LABORATORIUM PODSTAW FIZYKI

Nr ćwiczenia 001

Temat ćwiczenia: Wyznaczenie momentu bezwładności ciał metodą wahadła fizycznego i sprawdzenie twierdzenia Steinera.

Nazwisko i imię prowadzącego:

Imię i nazwisko Nr indeksu, wydział
Termin zajęć	Środa 9:15 – 11:00
Data oddania sprawozdania	07.05.201
Ocena końcowa

Zatwierdzam wyniki pomiarów.

Data i podpis prowadzącego zajęcia:

Adnotacje dotyczące wymaganych poprawek oraz daty otrzymania poprawionego sprawozdania:

1. Cel ćwiczenia.

Celem naszego ćwiczenia jest stwierdzenie, że okres małych drgań wahadła fizycznego grawitacyjnego zależy od momentu bezwładności ciała oraz doświadczalne sprawdzenie twierdzenia Steinera. Wyznaczenie momentu bezwładności ciała względem osi środkowej. Niezbędnych czynności dokonamy za pomocą stojaka z metalową pryzmą, tarczy metalowej z symetrycznymi otworami i metalowego pierścienia.

1. Badane wielkości.

Podczas wykonywania ćwiczenia dokonamy pomiarów średnicy tarczy metalowej, odległości między otworami w tarczy oraz średnicy metalowego pierścienia za pomocą suwmiarki o dokładności δ=0,02mm, masy tarczy oraz pierścienia za pomocą wagi laboratoryjnej o dokładności δ=0,1g oraz okresu drgań wahadła za pomocą stopera z dokładnością δ=0,01s.

1. Wyniki pomiarów w tabelach.

PRZYPADEK PIERWSZY – ZAWIESZENIE METALOWEJ TARCZY NA ZEWNĘTRZNYCH OTWORACH

Tabela 1. – pomiary dla tarczy metalowej nr 1

m	∆m	n	∆n	2d	∆2d	d	∆d
[g]	[g]			[mm]	[mm]	[mm]	[mm]
1239,6	0,058	100	1	150	0,011	75	0,011

$${m}_{1} = \frac{\delta}{\sqrt{3}} = 0,0577g = 0,058g = 0,000058kg$$

$$2d = \frac{\delta}{\sqrt{3}} = 0,011mm$$

$$d = \ \sqrt{\frac{\partial d}{\partial 2d}} = \sqrt{\frac{2}{2}^{2}*{2d}^{2}} = 0,011mm = 0,000011m$$

Tabela 2. – pomiary czasu wykonywania 100 drgań dla tarczy metalowej nr 1

t	$$\overset{\overline{}}{t}$$	∆$\overset{\overline{}}{t}$	T	∆T
[s]	[s]	[s]	[s]	[s]
107,52	108,38	0,43	1,08	0,0043
108,84
108,77

$$t = \ \frac{\delta}{\sqrt{3}} = 0,0058s$$

$$\delta_{t} = \ \sqrt{\frac{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}{n(n - 1)}} = \ \sqrt{\frac{{(107,52 - 108,38)}^{2} + {(108,84 - 108,38)}^{2} + {(108,77 - 108,38)}^{2}}{3(3 - 1)}} = 0,43s$$

$$\overset{\overline{}}{t} = \sqrt{\delta^{2} + \frac{d^{2}}{3}} = \ \sqrt{{0,43}^{2} + \frac{{0,0058}^{2}}{3}} = 0,43s$$

$$T = \ \frac{t}{n} = \ \frac{108,38}{100} = 1,08s$$

$$T = \ \sqrt{\frac{\partial t}{\partial n}} = \ \sqrt{\frac{1}{n}^{2}*{t}^{2} + \left( - \frac{1}{n^{2}}*t \right)^{2}*{n}^{2}} = \ \sqrt{\frac{1}{100}^{2}*{0,43}^{2} + {( - \frac{108,38}{100^{2}})}^{2}*1} = 0,017s$$

