Wycena kontraktów terminowych:

• foward

• futures

FOWARD

Założenia wstępne

1. Ciągła kapitalizacja stóp procentowych (kapitalizacja ciągła pewnej kwoty pieniędzy według rocznej stopy procentowej równej R przez n lat polega na przemnożeniu kwoty przez e^Rn, natomiast dyskontowanie ciągłe na pomnożeniu kwoty dyskontowanej przez e-^Rn),

kapitalizacja: e^R_n

dyskontowanie: e^−R_n

R – stopa procentowa

n- liczba lat

1. dla wybranych uczestników rynku

   • koszty transakcji równe zero

   • zyski są opodatkowane wg. tej samej stopy

   • uczestnicy rynku zaciągają pożyczki i udzielają w tej samej stopy procentowej wolnej od ryzyka

STOPA WOLNA OD RYZYKA

1. Oprocentowanie bonów skarbowych, czyli musi być taki sam termin wykupu

2. Stawki WIBOR, LIBOR – muszą odpowiadać czasowi wygaśnięcia kontraktu

3. Brak możliwości arbitrażu

Wymienione założenia nie musza być prawdziwe dla wszystkich uczestników rynku, wystarczy że są spełnione tylko dla pewnego podzbioru

OZNACZENIA

T – czas do wygaśnięcia kontraktu liczony w latach

S – aktualna cena aktywów pierwotnych, inaczej cena kasowa, gotówkowa, spot

K – cena dostawy aktywów

f – bieżąca wartość długiej pozycji w kontrakcje

F – cena terminowa

r – stopa wolna od ryzyka

WARTOŚĆ DŁUGIEJ POZYCJI W KONTRAKCIE tj kupujący.

KRÓTKA POZYCJA – sprzedający

Należy odróżnić cenę kontraktu F i wartość f. cena kontraktu F to w określonej chwili cena dostawy do której wartość f = 0. W dniu zawarcia kontraktu F=K, f=0 z upływem czasu zmieniają się F i f.

Wyznaczenie cen kontraktu FOWARD

Kontrakty FOWARD na papiery wartościowe nie przynoszące okresowego dochodu

Wzór: F = S e^rT

Zadanie:

Rozważamy 3 miesięczny kontrakt FOWARD na akcje spółki niewypłacającej dywidendy. Bieżąca cena akcji wynosi 120zł a stopa wolna od ryzyka 5%. Jaka będzie cena dostawy dla kontraktu wynegocjowanego dzisiaj.

K =F = S e^rT=120e^{0, 050, 25}=120exp(0, 050, 25)=121, 51 zl

ODP: cena dostawy dla kontraktu wynegocjowanego dzisiaj to 121,51zł na akcję.

Kontrakty FOWARD na papiery wartościowe o zmieniających dochodach gotówkowych, np. akcje spółek wypłacające dywidendy.

Wzór: F = (S − I) e^rT

gdzie:

I – wartość bieżąca (zdyskontowania dochodów)

Zadanie:

Rozważamy 10miesięczny kontrakt FOWARD na akcje, których aktualna cena wynosi 50 dolarów. Stopa wolna od ryzyka jest równa 50%. Po 3, 6 i 9 miesiącach oczekiwane są wypłaty dywidendy w wysokości 75centów na akcje. Jaka będzie cena dostawy dla kontraktu wynegocjowanego dzisiaj.

I = 0, 75 e^{−0, 080, 25}+0, 75 e^{−0, 080, 5}+0, 75 e^{−0, 080, 75}=2, 1621

$\mathbf{F =}\left( \mathbf{50 - 2,16} \right)\mathbf{\ }\mathbf{e}^{\mathbf{0,08}\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{12}}}\mathbf{= 51,14\ }$dolara/akcje

ODP: cena dostawy dla kontraktu wynegocjowanego dzisiaj to 51,14 dolara na akcję.

Kontrakty FOWARD na papiery wartościowe o znanej stopie dywidendy.

