Materiały do samodzielnego kształcenia – Inżynieria finansowa i
zarządzanie ryzykiem
Temat wykładu: Wycena kontraktów swap
Podstawowe zagadnienia:
1. Wycena swapa procentowego metodą wyceny obligacji
2. Wycena swapa procentowego metodą wyceny kontraktów
terminowych typu forward
3. Wycena swapa walutowego metodą wyceny obligacji
4. Wycena swapa walutowego metodą wyceny kontraktów
terminowych typu forward
Wycena swapu procentowego
W procesie wyceny swapów bierze się pod uwagę wiele czynników, z
których najważniejsze to: wypłacalność potencjalnego partnera,
dostępność innych możliwości zawarcia transakcji ograniczających
ryzyko oraz struktura terminowa stóp procentowych.
W wycenie kontraktów zakłada się, że nie występuje ryzyko
niedotrzymania warunków przez strony umowy. Takie założenie
pozwala wycenić kontrakt swap jako długą pozycję w jednej i krótką
pozycję w drugiej obligacji w tym samym czasie lub jako portfel
dwóch kontraktów swap.
Korzystając z zasad wyceny obligacji, wartość kontraktu wyceniamy:
V = W
1
– W
2
W
1
=
∑
=
−
−
+
n
i
t
r
t
r
n
n
i
i
Xe
Ke
1
W
2
= Xe
-r1×t1
+K
1
e
-r1×t1
Gdzie:
V – wartość kontraktu swap
1
W
1
– wartość obligacji o stałym oprocentowaniu, która odpowiada
warunkom wycenianego swapu
W
2
– wartość obligacji o zmiennym oprocentowaniu, która odpowiada
warunkom wycenianego swapu
K – kwota stałej płatności przypadająca do zapłaty w okresach t
i
K
1
– płatność wynikająca ze znanej stopy procentowej, która nastąpi
w chwili t
1
r
i
– stopa dyskontowa odpowiadająca okresowi pozostałemu do chwili
t
i
(w praktyce jest to zmienna stopa procentowa otrzymana na
podstawie tabeli kwotowań)
r
n
– stopa dyskontowa w okresie n
t
i
– okresy stałych płatności (
n
i
≤
≤
1
)
t
n
– ostatni okres stałej płatności
X – wartość nominalna kontraktu swap
t
1
– czas do daty następnej płatności kuponowej
Powyższe wzory są prawdziwe przy założeniu, że zgodnie z
warunkami kontraktu swap instytucja finansowa otrzymuje stałe
płatności w wysokości K zł w okresach t
i
(
n
i
≤
≤
1
) i jednocześnie sama
płaci płatności według zmiennej stopy procentowej.
Przykład 1
Rozważmy kontrakt, w którym jedna strona zobowiązuje się do
płacenia sześciomiesięcznej stopy LIBOR w zamian za
oprocentowanie w wysokości 10% rocznie (kapitalizacja ciągła).
Wartość nominalna kontraktu jest równa 50 mln złotych, do końca
ważności kontraktu pozostaje 1,25 roku, stałe stopy procentowe przy
kapitalizacji ciągłej dla 3,9 i 12 miesięcy są równe odpowiednio 12%,
12,5% i 13%. Sześciomiesięczna stopa LIBOR dla ostatniej płatności
była równa 12,2%.
Stała kwota płatności jest równa:
K = 50×0,1×0,5 = 2,5 mln zł
Kwota płatności obliczona dla zmiennej stopy procentowej:
K
1
= 50×0,122×0,5 = 3,1 mln zł
W
1
= 2,5e
-0,12×0,25
+ 2,5e
-0,125×0,75
+ 52,5e
-0,13×1,25
≈
49,33
2
W
2
= 50e
-0,12×0,25
+ 3,1e
-0,12×0,25
≈
51,53
V = 49,33 – 51,53 = –2,20 mln zł
Wartość rozpatrywanego kontraktu swap jest równa –2,20 mln zł. Dla
strony przeciwnej, która będzie płaciła stałą i otrzymywała zmienną
stopę procentową wartość tego kontraktu jest równa 2,20 mln zł.