PRZYPADEK DRUGI – ZAWIESZENIE METALOWEJ TARCZY NA WEWNĘTRZNYCH OTWORACH

Tabela nr 3 – pomiary dla tarczy metalowej nr 2

m	∆m	n	∆n	2d	∆2d	d	∆d
[g]	[g]			[mm]	[mm]	[mm]	[mm]
1239,6	0,058	100	1	56,20	0,011	28,10	0,011

Tabela nr 4 – pomiary czasu wykonywania 100 drgań dla tarczy metalowej nr 2

t	$$\overset{\overline{}}{t}$$	∆$\overset{\overline{}}{t}$	T	∆T
[s]	[s]	[s]	[s]	[s]
116,47	116,87	0,25	1,17	0,012
116,82
117,32

$$\delta_{t} = \ \sqrt{\frac{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}{n(n - 1)}} = \ \sqrt{\frac{{(116,47 - 116,87)}^{2} + {(116,82 - 116,87)}^{2} + {(117,32 - 116,87)}^{2}}{3(3 - 1)}} = 0,25s$$

$$\overset{\overline{}}{t} = \sqrt{\delta^{2} + \frac{d^{2}}{3}} = \ \sqrt{{0,25}^{2} + \frac{{0,0058}^{2}}{3}} = 0,25s$$

$$T = \ \frac{t}{n} = \ \frac{116,87}{100} = 1,17s$$

$$T = \ \sqrt{\frac{\partial t}{\partial n}} = \ \sqrt{\frac{1}{n}^{2}*{t}^{2} + \left( - \frac{1}{n^{2}}*t \right)^{2}*{n}^{2}} = \ \sqrt{\frac{1}{100}^{2}*{0,25}^{2} + {( - \frac{116,87}{100^{2}})}^{2}*1} = 0,012s$$

PRZYPADEK TRZECI – ZAWIESZENIE PIERŚCIENIA METALOWEGO

Tabela nr 5 – pomiary dla pierścienia metalowego

m	∆m	n	∆n	2r	∆2r	r	∆r	2R	∆2R	R	∆R
[g]	[g]			[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]
267,0	0,058	100	1	130,00	0,011	65,00	0,011	140,00	0,011	70,00	0,011

Tabela nr 6 – pomiary czasu wykonywania 100 drgań dla pierścienia metalowego

t	$$\overset{\overline{}}{t}$$	∆$\overset{\overline{}}{t}$	T	∆T
[s]	[s]	[s]	[s]	[s]
113,77	113,52	0,25	1,13	0,012
113,61
113,19

$$\delta_{t} = \ \sqrt{\frac{\sum_{}^{}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}{n(n - 1)}} = \ \sqrt{\frac{{(113,77 - 113,52)}^{2} + {(113,61 - 113,52)}^{2} + {(113,19 - 113,52)}^{2}}{3(3 - 1)}} = 0,17s$$

$$\overset{\overline{}}{t} = \sqrt{\delta^{2} + \frac{d^{2}}{3}} = \ \sqrt{{0,17}^{2} + \frac{{0,0058}^{2}}{3}} = 0,17s$$

$$T = \ \frac{t}{n} = \ \frac{113,52}{100} = 1,135s$$

$$T = \ \sqrt{\frac{\partial t}{\partial n}} = \ \sqrt{\frac{1}{n}^{2}*{t}^{2} + \left( - \frac{1}{n^{2}}*t \right)^{2}*{n}^{2}} = \ \sqrt{\frac{1}{100}^{2}*{0,17}^{2} + {( - \frac{113,52}{100^{2}})}^{2}*1} = 0,0115s$$

1. Obliczenia.

OBLICZENIA NR 1 – METALOWA TARCZA (OTWORY ZEWNĘTRZNE)

