Δl/l

Przymiotnik normalne oznacza, że dla przypadku rozciągania pręta tak siła jak i wektor przyrostu długości są prostopadłe do przekroju poprzecznego.

Wartość modułu Younga można by określić jako naprężenie, przy którym długość rozciąganego ciała ulega podwojeniu. W rzeczywistości prawo Hooke’a przestaje obowiązywać przy znacznie mniejszych odkształceniach.

Po przekroczeniu granicy sprężystości ciało odkształca się nieodwracalnie, trwale.

Układ pomiarowy:

1. Przyrząd do pomiaru wydłużenia drutu pod wpływem stałej siły, zaopatrzony w czujnik mikrometryczny do pomiaru wydłużenia drutu.

2. Zestaw odważników.

3. Śruba mikrometryczna.

4. Przymiar milimetrowy.

Wykonanie ćwiczenia:

Do wyznaczenia modułu Younga stosujemy metodę polegającą na bezpośrednim pomiarze wielkości wchodzących do wzoru definicyjnego:

$$l = \frac{\text{Fl}}{\text{ES}}$$

1. Na początku zmierzono drut stalowy przymocowany do układu pomiarowego, za pomocą przymiaru na prawym ramieniu statywu.

2. Zwolniono blokadę belki pomiarowej, a następnie zamocowano drut w statywie za pomocą nakrętek. Obydwie nakrętki górną i dolną dokręcano równomiernie, aby pozioma belka dotykała czujnika mikrometrycznego.

3. Po obciążeniu szalki czterema odważnikami kilogramowymi, zmierzono za pomocą śruby mikrometrycznej średnicę drutu w trzech różnych miejscach rozłożonych na całej jego długości.

4. Opróżniono szalkę z odważników i wyzerowano czujnik mikrometryczny. Następnie obciążając szalkę notowano w tabeli wielkość działającej siły i spowodowane przez nią wydłużenie drutu. Pomiary notowano również podczas odciążania szalki.

5. Wykonano analogiczny pomiar dla drutu z mosiądzu.

Wyniki pomiarów:

Tabela 1: Drut stalowy

Długość drutu l = 1067 mm u(l) = 1 mm

Średnica drutu (3 pomiary) d = 0,66 mm, d = 0,66 mm, d = 0,67 mm

Masa odważników [kg]	Siłą F [N]	Wskazanie czujnika ↑ [mm]	Wskazanie czujnika ↓ [mm]	Wydłużenie średnie Δl [mm]
1	9,81	0,145	0,145	0,145
2	19,62	0,310	0,320	0,315
3	29,43	0,465	0,460	0,463
4	39,24	0,590	0,580	0,585
5	49,05	0,720	0,735	0,728
6	58,86	0,870	0,865	0,868
7	68,67	0,980	0,975	0,978
8	78,48	1,145	1,160	1,153
10	98,10	1,485	1,485	1,485

Tabela 2: Drut mosiężny

Długość drutu l = 1068 mm u(l) = 1mm

Średnica drutu (3 pomiary) d = 0,73 mm, d = 0,74 mm, d = 0,73 mm

Masa odważników [kg]	Siła F [N]	Wskazanie czujnika ↑ [mm]	Wskazanie czujnika ↓ [mm]	Wydłużenie średnie Δl [mm]
1	9,81	0,345	0,350	0,348
2	19,62	0,681	0,655	0,668
3	29,43	0,950	0,960	0,955
4	39,24	1,215	1,225	1,220
5	49,05	1,495	1,480	1,488
6	58,86	1,750	1,750	1,750

Opracowanie wyników:

Na podstawie trzech pomiarów średnic drutów obliczono średnią wartość średnicy każdego drutu:

1. Stalowy

$$\mathbf{d} = \frac{0,66\ mm + 0,66\ mm + 0,67\ mm}{3} = 0,66\ mm = \mathbf{6,6*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 4}}\mathbf{m}$$

1. Mosiężny

$$\mathbf{d} = \frac{0,73\ mm + 0,74\ mm + 0,73\ mm}{3} = 0,73\ mm = \mathbf{7,3*}\mathbf{10}^{\mathbf{- 4}}\mathbf{m}$$

Niepewność u(d) dla obydwóch drutów jest jednakowa i wynosi:

u(d) = 0,01 mm (na podstawie działki elementarnej przyrządu).

Sporządzono wykresy dla drutów wykonanych ze stali i mosiądzu, na których przedstawiono zależność średniego wydłużenia Δl w funkcji przyłożonej siły rozciągającej F.

