PARAMETRY STATYSTYCZNE - to wielkości liczbowe, które służą do opisu struktury zbiorowości statystycznej w sposób systematyczny

Zadania parametrów statystycznych

• Określenie przeciętnego rozmiaru i rozmieszczenia wartości zmiennej- za pośrednictwem miar położenia

• Określenie granic obszaru zmienności wartości zmiennej- za pośrednictwem miar zmienności

• Określenie skupienia i spłaszczenia (w stosunku do krzywej normalnej) oraz stopnia zmiany od idealnej asymetrii- za pośrednictwem miar asymetrii i koncentracji

MIARY POŁOŻENIA

• MIARY POZYCYJNE

• MIARY PRZECIĘTNE

MIARY POZYCYJNE

• modalna

• kwartyl pierwszy

• mediana (kwartyl drugi)

• kwartyl trzeci

• decyle

MIARY PRZECIĘTNE

• średnia arytmetyczna

• średnia harmoniczna

• średnia geometryczna

• inne

Miary przeciętne - charakteryzują średni lub typowy poziom wartości cechy, wokół których skupiają się wszystkie pozostałe wartości analizowanej cechy

ŚREDNIĄ ARYTMETYCZNĄ

• definiuje się jako sumę wartości cechy mierzalnej podzieloną przez liczbę jednostek skończonej zbiorowości statystycznej. 

ŚREDNIA NIEWAŻNA STOSOWANA DLA SZEREGÓW SZCZEGÓŁOWYCH

gdzie:

n - liczebność zbiorowości próbnej (próby),

x_i - wariant cechy

Dwóch pracowników wykonuje detale tego samego typu. Przeprowadzono obserwację czasu wykonania pięciu detali przez robotnika A i dziesięciu detali przez robotnika B i otrzymano następujące szeregi szczegółowe opisujące czas wykonania detalu:
dla robotnika A: 12, 15, 15, 18, 20
dla robotnika B: 10, 10, 12, 12, 15, 15, 18, 20, 21, 21

• Korzystając z wzoru na obliczenie średniej :

W pewnym doświadczeniu medycznym bada się czas snu pacjentów leczonych na pewną chorobę. Zmierzono u n=12 losowo wybranych pacjentów czas snu
i otrzymano następujące wyniki
(w minutach): 435,389,533,324,561,395,416,500,499,397,356,398.
Należy obliczyć średni czas snu:

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA WAŻONA- wyznacza się w szeregach rozdzielczych punktowych i w szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi

SZEREG ROZDZIELCZY PUNKTOWY

SZEREG ROZDDZIELCZY Z PRZEDZIAŁAMI KLASOWYMI

Ćwiczenie

• Dziesięć osób czekających przed gabinetami lekarskimi w przychodni zapytano, ile razy korzystały z porad lekarskich w ciągu ubiegłego roku kalendarzowego. Uzyskane informacje przedstawiono w postaci następującego szeregu rozdzielczego

Oblicz ile razy w roku przeciętnie korzystały z porad lekarza badane osoby?

Liczba porad	Liczba osób
0 1 2 3 4 6	1 1 2 2 3 1
Razem	10

Jeżeli znamy średnie arytmetyczne dla pewnych
r-grup i na tej podstawie chcemy wyznaczy średnią arytmetyczną dla wszystkich grup łącznie wykorzystujemy wówczas następujący wzór:

Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczy średni czas wykonania detalu przez robotnika A i B. Obliczona w ten sposób średnia nazywa się średnią ważona, wyznaczona na podstawie
średnich cząstkowych :

Wybrane właściwości średniej arytmetycznej 

• suma wartości cechy jest równa iloczynowi średniej i liczebności zbiorowości:

lub dla szeregu rozdzielczego

• średnia arytmetyczna spełnia warunek:

• suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej równa się zero

• Suma kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej jest minimalna

Lub

• średnia arytmetyczna jest wrażliwa na skrajne wartości cechy, a więc np. na wartości cechy jednostek przypadkowo włączonych do próby

• średniej arytmetycznej nie można obliczać w szeregach, w których udział liczebności (częstości) w przedziałach klasowych otwartych jest duży, do określenia przeciętnego poziomu zjawiska stosuje się wówczas parametry pozycyjne.

• średnia arytmetyczna z próby, przy zachowaniu warunków że próba jest reprezentacyjna jest dobrym przybliżeniem wartości przeciętnej.

• Średnia arytmetyczna jest miarą prawidłową jedynie w odniesieniu do zbiorowości jednorodnych, o niewielkim zróżnicowaniu wartości zmiennej. Średniej tej nie należy stosować w przypadku rozkładów skrajnie asymetrycznych, bimodalnych i wielomodalnych.

ŚREDNIĄ HARMONICZNĄ

• stosuje się wtedy, gdy wartości cechy są podane w przeliczeniu na stałą jednostkę  innej zmiennej, czyli w postaci wskaźników natężenia, np. prędkość pojazdu w km/h ; pracochłonność w szt/min. ; gęstość zaludnienia w osobach / km² .