Na bazie cen kontraktów forward wartość swapu dla strony
otrzymującej stałe, a płacącej zmienne oprocentowanie jest równa:
V = (K – K
1
)e
-r1×t1
+
∑
=
×
−
×
×
−
n
i
t
r
i
i
i
e
X
ST
K
2
)
5
,
0
(
ST
i
=
1
1
1
−
−
−
−
×
−
×
i
i
i
i
i
i
t
t
t
r
t
r
i
=
2,...,n
Gdzie:
ST
i
– terminowa stopa procentowa dla i-tego okresu
Wielkość ST
i
jest podana dla rocznej kapitalizacji ciągłej. Jeżeli w
danym kontrakcie swap kapitalizacja następuje m razy w roku należy
wartość ST
i
przeszacować zgodnie ze wzorem:
ST
i
*
= m×(e
ST
i
/m
– 1)
Przykład 2
Wykorzystując dane z przykładu 1, obliczyć wartość kontraktu swap
metodą opartą na cenach forwardów.
ST
2
=
1275
,
0
25
,
0
75
,
0
25
,
0
12
,
0
75
,
0
125
,
0
=
−
×
−
×
ST
3
=
1375
,
0
75
,
0
25
,
1
75
,
0
125
,
0
25
,
1
13
,
0
=
−
×
−
×
ST
2
*
= 2(e
0,1275/2
–1) = 0,1317
ST
3
*
= 2(e
0,1375/2
–1) = 0,1423
V = (2,5 – 3,1)e
-0,12×0,25
+ (2,5 – 0,5×0,1317×50)e
-0,125×0,75
+ (2,5 –
0,5×0,1423×50)e
-0,13×1,25
≈
–2,20 mln zł
Wycena swapu walutowego
3
W wycenie swapów walutowych przyjmuje się założenia takie same
jak dla swapów procentowych. Zakładając, że w kontrakcie nie
występuje ryzyko niedotrzymania warunków umowy, kontrakt
przedstawia się jako pozycję zajmowaną w dwóch obligacjach.
Wartość walutowego kontraktu swap wyznacza się według wzoru:
V = S×W
1
– W
2
*
Gdzie:
S – gotówkowy kurs wymiany obliczany jako liczba jednostek waluty
krajowe na jednostkę waluty obcej
W
2
*
– wartość obligacji denominowanych w dolarach, wzór taki sam
jak dla W
1
W
1
– definiowane jak poprzednio; wyrażona w walucie zagranicznej
wartość obligacji, która jest podstawą swapu i jest
denominowana w walucie innej niż dolary
Powyższy wzór jest prawdziwy dla inwestora zajmującego pozycję
długą w obligacjach denominowanych w walucie obcej i krótką
pozycję w obligacjach dolarowych. Wartość V jest zatem prawdziwa
dla strony płacącej oprocentowanie w dolarach. Dla drugiej strony
kontraktu wartość jest taka sama, tylko ze zmienionym znakiem.
Przykład 3
Załóżmy, że przedmiotem wyceny jest następujący walutowy kontrakt
swap. Stopa procentowa w Niemczech jest równa 6% w skali roku, a
w Stanach Zjednoczonych 11% (dla obu stóp przyjęto kapitalizację
ciągłą).
Jedna firma zajmuje w kontrakcie swap pozycję, zgodnie z którą
będzie otrzymywała 7% w skali roku od nominału podanego w
kontraktach, sama zaś będzie płaciła 10% od nominału wyrażonego w
dolarach.
Nominał ustalony w kontrakcie jest równy odpowiednio 1 milion
dolarów i 0,9 miliona euro. Strony ustaliły, że kontrakt jest ważny trzy
lata. Aktualny kurs walutowy przyjmujemy na poziomie 2 euro za
dolara.
W
2
*
= 0,1e
-0,11
+ 0,1e
-0,11×2
+ 1,1e
-0,11×3
≈
0,961
4
W
1
= 0,063e
-0,06
+ 0,063e
-0,06×2
+ 0,963e
-0,06×3
≈
0,920
V = 0,5×0,92 – 0,961 = – 0,501 mln USD
Wartość kontraktu swap jest równa – 0,501 mln USD. Oznacza to, że
gdyby firma druga płaciła oprocentowanie kredytu w euro, a
otrzymywała oprocentowanie w dolarach, to wartość tego kontraktu
swap dla tej firmy byłaby równa 0,501 miliona dolarów.
Z przedstawionego sposobu wyceny kontraktów swap wynika, że
wystarczy obliczyć zdyskontowane wpływy pieniężne otrzymywane
w walucie drugiego kraju. Następnie obie tak wyliczone wielkości
wyrazić w jednej walucie (na przykład w dolarach jak w przykładzie) i
wyznaczyć różnicę między tymi wielkościami.
Źródło:
W. Tarczyński, Z. Zwolankowski, Inżynieria finansowa, Placet,
Warszawa 2000.
5