Zastosowanie Całki Oznaczonej

Mamy funkcję y = f(x) na przedziale <a, b>

Pole między krzywymi:

1. f ciągła w <a, b>

f ≥ 0  to  P = ∫_a^bf(x)dx f ≤ 0  to  P = −∫_a^bf(x)dx

P=∫_a^b|f(x)|dx

1. f, g ciągłe w <a, b> niech f(x)≥g(x) ∀_{x ∈ <a, b>}

Dla f, g ≥ 0 , P = ∫_a^b[f(x)−g(x)]dx ∖ n

f, g − dowolne

y = f(x) + m,    y = g(x) + m  to funkcje nieujemne

P = ∫_a^b[(f(x)+m)−(g(x)+m)]dx = ∫_a^b[f(x)+m−g(x)−m]dx=∫_a^b[f(x)−g(x)]dx

(gdzie m to stała m ≥ minimum g(x) )

Ogólnie pole między krzywymi:

P=∫_a^b[f(x)−g(x)]dx Uwaga! Jeśli funkcje się przeplatają to dzielimy je na dodatkowe przedziały!

Długość Łuku

y = f(x),   x ∈ <a, b > oraz f ∈ C¹

$$\mathbf{L}\mathbf{=}\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\sqrt{\mathbf{1 + \lbrack f'}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{\rbrack}^{\mathbf{2}}}$$

*Długość ługu w postaci parametrycznej

$\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x = \varphi(t)} \\ \mathbf{y = \Psi}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{,\ \ t \in < \alpha,\beta >} \\ \end{matrix} \right.\ $ oraz φ, Ψ ∈ C¹<α, β>

$$L = \int_{\mathbf{\alpha}}^{\mathbf{\beta}}{\sqrt{\lbrack\mathbf{\varphi}^{\mathbf{'}}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{\rbrack}^{\mathbf{2}} + \lbrack\mathbf{\Psi}^{\mathbf{'}}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{\rbrack}^{\mathbf{2}}}dt = \int_{\mathbf{\alpha}}^{\mathbf{\beta}}\sqrt{\left( \frac{\text{dx}}{\text{dt}} \right)^{2} + \left( \frac{\text{dy}}{\text{dt}} \right)^{2}}}\text{dt}$$

*Pole pod krzywą parametryczną

$\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x = \varphi(t)} \\ \mathbf{y = \Psi}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{,\ \ t \in < \alpha,\beta >} \\ \end{matrix} \right.\ $ oraz φ,φ^′, Ψ są ciągłe w <α, β>

(rosnaca x) dla x^′(t) ≥ 0 P=∫_α^β|y(t)|x^′(t)dt

(malaca x) dla x^′(t) ≤ 0      P=−∫_α^β|y(t)|x^′(t)dt