$I_{d} = \ \frac{T^{2}*m*g*d}{4\Pi^{2}} = \ \frac{{1,08}^{2}*1,24*9,81*0,075}{4*{3,14}^{2}} =$0,027kg*m^2

$$I_{d} = \sqrt{\left( \frac{\partial I_{d}}{\partial T} \right)^{2} + \left( \frac{\partial I_{d}}{\partial m} \right)^{2} + \left( \frac{\partial I_{d}}{\partial d} \right)^{2}} = \sqrt{\left( \frac{2Tmgd}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*T^{2} + \left( \frac{T^{2}\text{gd}}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(m)}^{2} + \left( \frac{T^{2}\text{mg}}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(d)}^{2}} = \sqrt{\left( \frac{2*1,08*1,24*9,81*0,075}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{0,017}^{2} + \left( \frac{{1,08}^{2}*9,81*0,075}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(0,000058)}^{2} + \left( \frac{{1,08}^{2}*1,24*9,81}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(0,000011)}^{2}} = 8,49*10^{- 4}kg*m^{2}$$

I_o = I_d − m * d² = 0, 027 − (1,24*0, 075²) = 0, 020kg * m²

$${I}_{o} = \sqrt{\left( \frac{\partial I_{o}}{\partial T} \right)^{2} + \left( \frac{\partial I_{o}}{\partial m} \right)^{2} + \left( \frac{\partial I_{o}}{\partial d} \right)^{2}} = \sqrt{\left( \frac{2Tmgd}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*T^{2} + \left( \frac{T^{2}\text{gd}}{4\Pi^{2}} - d^{2} \right)^{2}*{(m)}^{2} + \left( \frac{T^{2}\text{mg}}{4\Pi^{2}} - 2md \right)^{2}*{(d)}^{2}} = \sqrt{\left( \frac{2*1,08*1,24*9,81*0,075}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{0,017}^{2} + \left( \frac{{1,08}^{2}*9,81*0,075}{4\Pi^{2}} - {0,075}^{2} \right)^{2}*{(5,8*10^{- 5})}^{2} + \left( \frac{{1,08}^{2}*1,24*9,81}{4\Pi^{2}} - 2*1,24*0,075 \right)^{2}*{(1,1*10^{- 5})}^{2}} = 8,48*10^{- 4}kg*m^{2}$$

C =  T² * g * d − 4 * Π² * d² = 1, 08² * 9, 81 * 0, 075 − 4 * 3, 14² * 0, 075² = 0, 636

$$C = \sqrt{{(2Tgd)}^{2}*\left( T \right)^{2} + \left( T^{2}g - 8\Pi^{2}d \right)^{2}*\left( d \right)^{2}} = \sqrt{\left( 2*1,08*9,81*0,075 \right)^{2}*\left( 0,017 \right)^{2} + \left( {1,08}^{2}*9,81 - 8\Pi^{2}*0,075 \right)^{2}*{(0,000011)}^{2}} = 0,027$$

Tabela nr 7 – wyniki obliczeń dla tarczy w przypadku pierwszym

Id	∆Id	I0	∆I0	C	∆C
[kgm2]	[kgm2]	[kgm2]	[kgm2]	[m2]	[m2]
0,0270	8, 49 * 10^−4	0,0200	8, 48 * 10^−4	0,636	0,027

OBLICZENIA NR 2 – METALOWA TARCZA (OTWORY WEWNĘTRZNE)

$I_{d} = \ \frac{T^{2}*m*g*d}{4\Pi^{2}} = \ \frac{{1,17}^{2}*1,24*9,81*0,028}{4*{3,14}^{2}} = 0,0118$kg*m^2

$$I_{d} = \sqrt{\left( \frac{\partial I_{d}}{\partial T} \right)^{2} + \left( \frac{\partial I_{d}}{\partial m} \right)^{2} + \left( \frac{\partial I_{d}}{\partial d} \right)^{2}} = \sqrt{\left( \frac{2Tmgd}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*T^{2} + \left( \frac{T^{2}\text{gd}}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(m)}^{2} + \left( \frac{T^{2}\text{mg}}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(d)}^{2}} = \sqrt{\left( \frac{2*1,17*1,24*9,81*0,028}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{0,012}^{2} + \left( \frac{{1,17}^{2}*9,81*0,028}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(0,000058)}^{2} + \left( \frac{{1,17}^{2}*1,24*9,81}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(0,000011)}^{2}} = 2,47*10^{- 4}kg*m^{2}$$