Wzór: F = S e^{(r − q)T}

q – stopa dywidendy

Zadanie:

Rozważamy 5miesięczny kontrakt FOWARD na akcje, dla których oczekiwana stopa dywidendy wynosi 3%, stopa dolna od ryzyka jest równa 5% a aktualna cena akcji to 100zł. Wyznacz cenę terminową.

$$\mathbf{F = 100 \ }\mathbf{e}^{\mathbf{(0,05 - 0,03)}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}\mathbf{= 101,005\ zl/akcje}$$

Istnieje ogólna zależność prawdziwa dla wszystkich kontraktów, która uzależnia wartość długiej pozycji w kontrakcie od wcześniej wynegocjowanej ceny dostawy K i bieżącej ceny terminowej F.

f = (F − K) e^−rT

Wzory szczegółowe

• Wartość kontraktu FOWARD na papiery wartościowe nie przynoszące okresowych dochodów:

f = S − K e^−rT

• Wartość kontraktu FOWARD na papiery wartościowe przynoszące znany dochód o wartości bieżącej t:

f = S − I − K e^−rT

• Wartość kontraktu FOWARD na papiery wartościowe o znanej stopie dywidendy:

f = S  e^−qT−K e^−rT

W każdej sytuacji jeśli cena terminowa F = K to f = 0.

Zadanie:

Rozważamy półroczny kontrakt foward na akcje spółki niewypłacającej dywidendy. Stopa wolna od ryzyka wynosi 10%, aktualna cena akcji 25$ a cena dostawy 24$. Wyznacz wartość długiej pozycji w kontrakcie.

f = (F − K) e^−rT

F = S e^rT=25 e^0, 10, 5=26, 28

f=(26, 28 − 24) e^{−0, 10, 5}=2, 17 dolara/akcje

Kupujący w wyniku zmian na rynku ceny dostawy zyskuje 2,17 a sprzedający tracił taką samą sumę.

KONTRAKTY FUTURES NA INDEKSY GIEŁDOWE

Indeks giełdowy traktujemy jako papier wartościowy, z którego płacona jest dywidenda. Jeśli stopę dywidendy oznaczymy jako q to cenę kontraktu futures liczymy:

F = S e^{(r − q)T}

Zadanie:

Rozważamy 3miesięczny kontrakt futures na WIG20 i zakładamy, że stopa dywidendy wszystkich akcji wchodzących w skład indeksu wynosi 3%. Bieżąca wartość indeksu to 3750pkt, a stopa wolna od ryzyka jest równa 5%. Wyznacz cenę terminową oraz ewentualne przepływy pieniężne jeśli w dniu wygaśnięcia indeks będzie na poziomie:

1. 3800pkt

2. 3700pkt

F = S e^{(r − q)T}

F = 3750 e^{(0, 05 − 0, 03)0, 25}=3769 pkt

1. Korzystna różnica dla kupującego 3800 – 3769 = 31 pkt

31 x 10zł = 310zł – zysk kupującego

1. Korzystna różnica dla sprzedającego 3769 – 3700 = 69 pkt

69 x 10 = 690 – zysk sprzedającego

WALUTOWE KONTRAKTY FUTURES

Ich przedmiotem są waluty obce stąd zainteresowanie inwestora koncentruje się na kursie wymiany. W celu wyznaczenia ceny kontraktu futures korzystamy ze wzoru:

F = S e^{(rt − rf)T}

Gdzie:

rt – stopa wolna od ryzyka w kraju waluty obcej (r)

rf – zagraniczna stopa wolna od ryzyka

Jeśli zagraniczna stopa jest wyższa niż stopa krajowa (rf >r) to F zawsze jest niższe niż S i F maleje wraz z wydłużeniem się terminu ważności kontraktu T.

Jeśli natomiast stopa krajowa jest wyższa niż zagraniczna (rf <r), F jest zawsze wyższe od S i zwiększa się wraz ze wzrostem T.

Zadanie:

Przedmiotem kontraktu futures jest dolar amerykański z dostawą na 3miesiące. Aktualny kurs kasowy wynosi 2,78zł za dolara. Krajowa stopa wolna od ryzyka to 4,25% a zagraniczna 5,25%. Wyznacz cenę terminową.

F = 2, 78 e^{(4, 25 − 5, 25)0, 25}=2, 77 zl/usd

TOWAROWE KONTRAKTY FUTURES

Istnieją dwie grupy dóbr – towary nabywane w celach inwestycyjnych i towary nabywane w celach konsumpcyjnych. Podział ten jest bardzo ważny ponieważ przynależność przedmiotów kontraktu do jednej z tych grup determinuje sposób wyceny.