• Średnia harmoniczna jest odwrotnością średniej arytmetycznej z odwrotności wartości zmiennych. W przypadku szeregów szczegółowych (wyliczających) średnią harmoniczną liczy się ze wzoru:

Dla szeregów rozdzielczych przedziałowych średnią harmoniczną liczy się następująco:

ŚREDNIĄ GEOMETRYCZNĄ

• stosuje się w badaniach średniego tempa zmian zjawisk, a więc gdy zjawiska są ujmowane dynamicznie.

Przykład:

• Z danych o ludności pewnego miasta wynika, że w trzech kolejnych okresach liczba ludności wynosiła odpowiednio : 5000, 7500, 8250. Obliczmy średni przyrost względny ludności:

• Wartości cechy (współczynniki względne) w tym zadaniu będą następujące:

Zgodnie z wzorem na obliczenie średniej geometrycznej średni przyrost ludności w trzech kolejnych latach wynosił

MODALNA Mo (dominanta D, moda, wartość najczęstsza)

• jest to wartość cechy statystycznej, która w danym rozdziale empirycznym występuje najczęściej

• Dla szeregów szczegółowych oraz szeregów rozdzielczych punktowych modalna odpowiada wartości cechy o największej liczebności (częstości).

• W szeregach rozdzielczych z przedziałami klasowymi bezpośrednio można określić tylko przedział, w którym modalna występuje, jej przybliżoną wartość wyznacza się graficznie z histogramu liczebności (częstości)

gdzie:

• m - numer przedziału (klasy), w którym występuje modalna,

• X_0m dolna granica przedziału, w którym występuje modalna,

• n_m - liczebność przedziału modalnej, tzn. klasy o numerze m,

• n_m-1; n_m+1 - liczebność klas poprzedzającej i następnej, o numerach m – 1 i m + 1,

• h_m - rozpiętość przedziału klasowego, w którym występuje modalna

KWANTYLE

• definiuje się jako wartości cechy badanej zbiorowości, przedstawionej w postaci szeregu statystycznego, które dzielą zbiorowość na określone części. Pod względem liczby jednostek, części te pozostają do siebie w określonych proporcjach.

KWARTYL DRUGI – MEDIANA Me

• dzieli zbiorowość na dwie równe części; połowa jednostek ma wartości cechy mniejsze lub równe medianie, a połowa wartości cechy równe lub większe od Me; stąd nazwa wartość środkowa

MEDIANA – SZEREG SZCZEGÓŁOWY

Przykład:

• wiek kobiet przyjętych w październiku 1999 na oddział położniczy z przyczyn nagłych można przedstawić w postaci następującego szeregu statystycznego:

18, 57, 34, 32, 29, 31, 19, 19, 27, 26, 26, 22, 23, 26, 26, 34, 26,

• Teraz należy ten szereg uporządkować:

18, 19, 19, 22, 23, 26, 26, 26, 26, 26,27, 29, 31, 32, 34, 34, 57.

• Szereg ten składa się z 17 wartości zmiennych. Wartością środkową – medianą- w tym przypadku będzie wartość znajdująca się na pozycji 9, czyli Me =26

Przykład:

• Weźmy pod uwagę tym razem wiek kobiet przyjętych w październiku 1999 roku na oddział położniczy w sposób zaplanowany.

• Po uporządkowaniu szereg opisujący wiek tych kobiet przedstawia się następująco: 19,21,22,28,28,29

• Jak widać tym razem mamy 6 przypadków, czyli ilość parzystą. Wartościami środkowymi będą wielkości z pozycji 3 i 4 , czyli 22 i 28. Medianą zatem będzie średnia arytmetyczna z tych dwóch liczb, czyli 25.

• W przypadku szeregu rozdzielczego przedziałowego medianę wyznacza się metodą graficzną lub rachunkową. W metodzie graficznej wykorzystuje się wykres krzywej liczebności skumulowanej.

• Jeżeli dane są przedstawione za pomocą szeregu rozdzielczego punktowego (cecha skokowa) – medianą jest pierwsza wartość, której odpowiada co najmniej połowa skumulowanej liczebności.

MEDIANA – SZEREG ROZDZIELCZY

GDZIE

• m - numer przedziału (klasy), w którym występuje mediana,

• X_0m dolna granica przedziału, w którym występuje mediana

• n_m - liczebność przedziału mediany, tzn. klasy o numerze m, 

suma liczebności przedziałów poprzedzających przedział mediany, czyli liczebność skumulowana,

h_m - rozpiętość przedziału klasowego, w którym jest mediana,

N_Me - pozycja mediany, czyli

Zastosowanie mediany

• W mikrobiologii do ustalenia przeciętnej liczby drobnoustrojów.

• W hematologii – do ustalania przeciętnej wartości erytrocytów lub leukocytów we krwi.

• Przy ustalaniu przeciętnej przeżywalności pooperacyjnej oraz dożywalności po leczeniu wielu nieuleczalnych dotychczas chorób (np. po operacjach nowotworów złośliwych).

KWARTYL PIERWSZY Q₁

• dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q1, a 75% równe bądź wyższe od tego kwartyla

KWARTYL TRZECI Q₃

• dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 75% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi trzeciemu Q3, a 25% równe bądź wyższe od tego kwartyla

DECYLE

• Np. decyl pierwszy oznacza, że 10% jednostek ma wartości cechy mniejsze bądź równe od decyla pierwszego, a 90% jednostek wartości cechy równe lub większe od decyla pierwszego