Do punktów dopasowano prostą, gdyż zależność wydłużenia od siły jest funkcją liniową.

Do sporządzenia wykresów wykorzystano program komputerowy w pracowni fizycznej. Strzałkami zaznaczono punkty, które odbiegały od prostoliniowego przebiegu.

Za pomocą programu komputerowego z pracowni fizycznej obliczono również wartości współczynników kierunkowych prostych a oraz ich niepewności u(a):

1. Dla drutu stalowego

a = 0,00001469 m/N

u(a) = 0,00000028 m/N

1. Dla drutu mosiężnego:

a = 00002835 m/N

u(a) = 0,00000053 m/N

Wykorzystując wzór roboczy obliczono wartość modułu Younga:

$$E = \frac{4l}{\pi d^{2}a}$$

1. Stalowy

$$\mathbf{E} = \frac{4*1,067\ m}{\pi*\left( 0,00066m \right)^{2}*0,00001469\ m/N} = \mathbf{212,31\ GPa}\ $$

1. Mosiężny

$$\mathbf{E} = \frac{4*1,068\ m}{\pi*\left( 0,00073m \right)^{2}*0,00002835\ m/N} = \mathbf{90}\mathbf{\text{\ GPa}}\ $$

Obliczenie niepewności wartości modułu Younga poprzez wykorzystanie prawa przenoszenia niepewności względnej:

$$\frac{u_{c}(E)}{E} = \sqrt{\left( \frac{u(l)}{l} \right)^{2} + \left( - 2\frac{u(d)}{d} \right)^{2} + \left( - \frac{u(a)}{a} \right)^{2}}$$

1. Dla drutu stalowego:

$$\frac{\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\mathbf{(E)}}{\mathbf{E}} = \sqrt{\left( \frac{0,001\ m}{1,067\ m} \right)^{2} + \left( - 2\frac{0,00001\ m}{0,00066\ m} \right)^{2} + \left( - \frac{0,00000028\ m/N}{0,00001469\ m/N} \right)^{2}} = \mathbf{0,03581}$$

Z tego:

u_c(E) = 7,603 GPa

1. Dla drutu mosiężnego:

$$\frac{\mathbf{u}_{\mathbf{c}}\mathbf{(E)}}{\mathbf{E}} = \sqrt{\left( \frac{0,001\ m}{1,068\text{\ m}} \right)^{2} + \left( - 2\frac{0,00001\ m}{0,00073\text{\ m}} \right)^{2} + \left( - \frac{0,00000053\ m/N}{0,00002835\ m/N} \right)^{2}} = \mathbf{0,03}\mathbf{318}$$

Z tego:

u_c(E) = 2,986 GPa

Obliczono niepewność rozszerzoną w celu porównania zmierzonej wartości modułu Younga z wartością tablicową dla danego materiału ze wzoru:

U(E) = k*u_c(E) , k = 2

1. Dla drutu stalowego

U(E) = 15,206 GPa

Dla stali E₀ = 210-220 GPa

Sprawdzono, czy spełniona jest nierówność:

|E−E₀| < U(E)

Bez obliczania różnicy stwierdzono, że zmierzona wartość modułu Younga dla stali jest zgodna z wartością tablicową w granicach niepewności rozszerzonej, gdyż zawiera się w przedziale, określającym rzeczywistą wartość modułu Younga dla tego metalu.

1. Dla drutu mosiężnego

U(E) = 5,972 GPa

Dla mosiądzu E₀ = 100 GPa

Sprawdzono, czy spełniona jest nierówność:

|E−E₀| < U(E)

E – E₀ = 90 GPa – 100 GPa = -10 GPa

Stwierdzono, że zmierzona wartość modułu Younga dla mosiądzu jest niezgodna z wartością tablicową w granicach niepewności rozszerzonej.

Wnioski:

Wyznaczona wartość modułu Younga dla stali jest zgodna z wartością tablicową w granicach niepewności rozszerzonej, co świadczy o dokładnym wykonaniu ćwiczenia dla stali. Natomiast dla mosiądzu wartość ta już nie jest zgodna z wartością tablicową, co może być spowodowane występowaniem niewykrytego błędu systematycznego lub grubego przy wykonywaniu pomiarów dla mosiądzu.

Na wykresach widoczna jest liniowa zależność wydłużenia od przyłożonej siły dla obydwu metali, co jest zgodne z prawem Hooke’a.