Najpierw przepraszam, że w Wordzie, ale tu wygodniej zapisuje się różne równania matematyczne (przynajmniej mi). Mam nadzieję, że może być….

Do Maximy;

Sposób na uzyskanie sumy n wyrazów przy użycui maximy;

Tworzymy wzór na n’ty wyraz fibonacciego;

fib(n):=block(

if n = 0 then 0

else

if n = 1 then 1

else

ratsimp(fib(n-1)+fib(n-2))

);

Następnie wzór na S(n), czyli;

S(n):=sum((fib(k))^(2), k, 0, n), simpsum

Oraz końcowy wzór na sumę x wyrazów szeregu;

g(x):=sum((-1)^(n)/S(n), n, 1, x), simpsum

to tyle, jeśli chodzi o maximę. Niestety, nie oblicza ona wartości inf (nieskończoność)

Przechodzimy na obliczenia ręczne:

Mamy obliczyć sumę szeregu;

$$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{{( - 1)}^{n}}{S_{n}}$$

Gdzie

$$S_{n} = \sum_{k = 0}^{n}F_{k}^{2}$$

Jako że normalne rozpisywanie zawodzi, (terror, próbowałem nawet szacować w Maximie, doszedłem do czegoś takiego:

Czyli sumę tą można rozpisac jako:

-1+(1/2)-(1/6)+(1/15)-(1/40)+........+((-1)^n)/S(n)

Jeżeli pogrupujemy wyrazy w astępujacy sposób:

-1 + ((1/2)-1/6)) + ((1/15)-(1/40))+....+((((-1)^(n-1))/S(n-1) - (((-1)^n)/S(n))) możemy spróbować oszacować:

-1 + ((1/2)-1/6)) + ((1/15)-(1/40))+....+((((-1)^(n-1))/S(n-1) - (((-1)^n)/S(n))) <

< -1 + ((1/2)-(1/3)) + ((1/3) - (1/4)) + ....... + (((1/(n-1)) - (1/(n))) = -1 + ((1/2)-(1/n))

Przy n->nieskończoności suma -1 + ((1/2)-(1/n)) wynosi -1/2, więc automatycznie suma -1+(1/2)-(1/6)+(1/15)-(1/40)+........+((-1)^n)/S(n)

jest od -1/2 mniejsza.

z drugiej strony można spróbować oszacować przez szereg ((-1)^n)/(n^n)

Po czym skapitulowałem:P

ALE

Dzięki wielu mądrym rzeczom znajdującym się w Internecie (chwała XXI wieku!) znalazłem pewne ciekawe własności z których można skorzystać; mianowicie;

( − 1)ⁿ = F_n + 1F_n − 1 − F_n²

Oraz

$$\sum_{k = 1}^{n}F_{k}^{2} = F_{n + 1}F_{n}$$

Co prawda, tu jest od k=1, ale dla k=0 jest zero, więc myślę że zero nie robi zbyt dużej różnicy, zwłaszcza że nie może być, bo ta suma jest w mianowniku…

Korzystając z tych dwóch faktów, możemy naszą sumę zapisać jako:

$$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{{( - 1)}^{n}}{S_{n}} = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{F_{n + 1}F_{n - 1} - F_{n}^{2}}{F_{n + 1}F_{n}}$$

Teraz możemy to rozpisać;

$$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{F_{n + 1}F_{n - 1} - F_{n}^{2}}{F_{n + 1}F_{n}} = \sum_{n = 0}^{\infty}{(\frac{F_{n - 1}}{F_{n}}} - \frac{F_{n}}{F_{n + 1}})$$

Więc liczymy sumę częściową szeregu S_n¹:=

=$\sum_{k = 0}^{n}{(\frac{F_{k - 1}}{F_{k}}} - \frac{F_{k}}{F_{k + 1}}) = \frac{F_{0}}{F_{1}} - \frac{F_{1}}{F_{2}} + \frac{F_{1}}{F_{2}} - \frac{F_{2}}{F_{3}} + \ldots + \frac{F_{n - 2}}{F_{n - 1}} - \frac{F_{n - 1}}{F_{n}} + \frac{F_{n - 1}}{F_{n}} - \frac{F_{n}}{F_{n + 1}} = \frac{F_{0}}{F_{1}} - \frac{F_{n}}{F_{n + 1}}$

Wyraz F₀ ciągu fibonacciego jest równy 0, więc tak naprawdę interesuje nas tylko wyrażenie

$$- \frac{F_{n}}{F_{n + 1}}$$

Zbadajmy jego granicę;

$$\operatorname{}{- \frac{F_{n}}{F_{n + 1}}}$$

Aby zbadać tą granicę, trzeba powiedzieć coś o samym szeregu fibonacciego;

Jak zapewne wiadomo, możliwe że z prezentacji panny A.K.,

$$\frac{F_{n}}{F_{n - 1}}$$

Dąży do 1,618, więc jego odwrotność dąży do $\frac{1}{0,618}$

Z tego wynika, że $\operatorname{}{( - \frac{F_{n}}{F_{n + 1}}})$=$\frac{- 1}{0,618}$

Czyli szukaną sumą jest właśnie

$$\frac{- 1}{0,618}$$

Drugi szereg kapitulacja:P