1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia było dobranie nastaw regulatorów przy użyciu kryteriów całkowych oraz metody Zieglera-Nicholsa.

1. Zadania do wykonania

a) Metoda analityczna

Pierwszym zadaniem było dobranie nastaw dla obiektu o znanych własnościach dynamicznych przy użyciu metody analitycznej. Był to statyczny obiekt inercyjny czwartego rzędu o schemacie przedstawionym poniżej.

Pierwszym krokiem było wyznaczenie odpowiedzi skokowej układu badanego.
Wykres zamieszczono na osobnym arkuszu, dopiętym na końcu sprawozdania.
Z wykresu odpowiedzi skokowej wyznaczono stałe czasowe oraz punkt przegięcia krzywej. Rezultaty poniżej.
T₀ = 4 s
T_z = 13.1 s
h_p= 0.46

Pełen tok obliczeń znajduje się w protokole do ćwiczenia. Na podstawie stałych czasowych, w oparciu o model Rotacza wyznaczono zastępczą stałą czasową oraz opóźnienie zastępcze, które wyniosły:
T_0r = 7.1 s
T_zr = 5.65 s

Następnie rozbudowano układ badawczy, by móc przeprowadzić jednoczesne pomiary dla regulacji nastaw regulatorów P,PI oraz PID. Zgodnie z poleceniem prowadzącego, przyjęto współczynnik wzmocnienia k = 5.
Wykonano następnie pomiary i obliczenia dla każdego z typów regulatorów, korzystając z pierwszego oraz trzeciego kryterium całkowego.
Wykresy, schemat układu oraz tabele wyników, na następnej stronie.

• schemat modelu badawczego
  

I₁ = ∫₀^∞e(t)dt

	P	PI	PID
kpk0	0,38	0,75	1,19
Ti	---	8,07	13,56
Td	---	---	2,26

I₃ = ∫₀^∞|e(t)|dt

	P	PI	PID
kpk0	0,88	0,88	1,51
Ti	---	7,78	11,3
Td	---	---	2,26

Dla wykresów z następnej strony, na podstawie przebiegu krzywych wywnioskowano, iż krzywe oznaczone kolejnymi numerami przedstawiają następujące człony:
I – regulator typ P (statyczny)
II – regulator typ PID (astatyczny)
III – regulator typ PI (astatyczny)

• Wykres przebiegów dla pierwszego kryterium całkowego

• Wykres przebiegów dla trzeciego kryterium całkowego

Na podstawie odczytów z wykresu dla pierwszego kryterium całkowego, który był czytelniejszy, dokonano obliczeń: odchyłki statycznej, odchyłki dynamicznej oraz oscylacyjności. Przykład obliczeniowy oraz wyniki poniżej.

• Obliczenia dla regulatora P

Odchyłka statyczna: e_s = (y_z – y(t)) = 0 – 3,04 = -3,04
Odchyłka dynamiczna: e_d = A₁+e_s= 1,24 – 3,04 = -1,8
Oscylacyjność: $\kappa = \left| \frac{A_{2}}{A_{1}} \right|*100\% = \frac{0,56}{1,24}*100\% = 45,2\%$

• Obliczenia dla regulatora PID

Odchyłka statyczna: e_s = 0
Odchyłka dynamiczna: e_d = 1,95
Oscylacyjność: κ = 29, 2%

• Obliczenia dla regulatora PI

Odchyłka statyczna: e_s = 0
Odchyłka dynamiczna: e_d = 2,06
Oscylacyjność: κ = 48, 5%

Wykresy dla trzeciego kryterium całkowego są niezbyt czytelne. Pełnią zatem wyłącznie funkcję poglądową.

b) Metoda Zieglera-Nicholsa

Metoda ta polega na stworzeniu z regulatora PID samego regulatora proporcjonalnego (czyli ustawienie nastaw T_d=0, T_i=◦◦) i ustawienie takiego współczynnika proporcjonalności T_kr, aby układ znalazł się na skraju stabilności. Odczytywany wtedy jest okres drgań i na jego podstawie dobierane są prawidłowe nastawy do regulatora.