Dla towarów nabywanych w celach inwestycyjnych jeśli koszty zaangażowania są równe 0 cenę terminowa liczymy jak dla kontraktów na papiery wartościowe nie przynoszące dochodów.

F = S e^rT

Koszty magazynowania można traktować jako przychód ujemny. Jeśli przez U oznaczymy wartość bieżącą wszystkich kosztów składowania, które będą poniesione w okresie ważności kontraktu, to cenę terminowa liczymy następująco: F = (S + U) e^rT

Zadanie:

Rozpatrujemy kontrakt futures na złoto z terminem wykupu za rok. Roczne koszty magazynowania wynoszą 60zł za sztabkę, a cena złota 6000zł za sztabkę. Stopa wolna od ryzyka wynosi 4%. Wyznacz cenę terminową.

U = 60 e^−0, 041=57, 65 zl/sztabke

F=(6000 + 57, 65) e^0, 041=6304, 87 zl/sztabke

W praktyce często mamy do czynienia z sytuacją kiedy osoby fizyczne i firmy gromadzą zapasy towarów ze względu na ich wartość konsumpcyjną, a nie inwestycyjną. Podmioty te nie są skłonne do pozbywania się swoich zapasów i nabywania kontraktów futures, ponieważ nie da się ich wykorzystać w celach konsumpcyjnych lub produkcyjnych. Właściciele towarów są przekonani, że fizyczne ich posiadanie jest związane z określonymi korzyściami jakie są niedostępne dla posiadacza kontraktu futures wystawianego na ten towar. Korzyści takie mogą wynikać np. z określonych lokalnych braków danego dobra lub z koniecznością utrzymania ciągłości produkcji. Zwykle są określone jako stopa użyteczności produktu (y). Definiujemy ją, jako stopę, dla której spełnione jest równanie:

Fe^yT=(S + U) e^rT

a jeśli koszty magazynowania pozostają w stałej proporcji (u) do ceny gotówkowej:

Fe^yT=S  e^(r + u)T

Stopa użyteczności odzwierciedla oczekiwania rynku, co do osiągalności danego dobra w przyszłości. Jest tym wyższa im wyższe prawdopodobieństwo wystąpienia braków towaru w okresie ważności kontraktu.

!!! Dla aktywów inwestycyjnych stopa użyteczności musi być równa zero !!!

Przykład:

Rozpatrujemy kontrakty terminowe o różnych terminach do wygaśnięcia, których ceny terminowe wynoszą

Liczby użyteczności dla kontraktów terminowych

F T y

1. 63,8 2M 0,242171

2. 64 3M 0,215595

3. 63,9 4M 0,216387

4. 64,35 5M 0,196267

5. 64,65 6M 0,187587

6. 64,6 7M 0,190687

Pozostałe parametry to:

r = 0,05

u = 0,15

So = 64,25

Wyznacz stopę użyteczności dla rozpatrywanych kontraktów.

ln(F)+ yT = ln(S)+ (r + u) T

1. $\mathbf{\ln}\left( \mathbf{63,8} \right)\mathbf{+ \ y}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{= ln\ }\left( \mathbf{64,25} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{0,05 + 0,15} \right)\mathbf{}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}$

y = 0, 242171

1. $\mathbf{\ln}\left( \mathbf{64} \right)\mathbf{+ \ y}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{= ln\ }\left( \mathbf{64,25} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{0,05 + 0,15} \right)\mathbf{}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$

y = 0, 215595

1. $\mathbf{\ln}\left( \mathbf{63,9} \right)\mathbf{+ \ y}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{= ln\ }\left( \mathbf{64,25} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{0,05 + 0,15} \right)\mathbf{}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$

y = 0, 216387

1. $\mathbf{\ln}\left( \mathbf{64,35} \right)\mathbf{+ \ y}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{12}}\mathbf{= ln\ }\left( \mathbf{64,25} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{0,05 + 0,15} \right)\mathbf{}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{12}}$

y = 0, 196267

1. $\mathbf{\ln}\left( \mathbf{64,65} \right)\mathbf{+ \ y}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{= ln\ }\left( \mathbf{64,25} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{0,05 + 0,15} \right)\mathbf{}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

y = 0, 187587

1. $\mathbf{\ln}\left( \mathbf{64,6} \right)\mathbf{+ \ y}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{12}}\mathbf{= ln\ }\left( \mathbf{64,25} \right)\mathbf{+}\left( \mathbf{0,05 + 0,15} \right)\mathbf{}\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{12}}$

y = 0, 190687

Rynek ocenia, że największe prawdopodobieństwo wystąpienia braku towarów dotyczy dwóch najbliższych miesięcy od wystąpienia kontraktu.