I_o = I_d − m * d² = 0, 0118 − (1,24*0, 028²) = 0, 0108kg * m²

$${I}_{o} = \sqrt{\left( \frac{\partial I_{o}}{\partial T} \right)^{2} + \left( \frac{\partial I_{o}}{\partial m} \right)^{2} + \left( \frac{\partial I_{o}}{\partial d} \right)^{2}} = \sqrt{\left( \frac{2Tmgd}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*T^{2} + \left( \frac{T^{2}\text{gd}}{4\Pi^{2}} - d^{2} \right)^{2}*{(m)}^{2} + \left( \frac{T^{2}\text{mg}}{4\Pi^{2}} - 2md \right)^{2}*{(d)}^{2}} = \sqrt{\left( \frac{2*1,17*1,24*9,81*0,028}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{0,012}^{2} + \left( \frac{{1,17}^{2}*9,81*0,028}{4\Pi^{2}} - {0,0028}^{2} \right)^{2}*{(5,8*10^{- 5})}^{2} + \left( \frac{{1,17}^{2}*1,24*9,81}{4\Pi^{2}} - 2*1,24*0,028 \right)^{2}*{(1,1*10^{- 5})}^{2}} = 2,46*10^{- 4}kg*m^{2}$$

C =  T² * g * d − 4 * Π² * d² = 1, 17² * 9, 81 * 0, 028 − 4 * 3, 14² * 0, 028² = 0, 345

$$C = \sqrt{{(2Tgd)}^{2}*\left( T \right)^{2} + \left( T^{2}g - 8\Pi^{2}d \right)^{2}*\left( d \right)^{2}} = \sqrt{\left( 2*1,17*9,81*0,028 \right)^{2}*\left( 0,012 \right)^{2} + \left( {1,17}^{2}*9,81 - 8\Pi^{2}*0,028 \right)^{2}*{(0,000011)}^{2}} = 0,00785$$

Tabela nr 8 – wyniki obliczeń dla tarczy w przypadku drugim

Id	∆Id	I0	∆I0	C	∆C
[kgm2]	[kgm2]	[kgm2]	[kgm2]	[m2]	[m2]
0,0118	2, 47 * 10^−4	0,0108	2, 46 * 10^−4	0,345	0,00785

$$\overset{\overline{}}{C} = \frac{C_{1} + C_{2}}{2} = \ \frac{0,636 + 0,345}{2} = 0,490$$

$$\overset{\overline{}}{C} = \sqrt{\left( \frac{1}{2}*C_{1} \right)^{2} + \left( \frac{1}{2}*C_{2} \right)^{2}} = \sqrt{\left( \frac{1}{2}*0,027 \right)^{2} + \left( \frac{1}{2}*0,00785 \right)^{2}} = 0,0141$$

$$I_{o} = \frac{m*C}{4\Pi^{2}} = \frac{1,24*0,490}{4\Pi^{2}} = 0,0154$$

$$I_{o} = \sqrt{\left( \frac{C}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(m)}^{2} + \left( \frac{m}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(C)}^{2}} = \sqrt{\left( \frac{0,490}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(5,8*10^{- 5})}^{2} + \left( \frac{1,24}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(0,0141)}^{2}} = 9,53*10^{- 5}$$

Tabela nr 9 – zestawienie wyników końcowych obliczeń dla tarczy metalowej.

$$\overset{\overline{}}{C}$$	∆$\overset{\overline{}}{C}$	Io	∆Io	$$\frac{I_{o}}{I_{o}}$$
[m^2]	[m^2]	[kgm^2]	[kgm^2]	[%]
0,490	0,0141	0,0154	9, 53 * 10^−5	0,62%