Do wyznaczenia poszukiwanego okresu drgań T_kr posłużył poniższy model:

Uzyskano dzięki niemu następujący przejściowy przebieg krytyczny:

Odczytano wartość T_kr = 17,5s.
Była ona niezbędna do przeprowadzenia kolejnych obliczeń nastaw regulatorów, których przykład przedstawiono poniżej. Wzory zaczerpnięto z 73 strony skryptu.
Wartość współczynnika k_pkr = 0,925 przy którym wystąpiły oscylacje krytyczne oszacowano metodą „prób i błędów”, wykorzystując wskazówki udzielone, przez pracowników zakładu. Wyniki w tabeli.

Dla regulatora P: k_p = 0,5 k_pkr= 0, 5 * 0, 925 = 0, 4625

	kp	Ti	Td
Regulator P	0,4625	---	---
Regulator PI	0,41625	14,875	---
Regulator PID	0,555	8,75	2,1

Mając dane wartości niezbędnych współczynników przystąpiono do projektowania modelu doświadczalnego, mającego na celu wygenerowanie przebiegów dla tej metody.
Rysunek dla lepszej czytelności zamieszczono na nowej stronie.

Następnie wygenerowano przebiegi dla poszczególnych regulatorów, które posłużyły do przeprowadzenia obliczeń analogicznych jak dla metody analitycznej. Przebiegi poniżej.

Oznaczenia krzywych nie uległy zmianie. Tak jak poprzednio:
I – regulator typ P (statyczny)
II – regulator typ PID (astatyczny)
III – regulator typ PI (astatyczny)

Poniżej powiększony fragment wykresu. Niestety nie obejmuje on wystarczającego fragmentu krzywych, przez co jest bezużyteczny w obliczeniach. Pomógł jednak w upewnieniu się co do poprawnego przyporządkowania charakterystyk do poszczególnych regulatorów.

• Obliczenia dla regulatora P

Odchyłka statyczna: e_s = -2,83
Odchyłka dynamiczna: e_d = -1,45
Oscylacyjność: $\kappa = \left| \frac{A_{2}}{A_{1}} \right|*100\% = \frac{0,75}{1,38}*100\% = 54,3\%$

• Obliczenia dla regulatora PID

Odchyłka statyczna: e_s = 0
Odchyłka dynamiczna: e_d = 0,82
Oscylacyjność: κ = 21, 9%

• Obliczenia dla regulatora PI

Odchyłka statyczna: e_s = 0
Odchyłka dynamiczna: e_d = 0,63
Oscylacyjność: κ = 34, 8%

Uwaga: W modelu użyto wartości y_zad = 2

1. Wnioski

• Z wyznaczonych przez nas wielkości charakterystycznych przebiegów przejściowych można określić która z metod wyznaczania nastaw regulatorów jest najlepsza dla obiektu inercyjnego czwartego rzędu o zadanych parametrach.

• Najkrótszy czas regulacji uzyskano dla metody Zieglera-Nicholsa.

• Owa metoda posiada jedną wadę – układ trzeba wprowadzić w oscylację, co nie zawsze jest zjawiskiem pożądanym.

• Najdłuższy czas regulacji, nieoczekiwanie, uzyskano dla trzeciego kryterium całkowego.

• Wykres dla pierwszego kryterium całkowego, po dokonaniu niezbędnych modyfikacji w modelu, tzw. „Mercedes”, jest zgodny z przebiegiem oczekiwanym.

• Mniejsze wartości oscylacyjności oraz odchyłek uzyskano dla metody
  Zieglera-Nicholsa.

• Metody: analityczna i Zieglera-Nicholsa mogą być w praktyce stosowane do tych samych obiektów i dawać zbliżone wyniki lecz nie zawsze dopuszczalne jest wprowadzenie układu w oscylacje (na przykład blok energetyczny). Wynika z tego, iż w takich sytuacjach najlepszą metodą doboru nastaw jest metoda analityczna.