Zależność między ceną gotówkową i terminową może być rozpatrywana w kontekście tzw. Kosztów posiadania. Składają się na nie: koszty przechowania towaru + oprocentowanie płacone w celu sfinansowania nabycia aktywów – wszystkie przychody wynikające z towaru.

Koszty posiadania:

• Dla akcji spółek niewypłacających dywidendy są równe r

• Dla indeksu giełdowego są równe r-q

• Dla towarów obarczonymi kosztami magazynowania r+u

• Dla walut r-r_f

Jeśli koszty posiadania oznaczymy jako :

• c to cenę terminową aktywów inwestycyjnych można zapisać:

F = S e^cT

• dla aktywów konsumpcyjnych:

F = S e^{(c − y)T}

SPÓŁCZYNNIK ZABEZPIECZANIA DLA KONTRAKTÓW FUTURES

Optymalną wartość tego współczynnika liczymy ze wzoru:

$$\mathbf{h}^{\mathbf{*}}\mathbf{= \ d}\frac{\mathbf{\delta}_{\mathbf{s}}}{\mathbf{\delta}_{\mathbf{f}}}$$

Gdzie:

d(gs•ro) – współczynnik korelacji liniowej Pearsona między ∆S a ∆F

δ_s – odchylenia standardowe ∆S (cen gotówkowych)

δ_f – odchylenia standardowe ∆F (cen terminowych)

∆S – zmiana ceny gotówkowej (S) w czasie, gdy stosunkowo jest transakcja zabezpieczona

OPTYMALNA LICZBA JEDNOSTEK TRANSAKCYJNYCH dla potrzeb transakcji zabezpieczonej wyznacza się według wzoru:

N^*=h^*N_A÷Q_F

Gdzie:

N_A – wielkość pozycji zabezpieczonej

Q_F – wielkość jednostki transakcyjnej

h^* - współczynnik zabezpieczenia dla minimalnej transakcji

Zadanie:

Wyznacz optymalną liczbę kontraktów, jeśli inwestor chce objąć zabezpieczeniem zakup 20 tys. Baryłek ropy, a wielkość 1 kontraktu to 1 tys. baryłek.

d = 0,92

δ_s = 0,026

δ_f = 0,0313

h^*= 0,77761

N^*=0, 77720000 ÷ 1000 = 15, 55

ODP: Optymalna liczba kontraktów to 16.

Przykład:

Za pomocą modelu Black-Scholsa wycenić europejską opcję sprzedaży akcji PKO S.A. wiedząc, że aktualna cena akcji wynosi 245zł. Cenę wykonywania ustalono tym samym poziomie. Czas do wygaśnięcia to 60 dni, stopa wolna od ryzyka wynosi 4%, a zmienność cen akcji PKO 33%.

OPCJA SPRZEDAŻY = PUT

P - ? premia dla opcji sprzedaży

S = 245 aktualna cena sprzedaży

x = 245 cena wykonań

T = 1/6 czas do wygaśnięcia

r = 4% stopa wolna od ryzyka

δ = 33% = 0,33 zmienność

program desiragem

P= 12,32 zł/akcje

Delta bada wartości premii na zmiany inst. Bazowego

∆ = -0,45

INTERPRETACJA

Jeżeli cena akcji PKO wzrośnie o 1zł to premia tej opcji sprzedaży zmniejszy się o 45gr. w przeliczeniu na akcję.

Gamma określa jak zmieni się delta pod wpływem zmiany inst. Bazowego

x=0,01

INTERPRETACJA

Jeżeli cena akcji PKO wzrośnie o 1zł to wartość delty wzrośnie o 0,01

Vega bada wrażliwość premii na zmiany sigmy (δ) – zmienności

Vega = 0,40

INTERPRETACJA

Jeżeli zmienność c akcji PKO wzrośnie o 1% to premia opcji sprzedaży wzrośnie o 0,40gr w przeliczeniu na akcje.