OBLICZENIA NR 3 – METALOWY PIERŚCIEŃ

$$I_{d} = \ \frac{T^{2}*m*g*d}{4\Pi^{2}} = \ \frac{{1,13}^{2}*0,267*9,81*0,065}{4*{3,14}^{2}} = 0,0055kg*m^{2}$$

$$I_{d} = \sqrt{\left( \frac{\partial I_{d}}{\partial T} \right)^{2} + \left( \frac{\partial I_{d}}{\partial m} \right)^{2} + \left( \frac{\partial I_{d}}{\partial d} \right)^{2}} = \sqrt{\left( \frac{2Tmgd}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*T^{2} + \left( \frac{T^{2}\text{gd}}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(m)}^{2} + \left( \frac{T^{2}\text{mg}}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(d)}^{2}} = \sqrt{\left( \frac{2*1,13*0,267*9,81*0,065}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{0,012}^{2} + \left( \frac{{1,13}^{2}*9,81*0,065}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(0,000058)}^{2} + \left( \frac{{1,13}^{2}*0,267*9,81}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{(0,000011)}^{2}} = 1,17*10^{- 4}kg*m^{2}$$

I_o = I_d − m * d² = 0, 0055 − (0,267*0, 065²) = 0, 00437

$${I}_{o} = \sqrt{\left( \frac{\partial I_{o}}{\partial T} \right)^{2} + \left( \frac{\partial I_{o}}{\partial m} \right)^{2} + \left( \frac{\partial I_{o}}{\partial d} \right)^{2}} = \sqrt{\left( \frac{2Tmgd}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*T^{2} + \left( \frac{T^{2}\text{gd}}{4\Pi^{2}} - d^{2} \right)^{2}*{(m)}^{2} + \left( \frac{T^{2}\text{mg}}{4\Pi^{2}} - 2md \right)^{2}*{(d)}^{2}} = \sqrt{\left( \frac{2*1,13*0,267*9,81*0,065}{4\Pi^{2}} \right)^{2}*{0,012}^{2} + \left( \frac{{1,13}^{2}*9,81*0,065}{4\Pi^{2}} - {0,065}^{2} \right)^{2}*{(5,8*10^{- 5})}^{2} + \left( \frac{{1,13}^{2}*0,267*9,81}{4\Pi^{2}} - 2*0,267*0,065 \right)^{2}*{(1,1*10^{- 5})}^{2}} = 1,17*10^{- 4}kg*m^{2}$$

$$I_{\text{o.st}} = \frac{1}{2}m\left( r^{2} + R^{2} \right) = \frac{1}{2}*0,267*\left( 0,065 + 0,070 \right) = \ 0,0180$$

$$I_{\text{o.st}} = \sqrt{\left( \frac{1}{2}r^{2} + \frac{1}{2}R^{2} \right)^{2}*\left( m \right)^{2} + \left( \text{mr} \right)^{2}*\left( r \right)^{2} + \left( \text{mR} \right)^{2}*{(R)}^{2}} = \sqrt{\left( \frac{1}{2}{0,065}^{2} + \frac{1}{2}{0,07}^{2} \right)^{2}*\left( 5,8*10^{- 5} \right)^{2} + \left( 0,267*0,065 \right)^{2}*\left( 1,1*10^{- 5} \right)^{2} + \left( 0,267*0,07 \right)^{2}*{(1,1*10^{- 5})}^{2}} = 3,85*10^{- 6}$$

Tabela nr 10 – wyniki obliczeń dla pierścienia metalowego

Id	∆Id	$$\frac{I_{d}}{I_{d}}$$	I0	∆I0	$$\frac{I_{o}}{I_{o}}$$	Io.st	Io.st	$$\frac{I_{\text{o.st}}}{I_{\text{o.st}}}$$
[kgm2]	[kgm2]	[%]	[kgm2]	[kgm2]	[%]	[kgm2]	[kgm2]	[%]
0,00550	1, 17 * 10^−4	2,12	0,00437	1, 17 * 10^−4	2,68	0,0180	3, 85 * 10^−6	0,021