THETA dziemy teoretyczny spadek wartości

Theta = -0,09

INTERPRETACJA

Z każdym dniem ta opcja sprzedaży będzie taniała po 0,09zł w przeliczeniu na akcje (9gr)

ro bada wrażliwość ceny na zmiany stopy wolnej od rynku

Wro = 0,21

INTERPRETACJA

Jeśli stopa wolna od rynku wzrośnie o 1% to premia tej opcji sprzedaży zmaleje o 21gr na akcje.

ASSET PRICE

Cena inst. bazowego wpływa ujemnie na wartości opcji sprzedaży.

STRIKE PRICE

Cena wykonania wpływa dodatnio na wartość opcji sprzedaży.

Zmienność wpływa dodatnio na wartość opcji sprzedaży.

Czas do wygaśnięcia wpływa dodatnio na wartość opcji sprzedaży.

Stopa wolna od ryzyka (risk-free rate) wpływa ujemnie na wartość opcji sprzedaży.

Profil wypłaty z opcji sprzedaży

			zysk/strata
																P = 12zł
																długa pozycja
																	(spojrzenie od kogoś kto
	12 zł																kupił sobie opcje sprzedaży)
															krótka pozycja
																	(wystawa opcji)
	0,33	240		245	250		S
	-12 zł
					cena wykonania

Nabywca opcji jest uprzywilejowany

Równanie portret put-call (portret kupno-sprzedaż)

Premia od opcji kupna

C=? premia dla opcji kupna

S = 245 aktualna cena sprzedaży

x = 245 cena wykonań

T = 1/6 czas do wygaśnięcia

r = 4% stopa wolna od ryzyka

δ = 33% = 0,33 zmienność

C = P + (S − e^−rTK)

$C = 12,32 + \left( 245 - \exp^{- 0,04 \frac{1}{6}} 245 \right) = \ 13,95\ zl/akcje$

C ≈ 14 zl

			zysk/strata
																długa pozycja
																	(spojrzenie od kogoś kto
																	kupił sobie opcje sprzedaży)
14 zł															krótka pozycja
																	(wystawa opcji)
				0,33	240		245		250
													S
	-14 zł

C= 13,94 zł/akcje

∆ = 0,55

Jeżeli cena akcji wzrośnie o 1zł to premia tej opcji sprzedaży zwiększy się o 55gr. w przeliczeniu na akcję.

γ =0,01

Jeżeli cena akcji PKO wzrośnie o 1zł to wartość delty wzrośnie o 0,01

Vega = 0,40

Jeżeli zmienność c akcji PKO wzrośnie o 1% to premia opcji sprzedaży wzrośnie o 0,40gr w przeliczeniu/ akcje.

Theta = -0,12

Z każdym dniem ta opcja sprzedaży będzie taniała po 12gr w przeliczeniu na akcje.

Wro = 0,20

Jeśli stopa wolna od rynku wzrośnie o 1% to premia tej opcji sprzedaży wzrośnie o 20gr na akcje.

Cena inst. bazowego wpływa dodatnio na wartość opcji kupna.

Cena wykonania wpływa ujemnie na wartość opcji kupna.

Zmienność wpływa dodatnio na wartość opcji kupna.

Czas do wygaśnięcia wpływa dodatnio na wartość opcji kupna.

Stopa wolna od ryzyka (risk-free rate) wpływa dodatnio na wartość opcji kupna.

γ (gamma) Vega jest zawsze taka sama dla put i call (sprzedaż – kupno)

Zmienność (sigma) tylko przy opcjach

1. $\mathbf{ln\ (}\frac{\mathbf{S}_{\mathbf{i}}}{\mathbf{S}_{\mathbf{i - 1}}}\mathbf{)}$

S_i – bieżąca cena

S_i − 1 – poprzednia cena

logarytmiczne stopy zwrotu

1. Odchylenie standardowe •(zakres)

Odchylenie standardowe •$\sqrt{\mathbf{252}}$ 252 dni sesyjne na giełdzie

do zmienność odchylenia